三角形垂顶径定理的发现与证明

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1、三角形垂顶径定理的发现与证明丁位卿?中学数学杂志?初中2021年第12期刊登了黄兆麟老师的“一个与垂心有关的三角形面积公式一文文【1】，巧妙利用三角形垂顶距与其外接圆半径，给出了锐角三角形的一个漂亮的面积公式.阅后深受启发，笔者另觅新径，深入研究，发现和证明了如下的三角形垂顶径定理查阅了大量的文献资料，没有此种论述.为方便读者比照阅读，仍沿用文【1】的字母.三角形垂顶径定理如图1或2，设ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，三条高线分别为AE、BF、CG，又R、H分别为外接圆半径及垂心，三个垂顶距HA=u，HB=v，HC=w，那么R是一元三次方程4x3-u2+v2+w2xuvw=0

2、的一个正实数根对钝角和锐角三角形ABC，uvw前分别取正负号，直角三角形正负均可.证明如图1或2，连接BO交外接圆O于M，再连接AM和MC，那么有MAAB，MCBC，又因CHAB，AHBC垂心性质，所以AMHC，AHMC，所以四边形AMCH为平行四边形，故有MC=AH=u，AM=HC=w.又在RtABM和RtBMC中，AB=BM2-AM2，BC=BM2-MC2即c=4R2-w2，a=4R2-u2，同理可证AC=b=4R2-v2.在圆内接四边形ABCM中，由托勒密定理得，AMBC+MCAB=BMAC，即w4R2-u2+u4R2-w2=2R4R2-v2，移项得w4R2-u2=2R4R2-v2-u4R2-w2化简整理得，R24R2-u2+v2+w22=uvw2.以下涉及的三次方程求解较为复杂，留给读者解决，假设求出此根，将重新改写文【1】的三角形面积公式.参考文献【1】黄兆麟.一个与垂心有关的三角形面积公式J.中学数学杂志，202112：60