概率论与数理统计习题答案中国农业出版社张雅文李晓莉主编

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1、习题1解答1写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. “出现奇数点”； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. “两次点数之和为10”，“第一次的点数，比第二次的点数大2”； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5；从中同时取出3只球，观察其结果，“球的最小号码为1”； （4）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，“通过汽车不足5台”，“通过的汽车不少于3台”.解 （1）其中“出现点”， . （2） ； ； . （3） （4）.2设是随机试验的三个事件，试用表示下列事件： （1）仅发生； （2）中至少有两个发生； （3）

2、中不多于两个发生； （4）中恰有两个发生； （5）中至多有一个发生.解 （1） （2）或； （3）或； （4）； （5）或；3一个工人生产了三件产品，以表示第件产品是正品，试用表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品.解 （1）；（2）；（3）；（4）.4在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率.解 设“任取一电话号码后四个数字全不相同”，则 5一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率.解 （1）设“5只全是好的”，则； （

3、2）设“5只中有两只坏的”，则.6袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求（1）3个球的最小号码为5的概率；（2）3个球的最大号码为5的概率.解 （1）设“最小号码为5”，则； （2）设“最大号码为5”，则.7求下列事件的概率：（1） 一枚骰子连掷4次，至少出现一个6点；（2）两枚骰子连掷24次，至少出现一对6点. 这是概率论发展历史中非常著名的一个问题(德梅尔问题)，当年德梅尔认为这两个事件的概率应当相同，但是在实际下赌注中发现其中一个发生的次数要稍微多些.为此他迷惑不解，把问题提交给了当时的数学家帕斯卡.下面我们就来具体计算一下两个事件的概率：设=“一枚骰子连掷4次，至少出现

4、一个6点”， =“两枚骰子连掷24次，至少出现一对6点”则 ，8（1）教室里有个学生，求他们的生日都不相同的概率；（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.解 （1）设“他们的生日都不相同”，则； （2）设“至少有两个人的生日在同一个月”，则 ；或 .9从6双不同的鞋子中任取4只，求：其中恰有一双配对的概率；至少有两只鞋子配成一双的概率解 分析：先从6双中取出一双，两只全取；再从剩下的5双中任取两双，每双中取到一只，则中所含样本点数为，所以所求概率P/设B表示“至少有两只鞋子配成一双”，则：1/C，或C注：不能把有利事件数取为，否则会出现重复事件这是因为，若鞋子标有号码1，2，

5、6时，可能取中第号鞋，此时可能取中号一双，此时成为两双的配对为；但也存在配对，与是一种，出现了重复事件，即多出了个事件10设事件与互不相容，求与解 因为不相容，所以，于是11若且，求.解 由得12对任意三事件，试证.证明 . 证毕.13随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率.解 半圆域如图0yxyxax 设“原点与该点连线与轴夹角小于” 由几何概率的定义 14把长为的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.解1 设“三段可构成三角形”，又三段的长分别为，则，不等式构成平面域.aS 发生Aa/2 不等式确定的子域，

6、所以aa/20 解2 设三段长分别为，则且 ，不等式确定了三维空间上的有界平面域.xzyA 发生 不等式确定的子域，所以 .15随机地取两个正数和，这两个数中的每一个都不超过1，试求与之和不超过1，积不小于0.09的概率.解 ，不等式确定平面域.1yy1y0.90.10yASxy “”则发生的 充要条件为不 等式确定了的子域，故 16假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设“任取一件是等品” ，所求概率为 ，因为 所以 故 .17设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合

7、格品的概率.解 设“所取两件中有一件是不合格品” “所取两件中恰有件不合格” 则 ，所求概率为 .18袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设“发现是同一颜色”，“全是白色”，“全是黑色”，则，所求概率为 19设求与.解 .20甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率.解 设“从乙袋中取出的是白球”，“从甲袋中取出的两球恰有个白球”. 由全概率公式 .21已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概

8、率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率.解 设“任取一产品，经检查是合格品”， “任取一产品确是合格品”，则 ，所求概率为.22玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.试求： （1）顾客买下该箱的概率； （2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率.解 设“顾客买下该箱”， “箱中恰有件残次品”， （1） ； （2）.23某大型商场所出售的一种商品来自甲、乙、丙、丁四个厂家，它们的产品在该卖场所占的份额依次为：60%，20%，1

9、0%，10%，且根据以往的检验记录知，它们的次品率分别为1%，2%，3%，2%. 现有一件商品因质量问题被退货，商场欲将该产品退给原厂家，或由其承担相关费用，但该产品的标识已脱落，从外观无法弄清生产厂家，请你通过计算分析，为该商场处理此事提出建议.解 用（）分别表示产品来自甲、乙、丙、丁四个厂家，设“产品被退货”则，(1)由全概率公式,(2) 由贝叶斯公式,以上结果表明,这只产品来自甲工厂的可能性最大，尽管甲厂次品率最低，但甲厂所占的份额大，所以该产品出自甲厂的可能性最大.处理办法：商场可以将该产品退回甲厂，也可按照比例6:4:3:2由四个厂家分摊相关费用.24甲、乙两人独立地对同一目标各射击

10、一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求甲击中的概率.解 设“目标被击中”，“第个人击中” 所求概率为 .25设，证明、互不相容与、相互独立不能同时成立.证明 若、互不相容，则，于是所以、不相互独立. 若、相互独立，则，于是，即、不是互不相容的.注：从上面的证明可得到如下结论： 1）若、互不相容，则、又是相互独立的或. 2）因，所以 如果 ，则，从而可见概率是1的事件与任意事件独立，自然，必然事件与任意事件独立. 如果，则，即概率是零的事件与任意事件独立，自然，不可能事件与任何事件独立.26证明若三事件相互独立，则及都与独立.证明 即与独立. 即 与相互独立. 27某个公司招聘员

11、工，指定三门考试课程，目前有两种考试方案：方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中任选两门，两门都及格为考试通过.若某应聘者对三门指定课程及格的概率分别为，且三门课程之间及格与否互不影响.（1）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（2） 哪种方案对应聘者更有利？为什么？解 设“考生参加第门考试且及格”，“第个方案通过”，则 由于 ，所以因此方案一比方案二更容易通过.28图中1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率均为，且设各继电器闭合与否相互独立，求至是通路的概率.L14532R解 设“是通路”，“第个接点闭合” ，则 29一射手对

12、同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，求该射手的命中率.解 设该射手的命中率为，由题意，所以 .30设一批晶体管的次品率为0.01，今从这批晶体管中抽取4个，求其中恰有一个次品和恰有两个次品的概率.解 . .31设在伯努里试验中，成功的概率为，求第次试验时得到第次成功的概率.解 设“第次试验时得到第次成功”，则 “前次试验，成功次，第次试验出现成功”，所以（前次试验，成功次）（第次试验成功） .32设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品，不能出厂.现该厂生产了台仪器（假定各台仪器

13、的生产过程相互独立）.求（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰有两台不能出厂的概率；（3）其中至少有两台不能出厂的概率.解 设“任取一台可以出厂”，“可直接出厂”，“需进一步调试”.则 ， 将台仪器看作重伯努里试验，成功的概率为，于是 （1）， （2）， （3）. 习题2解答1试说明下列函数能否为某随机变量的分布函数. 解 是；不是，因为.2设随机变量的分布函数为且，试求：（1）常数的值；（2）. 解 (1) 由于，即.又.由上两式知.(2) .3将编号为的四个球随机地放入个不同的盒子中，每个盒子所放球的个数不限，以表示放球最多的盒子中球的个数，试求的分布列及其分布函数.解 ；.4现定期发行某种

14、彩票，每注1元，中奖率为. 某人每次购买1注，如果没有中奖下次再继续购买1注，直至中奖为止. 试求该人购买次数的分布列.解 .5一袋中装有个不同的白球，个不同的黑球，连续从袋中不放回地取球，直至取出黑球为止，设此时取出了个白球，试求的分布列.解 .6设随机变量的分布列为 3 试求：（1）常数的值；（2）在的条件下的概率.解 (1)由知或2. 又，故舍去，即.(2) .7设离散型随机变量的分布函数为试求：（1）的分布列；（2）；（3）设，求的分布函数.解 (1) 可以取值.；.故的分布列为 (2) .(或)(3) 由于，从而分布列为 即 所以，8设连续型随机变量的分布函数为试求：（1）常数的值；

15、（2）随机变量的密度函数；（3）.解 (1) 由知；由知；由在0点连续知，即，故.(2) 在导数存在的处有，所以，(3) 由于为连续函数，故.9设连续型随机变量的密度函数为试求：（1）常数的值；（2）随机变量的分布函数；（3）.解（1）由于. 故. （2）当时，； 当时，； 当时，； 当时，.故，（3）.10设连续型随机变量，证明：对一切实数，有.证明 由于，从而其分布函数为故，对一切实数， .11设离散型随机变量的分布列为，其中，证明：对任意正整数有，（上述分布列对应的分布称为参数为的几何分布，上述性质称为几何分布的无记忆性）.解 .从而， .12某人购买某种彩票，若已知中奖的概率为，现购买

16、张彩票，试求：（1） 此人中奖的概率；（2）至少有张彩票中奖的概率（用泊松分布近似计算）.解 设中奖的彩票数为，则.（1）.（2）由于，故.13假设测量的随机误差，试求在次独立重复测量中，至少有二次测量误差的绝对值大于的概率.解 .设为次测量中误差的绝对值大于的次数，则. 故 .14一个完全不懂中文的外国人去参加一个中文考试，假设此考试有个选择题，每题有个选择，其中只有一个正确答案，试求：此人能答对题以上而及格的概率.解 设为答对的题目数，则. 故 15假设一保险公司在任何长为的时间内发生索赔的次数服从参数为的泊松分布，试求：（1）相继两次索赔之间时间间隔的分布；（2）在保险公司小时内无索赔的

17、情况下，再过小时仍无索赔的概率.解 （1）当时，故，；当时，.从而，的密度函数为故，.（2）所求概率为. 由第题的结论知.16设连续型随机变量的分布函数为，其密度函数为偶函数. 试证明：对任意实数，有（1）；（2）；（3）.证明 由于为偶函数，所以，. 从而，. 又，所以，.（1） .又. 所以，由上式知，.（2）.（3）.17设随机变量，试求：（1）；（2）；（3）.解 （1）；（2）；（3）.18设随机变量，随机变量 试求：（1）二维随机变量的联合分布列；（2）的联合分布函数.解 （1）由知其密度函数为；.故，的联合分布列为 （2）当或时，；当时，；当时，；当时，；当时，.从而，19设二维

18、连续型随机变量的联合密度函数为试求：（1）常数的值；（2）与的边缘密度函数及；（3）及.解 （1）.（2）. 当或时，；当时，.故，类似地，（3）；或.20设二维连续型随机变量的联合密度函数为试求：（1）与的边缘密度函数及；（2）与相互独立吗？（3）的密度函数.解 （1）. 当或时，；当时，.故，. 当或时，；当时，.故，（2）由于当时，且区域的面积不为0，所以，与不相互独立.（3）先求的分布函数.当，即时，；当，即时，；当，即时，.从而，所以，的密度函数为21设二维离散型随机变量的联合分布列 试求：（1）与的边缘分布列；（2）在的条件下，的条件分布列；（3）与相互独立吗？解 （1） （2）在

19、的条件下，的条件分布列为；.在的条件下，的条件分布列为；在的条件下，的条件分布列为；.（3）对任意的可验证.所以，与相互独立.22设二维连续型随机变量的联合密度函数为（1）（2）试求：条件密度函数及.解 （1）先求边缘密度函数及. 当或时，；当时，.故， 类似地，所以，当时，当时，（2）先求边缘密度函数及. 当或时，；当时，.故， 类似地，所以，当时， 当时，23设连续型随机变量的密度函数为试求：及的密度函数.解 设，先求的分布函数，在对其求导数.当，即时，故；当，即时，故；当，即时，故， .所以，的密度函数为设，先求的分布函数，在对其求导数.当时，故；当时，.当，即时，故， ；当且，即时，故

20、， ；当且，即时，故.所以，的密度函数为24设连续型随机变量的密度函数为令，为二维随机变量的联合分布函数. 试求：（1）的密度函数；（2）.解 （1）先求的分布函数，在对其求导数.当时，故； 当时，.当，即时，故，；当且，即时，故，； 当且，即时，故.所以，（2） .25设随机变量，试求：及的密度函数.解 由知其密度函数为设，函数. 则，. 由于单调，反函数存在且当时，. 所以，当时，.从而，当，即时，.所以，的密度函数为设，先求的分布函数，在对其求导数.当时，故；当时，.当，即时，故， ；当，即时，故， .所以，的密度函数为26设连续型随机变量的密度函数为为随机变量的分布函数. 试求：（1）

21、；（2）随机变量的密度函数.解 （1）.当时，；当时，；当时，.所以，（2）先求的分布函数，在对其求导数.当时，故； 当时，.故，；当时，故.所以，的密度函数为27设随机变量的分布函数为严格单调的连续函数.（1）试证明随机变量服从均匀分布；（2）若对任意实数，且，试证明随机变量服从指数分布.解 由于为严格单调递增，从而的反函数存在且单调递增.（1）先求的分布函数，在对其求导数.当时，故； 当时，故；当时，.故，；所以，的密度函数为即，服从均匀分布.（2）先求的分布函数，在对其求导数.当时，故；当时， ，故，. 所以，从而，服从指数分布.28设离散型随机变量的分布列为 试求：（1）常数的值；（2

22、）的分布列.解 （1）由于，故.（2）由的分布列知， 合并取的概率得的分布列为 29设随机变量，且与相互独立，试证明.证明 设，可取. 从而，由与相互独立知，对任，.由于，故当时，是不可能事件，所以只须考虑；当时，是不可能事件，所以只须考虑.因此记， ，则 .而由组合公式知.所以，.这说明.30设随机变量，且与相互独立，试求：（1）；（2）的密度函数.解 由，知，与的密度函数分别为 及 又由与相互独立知的一个联合密度函数为（1）.（2）设的密度函数为. 由于与相互独立，从而.由，不等于零的区域知所以，当时，；当时，；当时，.所以，31设离散型随机变量的分布列为 连续型随机变量的密度函数为且与相

23、互独立. 试问随机变量为连续型吗？若是，求其密度函数.解 设的分布函数为，则由与相互独立知 .所以，为连续型，其密度函数为.习题3解答1设有把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去逐一试开门锁，设每把钥匙被取到的可能性相等. 若每把钥匙试开一次后除去，试求试开次数的数学期望及方差. （提示：）解 的分布列为.从而， . .2设连续型随机变量的密度函数为对独立地重复观察次，用表示观察值大于的次数，试求的数学期望.解 由于，所以，. 故，. 所以，.3设离散型随机变量的分布函数为试求：，及.解 由知的分布列为，.从而， ，.又，故.4 设随机变量，随机变量试求：及.解 由知其密

24、度函数为从而， ，.故， ，.5设连续型随机变量的密度函数为试求：（1），及；（2）；（3）与不相关吗？相互独立吗？解 （1） ， ，.（2） ，.从而， .（3）由于，从而. 故，与相关. 从而，与不相互独立.6设二维离散型随机变量的联合分布列为： 试求：（1），及；（2）；（3）与不相关吗？相互独立吗？解 由的联合分布列可得与的分布列分别为 （1） ，.（2） ，.（3）由于，从而. 所以，与不相关. 而，所以，与不相互独立.7 设二维连续型随机变量的联合密度函数为试求：（1）常数的值；（2），；（3）；（4）与不相关吗？相互独立吗？解 （1）由于，故.（2） ，.（3） ，.（4）由于，

25、所以，与相关. 从而，与不相互独立.8设随机变量，且与相互独立，设事件，已知，试求：（1）常数的值；（2）.解 （1）由于，所以，.又由于与相互独立，故与相互独立. 所以，.所以，即. 从而，当时，,故，.（2）由于与相互独立，所以，的一个联合密度函数为故， .或者，由与相互独立知，与也相互独立(见2.5的定理2.5.4). 所以，.9设随机变量且，随机变量且与相互独立，试求：及.解 由知，. 所以，. 又，故. 所以，. 由于，故，. 所以，.由于与相互独立，故.10设二维随机变量，试求：.解 由于，所以，且与相互独立. 故，=5.11设随机变量，且，若，试求：及.解 由，知，. 从而， .

26、12一农场主租用一块河滩地，若无洪水年终可望获利元，若出现洪灾他将赔掉元（租地费、种子、肥料、人工费等）. 根据往年经验，出现洪灾的概率为. 问：（1）求出农场主期望的赢利.（2）保险公司允诺投保元，将补偿因洪灾所造成的损失，农场主是否买这一保险？（3）你认为保险公司收取的保险金是太多还是太少？解 （1）设为农场主的赢利额，则的分布列为 所以， .（2）设为农场主投保后的赢利额，则的分布列为 所以，. 从而要买这一保险.（3）设为保险公司的赢利额，则的分布列为 所以，. 所以，保险金收的太少.13将一枚均匀的硬币连续掷次，以和分别表示正面向上和反面向上的次数，试求：与的相关系数.解 由于，从而

27、与负线性相关，故.或者由于，所以，. 又 .从而，. 故，.14设与为随机变量，其中常数，证明：.证明 .又，所以，.15设随机变量，且与相互独立，试求：与的相关系数（其中，是不全为零的常数）.解 由，知，. 从而， .又，.所以， .16设随机变量，试求：（1）的阶原点矩，三阶及四阶中心矩；（2）的偏度，峰度及变异系数.解 （1） ，.（2）由于，所以，.17设与为两个随机事件，记 证明：随机变量与不相关的充分必要条件是与相互独立.证明 由于 ， ，.所以， ，即与相互独立.18对于任意两个随机事件，若，则称为随机事件与的相关系数.（1）试证明随机事件与相互独立的充分必要条件为其相关系数等于

28、零；（2）利用随机变量的相关系数的性质证明.证明 （1）由的定义知，即与相互独立.（2）设 从而， ，.所以， .从而，由知.习题4解答1. 用切比雪夫不等式估计下列各题的概率：（1）废品率为0.03，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率.（2）200个新生婴儿中，男孩多于80个且少于120个的概率（假定生男孩和生女孩的概率均为0.5）.解 （1）设表示1000个产品中废品的个数，则，所以 所求概率 在切比雪夫不等式中取，就有 （2）设表示200个新生婴儿中男孩的个数，则所以 所求概率 在切比雪夫不等式中取，就有 2. 用棣莫佛拉普拉斯中心极限定理计算上题的概率.解 （1）设表示1

29、000个产品中废品的个数，则所以 因很大，由棣莫佛拉普拉斯定理得 （2）设表示200个新生婴儿中男孩的个数，则所以 由棣莫佛拉普拉斯定理得 3. 已知正常成人男性血液中每毫升含白细胞数的平均值是7300个，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数在52009400之间的概率.解 以表示每毫升含白细胞数，由题设而概率 在切比雪夫不等式中，取，此时 ，知4. 如果是个相互独立同分布的随机变量，。对于，写出所满足的切比雪夫不等式，并估计.解 所以对所满足的切比雪夫不等式为于是 5. 设为独立的随机变量序列，且证明服从大数定律.解 因为所以由的独立性可得 于是对任意正数，由切比雪夫不

30、等式得 就有 但概率不能大于1，故必有 ，即服从大数定律.6. 袋装茶叶用机器装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为100克，标准差为10克，一大盒内装200袋，求一盒茶叶净重大于20.5公斤的概率.解 以表示第袋茶叶的净重，则一盒茶叶的总重量为.由已知 由中心极限定理 7. 生产灯泡的合格率为0.6，求10000个灯泡中合格灯泡数在58006200之间的概率.解 设表示10000个灯泡中合格的灯泡数，则.由棣莫佛拉普拉斯定理得如果用切比雪夫不等式估计，则有 切比雪夫不等式理论上具有重要意义但估计不精确.8. 从大批发芽率为0.9的种子中随机抽取1000粒，试估计这1000粒种子发芽率不低于0

31、.88的概率.解 设表示1000粒种子中发芽的粒数，则表示这1000粒种子的发芽率，且，从而 9. 某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能15个单位.问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.解 设表示同时开动机床的台数，则 又设同时开动台数不超过的概率为95%.由中心极限定理 由题意要求 查表得 得，取，应供电能个单位才能满足要求.10. 一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件构成.在整个运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，为了使整个系统起作用，至少需要有85个部件工作.求整个系统起作

32、用的概率.解 设表示正常工作着的部件数，则由棣莫佛拉普拉斯定理，整个系统能起作用的概率为 11. 在人寿保险公司里有10000个同一年龄的人参加人寿保险.在这一年中，这些人的死亡率为0.6%，参加保险的人在一年的头一天交付保险费12元，死亡时，家属可以从保险公司领取1000元.求(1)保险公司一年中获利不少于40000元的概率；(2)保险公司亏本的概率.解 设表示一年中10000个同龄参保人中死亡的人数，则，由题意，保险公司的收益为元，支出为1000.由中心极限定理（1）保险公司一年中获利不少于40000元的概率为 （2）保险公司亏本的概率为 可见保险公司一般不会亏本.12. 设随机变量相互独

33、立且都在0，1上服从均匀分布.令，试用中心极限定理计算的值.解 因为所以 从而 于是 习题5解答1.有放回地从装有一个白球和两个黑球的罐子里取球，令表示取到白球，表示取到黑球，写出容量为5的简单随机样本的联合分布的概率函数.解 因为罐子里有1个白球和2个黑球，按有放回方式取球，则取到白球的概率；取到黑球的概率；如此连续的取5次球，则，其中 2.设总体服从泊松分布，求容量为的简单随机样本的联合分布的概率函数.解 因为，故，则3.设总体分布是区间的均匀分布，写出容量为5的简单随机样本的联合概率密度函数.解 因为，故，则4.设抽样得到的样本观测值为： 38.2，40.0，42.4，37.6，39.2

34、，41.0，44.0，43.2，38.8，40.6.计算样本均值、样本方差、样本标准差与样本二阶中心矩.解 样本均值 40.5,样本方差4.66样本标准差,样本二阶中心矩 4.1945.在某苗圃园随机抽取40株苗木，测得苗高（单位：cm）如下： 283,292,320,275,276,300,252,220,281,310,243,138,291,260, 262,169,252,165,241,310,261,325,295,300,270,264,135,343, 190,244,275,314,164,185,144,258,141,221,230,230求样本均值，样本方差和样本标准差

35、.解 样本均值 248.225样本方差 3160.58样本标准差56.2196.在第5题中，求样本频数频率分布表，作样本频率直方图.解 略7.设总体，其中已知，未知，是从中抽取的简单随机样本，指出下列各项中哪些是统计量？哪些不是统计量，为什么？ ，解 统计量必须是不含有任何未知参数的量，在上述四项中，由于含有了未知的参数，故不是统计量.8.设是取自总体的简单随机样本，求统计量的抽样分布.解 因为服从正态分布且相互独立，故，所以有根据式（5.2.9）有故 9.设总体，从中抽取样本，记样本均值为，样本方差为，若再抽取一个样本，证明：统计量.证明 因为，所以有，又因为，根据式（5.2.13）有：10

36、.查表求的值.解 查附表4，；查附表5，；查附表6，11.设，求常数，使得.解 查附表5，因为，则，所以12.设是独立且服从相同分布的随机变量，(1)试给出常数，使得服从分布，并指出它的自由度；(2)试给出常数，使得服从分布，并指出它的自由度.解 （1）因为独立且服从，根据式（5.2.9）有:，所以，自由度为2.（2）因为独立且服从相同的分布，所以有，则根据式（5.2.13）有，所以，自由度为3.13.设总体服从正态分布，（1）从总体中抽取容量为64的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值小于1的概率；（2）抽取样本容量为多大时，才能使概率达到0.95？解 （1）因为，则从总体中抽取容量为64

37、的样本有，所以0.8904.（2）当抽取样本容量为时，要使得 ，查附表1得，所以.14.从正态总体中抽取容量为10的样本，（1）已知，求的概率；（2）未知，求的概率.解 （1）当时，因为，则，所以，查附表4得上述概率为0.1.（2）当为未知时，因为，则，所以有，查附表4得，故上述概率为0.75.15.设总体，总体 ，从总体中抽取容量为10的样本，从总体中抽取容量为8的样本，求下列概率：（1）；（2）解 （1）因为所以有（2）因为所以有查附表6得，即由此得所求的概率16.设总体，抽取样本，求下列概率：（1）；（2）解 （1）因为，所以有0.8413，故原式=.（2） ，又，故上式=.习题6解答1

38、. 设为来自总体X的样本，X的分布如下，试求分布中未知参数的矩估计和最大似然估计.（1）X的概率密度为（2）X的概率密度为（3）X的概率函数为（其中m为已知正整数）解（1）a)由题意 解之得：，用代替，得的矩估计：.b)构造似然函数 .两边取对数得 对求导并令其等于零,得似然方程 ，解之得参数l 的最大似然估计值为 ，与它相应的估计量，即为l 的最大似然估计量.（2）a) 由题意解之得：，用代替，得的矩估计： .b) 构造似然函数 .两边取对数得 对求导并令其等于零,得似然方程 ，解之得参数 的最大似然估计值为 ，与它相应的估计量，即为 的最大似然估计量.（3）a)由题意 解之得：，用代替，得

39、p的矩估计：.b)构造似然函数 两边取对数得 对p求导并令其等于零,得似然方程 ，解之得参数p 的最大似然估计值为 ，与它相应的估计量，即为p的最大似然估计量.2. 设总体X的概率密度试求未知参数q 的矩估计量.解 由题意解之得：，用代替，得的矩估计： .3. 设为的无偏估计,且,试证不是的无偏估计；反之,若为的无偏估计, ,则也不是的无偏估计.证明 （1）利用反证法假设为的无偏估计，即由已知，此与已知矛盾，所以假设错误，亦即不是的无偏估计，得证.(2)同理可证. 4. 设总体未知,和分别为来自于总体X、Y的容量为n1、n2的两个独立样本,样本均值分别为，样本方差分别为，试证明是的一个无偏估计

40、.证明 由已知所以， 证毕.5. 设总体X的均值和方差分别为,是来自总体的一个样本.试确定常数A使为的无偏估计量.解 由题意知：而所以 .6. 设是参数q 的两个独立的无偏估计量，k0已知.试确定常数使是q 的无偏估计，并且在所有这种形式的估计中方差最小.解 由题意即 将（1）代入（2）有：欲使达到最小，利用高数知识求导，所以 当，存在极小值.亦即当时，满足题中要求.7. 设有总体X，其均值和方差分别为,是X的一个样本,试验证下列统计量(1)； (2) ； (3) 均为m 的无偏估计量，并比较其有效性.证明 因为 所以均为m 的无偏估计量.又因 即 所以最有效. 较有效，较有效. 8. 设有一

41、批产品,为估计其废品率p ，随机取一样本，其中试证是p 的一致无偏估计量.证明 法一：由已知，所以由切比雪夫定理，即 ，所以是p 的一致无偏估计量.法二：因为所以是p 的一致无偏估计量.9. 判断下列结论是否正确,并说明理由.(1) 在给定置信度1-a，对总体参数q 进行区间估计时，置信区间的长度与置信度密切关联.当(1-a)缩小时，则置信区间的长度缩短；当(1-a)取值增大，则置信区间的长度增长.(2) 在给定置信度情况下，未知参数的置信区间是惟一确定的.(3) 对于未知参数q 建立的统计量与，若且有成立，则参数q 落在区间(,)的概率为1-a.解 （1）正确；（2）错误（不惟一）；（3）错

42、误（区间(,)为随机区间）.10. 设总体为来自X的一个样本，为未知参数，若以L表示m 的置信度为1-a 的置信区间的长度，求E (L2).解 因为为未知参数，所以m 的置信度为1-a 的置信区间为即 因为 所以 .11. 某车间生产滚珠,从长期实践中知道,滚珠直径X可以认为服从正态分布.从某天的产品里随机抽取6个,测得直径(单位:mm)为:14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1(1) 试估计该天产品的平均直径(总体均值)；(2) 若已知总体方差为0.06，试求平均直径的置信区间(置信度为0.95).解 （1）由题意所以 （2）s 2=0.06，对于1-a=0.9

43、5 a=0.05 u0.025 =1.96,故平均直径m 的置信区间为=14.75，15.15.12. 随机地从一批零件中抽取16个，测得其长度(单位cm)为 2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11.设该零件长度服从正态分布，就下述两种情形分别求总体均值m 的90%的置信区间.（1）若已知s =0.01；(2) 若s 未知.解 由题意（1）s =0.01 m 的置信区间为=2.121，2.129. （2）s 未知m 的置信区间为=2.118，2.

44、133.13. 对方差为已知的正态总体，问须抽取容量n为多大的样本，方能使总体均值m的置信度为1-a 的置信区间的长度不大于L.解 因已知，且总体正态所以总体均值m 的置信度为1-a 的置信区间为即区间长度 亦即： .14. 某地引种一批意大利杨，3年后抽得50株调查树高，取得样本数据如下表(单位:m)树高16182022242628株数138141761:50试以0.95的置信度估计引种的这批意大利杨树高的置信区间.解 由题意总体为非正态总体，对于1-a=0.95 a=0.05 u0.025 =1.96,杨树高的置信区间为=21.916，23.284.15. 在某市调查14个城镇居民户，得平

45、均户均购买食用植物油数量的样本均值和样本标准差分别为kg, kg.假设户均食用植物油量X(单位:kg)服从正态分布,试求：(1) 置信度为0.95的总体均值m 的置信区间；(2) 置信度为0.90的总体方差的置信区间.解 （1）由题意对于所以m 的置信区间为=7.736，9.664.（2）对于所以s 2 的置信区间为=1.621，6.153.16. 随机地取某种炮弹9发作试验，得炮口速度的样本标准差s=11(m/s).设炮口速度服从正态分布.求这种炮弹的炮口速度的标准差s 的置信度为0.95的置信区间. 解 n = 9, s = 11对于所以s 的置信区间为=7.429，21.072.17.

46、从甲、乙两个生产蓄电池的工厂的产品中，分别抽取一些样品，测得蓄电池的电容量（A.h） 如下： 甲厂：144，141，138，142，141，143，138，137； 乙厂：142，143，139，140，138，141，140，138，142，136 .设两个工厂生产的蓄电池的电容量分别服从正态分布，试求：（1）电容量的方差比的置信度为0.95的置信区间； （2）电容量的均值差的置信度为0.95的置信区间（假设）.解 总体，（1）m1，m2 未知所以的置信度为1-a的置信区间为对于又故可得的0.95的置信区间为=0.328，6.645.(2) 未知的置信度为0.95 的置信区间为 对于计算=2

47、.357 ， 故的置信度为0.95 的置信区间为-1.77，2.97.18. 设总体X服从泊松分布P ()，抽取容量n =100的样本，已知样本均值，求总体均值的置信度为0.98的置信区间.解 n = 100，由中心极限定理：因，所以则有 由所以 解不等式，即得的置信度为0.98的置信区间为3.56，4.49.19. 从一批电子元件中抽取100个样品，测得它们的使用寿命的均值(h)，设电子元件的使用寿命服从指数分布e ()，求参数的置信度为0.90的置信区间.解 n = 100，由中心极限定理：因，所以则有 由所以 解不等式，即得的置信度为0.90的置信区间为0.000334，0.000466.20. 胶合板厂对生产的胶合板作抗压试验，测试了15个试件，取得的数据如下（单位：kg/cm2） 422.2, 417.2, 425.6, 420.3, 425.8, 428.1, 418.7, 428.2, 438.3, 434.0,