单自由度振动方程的解

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1、草自由庆俸系 藜幼方程的解t X/杜哈JL秋今堆支：杜哈积今的来陳my(t) + Cy (0 + Ky(t) = P 一、无阻尼的自由振动记 u)2 = 0XO+2y(O = oy(t) = A co scot + B sin cot初始条件为：曲)|=0 =九y(t)t=Q = v0 自振频率只与结构的质量和结构的刚度有关，与初始条 件及外界的干扰力无关。 自振频率与质量的平方根成反比，质量越大，频率越小;自振频率与刚度的平方根成正比，刚度越大，频率越大；要 改变结构的自振频率，只有从改变结构的质量或刚度着手。my(t) + Cy(t) + Ky(t) = P(t)二、有阻尼的自由振动+ C

2、y(t) + ky(t) = 0y(O + y(O + y(O = o mm2n = m兀为衰减系数()+ 2ny(t) + 力 a) = 0利用常数变易法，令，（才）=严s(r)() + (/2)S( = 0S(/)+(2-n2)S(0 = 01-当n 3时(强阻尼)S(f) =t + A，2chyjrG)ty(J) = ent(Ajshyin2 -co21 + A2chy/n2 -co21)2. n = u）时（称为临界阻尼）S （t） = BBgtW）二訂” s二訂”（3+砂）Cc = 2mu）（此式为确定临界阻尼的公式）n =2mc c称为阻尼比CcrC对钢筋混凝土结构V 5% ,般取

3、3%对钢结构?=1% 2%3）当n V3时（弱阻尼）人222令 cod = CD ny(t) = enAcos(vdt B sin codt)fny(t)+KXO = P 1.瞬时冲击荷载作用时的强迫振动三、无阻尼的强迫振动At特点：作用时间与系统的自振周期相比很小At时间内P (t)可视为常数设单自由度体系在静止状态,在极短时间At内作用干扰力P(t), 在时间t-t内由动量定理得若=0 时Vo=O 则，v =于是，在(0, t)时间内系统产生的位移反应y为mM2 P*2m由假设，干扰力作用的时间为At,则At时间内系统产生 的速度反应和位移反应分别为VW二型mZm乍时冲击荷载移去后，运动成

4、为自由振动y(t)和v比较是高阶无穷小量,t极短，故可认为:At时间内，干扰力的作用近似的看作是初速度为v(0 = 初位移为= 罕广=0的自由振动。2m/ 、心P* y(t) = y0 cos cot + sin cot =smcotcoma则上式写为:若时间t不是从0开始，而是从T开始的，y(t) = sin p(1 _ e)mat2一般性动力荷载P (t)作用于系统时考虑P (t)在(0, t)时间内作用于系统，认为是由无数个瞬时冲击荷载 的叠加，如图。P (t)T T+dT3p (t)AtT T+dT考虑由时刻T开始，在dT时间 内的位移反应sin （丫 巧mco则，在（0, t）时间内

5、作用于系统，系统所产生的位移反应为J。mco & y =sin（o（t-T）此式称为杜哈美砂（卷积、褶积）如果叠加自由振动部分，可得位移反应mcoy（f） = A cos cot + B sin cot +（刃sjn 红CD 1mS3.简谐荷载作用下的解以p(t)= Psinet代入杜哈美积分得： 讥八=丄 f Psin 0t -cosa)(t-T)dT & 、(sin 0tsin cot)一CDP2mco1-2 一 J。_1(sin Otsin et)CDCD=P61- w丿(0 )=sin Otsin cot3 丿( e y(t) = /7 - ys(t) sin 3tsin cotCD“

6、存为静位移丿T为动力系数co上式由两部分组成，、&jLi ”(了)sin cotCD由于p (t)作用，由振动系统产生，称为生态振动jut y v (Z) sin Ot由P (t)自身产生，称为稳态振动生态振动由于阻尼的影响，较长时间后振动会消失，故, 方程式的稳态解为：，(才)=(Z) sin Otmaxpmco2反映了惯性力的影响动力系数谱曲线e_COe-1，称为共振后区，为减小动力系数，可釆取减小3的方CD法柔性方案n工程中，把0.75 -2m (0 co2= CCOSS ,令B= Csine , JHU： y(t) = Csin (Ot -e)式中，C为振幅，w为相位角。 = tg_!

7、 2创&,c=比P儿G静位移动力系数1+ 4孕CD丿，()=“ -乂(C sin(6 一 &)max = W(0给出不同的阻尼比画出位移反应谱示意图如下0P随阻尼比E的增大而下降较快，特别是在R附近共振时3 = 1,CDmax/2纟匸孑此时P二右（不是最大值），,在2=1的左侧CJD*71当e=3时，=2数0(d2-02y(t) = “ 儿()sin - ) y(0 = 几()cosGt*当时，=2y(C = “yMcosQ惯性力：F - -my(O = mO几 cos份 mcpjLL 儿 cos分 =-K/jys cos cot 弹性力： fe = -Ky(t) = K/jys cos创阻尼力：Fd = Cy(O = CcD(jys sin cot n需 =2mge 2“?、sin cotn = (o=-2mco2 儿 sin cot= -m(Dys sin血=mco 2 sin cot = P sin cotmco可见，共振时惯性力与弹性力平衡；阻尼力与外力（干扰力） 平衡。若无阻尼，则无任何力与外力（干扰力）平衡，以致 出现y趋于g,产生共振五、地震地面运动惯性力F =m(yg(t) + y(t)弹性力Fe = -Kny(t)阻尼力Fd = cy(t)加g (0 + ()+qy(0 + Ky(t)=0+ K 1 y(t) = -myg (0