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1、高中数学3.43.4生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例高中数学课标要求课标要求素养达成素养达成1.1.了解导数在解决实际问题中的作了解导数在解决实际问题中的作用用. .2.2.掌握利用导数解决简单的实际生掌握利用导数解决简单的实际生活的优化问题活的优化问题. .通过对生活中的优化问题举例的学通过对生活中的优化问题举例的学习习, ,提高学生的分析问题能力和解提高学生的分析问题能力和解决问题能力决问题能力, ,培养学生的数学应用培养学生的数学应用意识意识. .高中数学新知探求新知探求课堂探究课堂探究高中数学新知探求新知探求 素养养成素养养成知识点知识点梳理梳理(1)(1)生活中经常遇到求利润
2、最大、用料最省、效率最高等问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题, ,这些这些问题通常称为问题通常称为 . .优化问题优化问题优化问题优化问题(2)(2)解决优化问题的基本思路解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程过程. .数学建模数学建模高中数学名师点津名师点津: :利用导数解决生活中优化问题的方法利用导数解决生活中优化问题的方法求实际问题中的最大值或最小值时求实际问题中的最大值或最小值时, ,一般是先设自变量、因变量一般是先设自变量、因变量, ,建立函数建立函数关系式关系式, ,并确定其定义域并确定其定义域, ,利用
3、求函数的最值的方法求解利用求函数的最值的方法求解, ,注意结果应与实际注意结果应与实际情况相结合情况相结合. .用导数求解实际问题中的最大用导数求解实际问题中的最大( (小小) )值时值时, ,如果函数在开区间内如果函数在开区间内只有一个极值点只有一个极值点, ,那么依据实际意义那么依据实际意义, ,该极值点也就是最值点该极值点也就是最值点. .高中数学题型一题型一 与几何有关的最值问题与几何有关的最值问题课堂探究课堂探究 素养提升素养提升【例例1 1】 (2018 (2018青岛高二检测青岛高二检测) )用长为用长为90 cm,90 cm,宽为宽为48 cm48 cm的长方形铁皮做一个的长方
4、形铁皮做一个无盖的容器无盖的容器, ,先在四个角分别截去一个小正方形先在四个角分别截去一个小正方形, ,然后把四边翻转然后把四边翻转9090, ,再焊再焊接而成接而成( (如图如图),),问该容器的高为多少时问该容器的高为多少时, ,容器的容积最大容器的容积最大? ?最大容积是多少最大容积是多少? ?高中数学解解: :设容器的高为设容器的高为x cm,x cm,容器的体积为容器的体积为V(x) cmV(x) cm3 3. .则则V(x)=x(90-2x)(48-2x)=4xV(x)=x(90-2x)(48-2x)=4x3 3-276x-276x2 2+4 320 x(0 x24).+4 320
5、 x(0 x24).V(x)=12xV(x)=12x2 2-552x+4 320=12(x-552x+4 320=12(x2 2-46x+360)=12(x-10)(x-36)(0 x24).-46x+360)=12(x-10)(x-36)(0 x24).令令V(x)=0,V(x)=0,得得x x1 1=10,x=10,x2 2=36(=36(舍去舍去).).当当0 x100 x0,V(x),V(x)0,V(x)是增函数是增函数; ;当当10 x2410 x24时时,V(x)0,V(x),V(x)0,V(x)是减函数是减函数. .因此因此, ,在定义域在定义域(0,24)(0,24)内内, ,
6、只有当只有当x=10 x=10时函数时函数V(x)V(x)取得最大值取得最大值, ,其最大值为其最大值为V(10)=10V(10)=10(90-20)(90-20)(48-20)=19 600(cm(48-20)=19 600(cm3 3).).故当容器的高为故当容器的高为10 cm10 cm时时, ,容器的容积最大容器的容积最大, ,最大容积是最大容积是19 600 cm19 600 cm3 3. .高中数学方法技巧方法技巧 解决面积、容积的最值问题解决面积、容积的最值问题, ,要正确引入变量要正确引入变量, ,将面积或容积将面积或容积表示为变量的函数表示为变量的函数, ,结合实际问题的定义
7、域结合实际问题的定义域, ,利用导数求解函数的最值利用导数求解函数的最值. .高中数学即时训练即时训练1:1:某出版社出版一读物某出版社出版一读物, ,一页上所印文字占去一页上所印文字占去150 cm150 cm2 2, ,上、下要上、下要留留1.5 cm1.5 cm空白空白, ,左、右要留左、右要留1 cm1 cm空白空白, ,出版商为节约纸张出版商为节约纸张, ,应选用怎样尺寸应选用怎样尺寸的页面的页面? ?高中数学高中数学题型二题型二 费用最省问题费用最省问题高中数学高中数学(2)(2)当当m=640m=640米时米时, ,需新建多少个桥墩才能使需新建多少个桥墩才能使y y最小最小? ?
8、高中数学方法技巧方法技巧 实际问题中实际问题中, ,若在定义域内只有一个极值点若在定义域内只有一个极值点, ,则它就是最值点则它就是最值点; ;若在定义域内函数单调若在定义域内函数单调, ,则根据单调性求最值则根据单调性求最值. .高中数学高中数学高中数学(2)(2)隔热层修建多厚时隔热层修建多厚时, ,总费用总费用f(xf(x) )达到最小达到最小, ,并求最小值并求最小值. .高中数学题型三题型三 利润最大问题利润最大问题高中数学高中数学(2)(2)年产量为多少千件时年产量为多少千件时, ,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大最大?(?(
9、注注: :年利润年利润= =年销售收入年销售收入- -年总成本年总成本) )高中数学高中数学即时训练即时训练3:3:某产品每件成本某产品每件成本9 9元元, ,售价售价3030元元, ,每星期卖出每星期卖出432432件件. .如果降低价如果降低价格格, ,销售量将会增加销售量将会增加, ,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(x(单位单位: :元元,0 x21),0 x21)的平方成正比的平方成正比. .已知商品单价降低已知商品单价降低2 2元时元时, ,一星期多一星期多卖出卖出2424件件. .(1)(1)将一个星期的商品销售利润表示成将一
10、个星期的商品销售利润表示成x x的函数的函数; ;解解: :(1)(1)若商品降低若商品降低x x元元, ,则一个星期多卖的商品为则一个星期多卖的商品为kxkx2 2件件. .由已知条件由已知条件, ,得得k k2 22 2=24,=24,解得解得k=6.k=6.若记一个星期的商品销售利润为若记一个星期的商品销售利润为f(x),f(x),则有则有f(x)=(30-x-9)(432+6xf(x)=(30-x-9)(432+6x2 2)=-6x)=-6x3 3+126x+126x2 2-432x+9 072,x0,21.-432x+9 072,x0,21.高中数学(2)(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大? ?高中数学题型四题型四 易错辨析易错辨析忽视分类讨论致误忽视分类讨论致误高中数学(1)(1)写出写出y y关于关于r r的函数表达式的函数表达式, ,并求该函数的定义域并求该函数的定义域; ;(2)(2)求该容器的建造费用最小时的求该容器的建造费用最小时的r.r.高中数学纠错纠错: :没有对没有对r r进行讨论进行讨论. .高中数学高中数学高中数学点击进入点击进入 课时作业课时作业
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