三角形中做辅助线的技巧及典型例题

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1、第1页共21页三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角 形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅 助线的作法

2、，一般有两种。 从角平分线上一点向两边作垂线； 利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于 选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。DF,则有件。D 平分DA=DC与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图1-1，/ AOCM BOC如取 0E=0F并连接 DEOEDA OFD从而为我们证明线段、角相等创造了条例 1. 如图 1-2 , AB/CD , BE 平分/ BCD CE/ BCD 点 E在 AD上，求证：BC=AB+CD例 2 . 已知：如图 1-3 , AB=2AC / BAD=

3、/ CADB,求证 DCL AC例3. 已知：如图 1-4，在 ABC中，/ C=2/ B,AD平分/ BAC 求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看的延长来证明呢？练习1. 已知在 ABC中，AD平分/ BAC / B=2/ C,求A=AC用到构造是截取法可否把短证：AB+BD2. 已知：在厶 ABC中，/ CAB=2/ B, AE平分/ CAB交 BC于 E, AB=2AC 求证：AE=2CE3. 已知：在厶 ABC中，ABAC,AD为/ BAC的平分线， M为

4、AD上任一点。求证： BM-CMAB-AC4. 已知：D是厶ABC的/BAC的外角的平分线 AD上的任一点，连接 DB DG 求证：BD+CDAB+AC（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。如图 2-1，已知 ABAD, / BAC玄 FAC,CD=BC求证:/ ADC+/ B=180分析：可由C向/ BAD的两边作垂线。近而证/ ADC与/ B之如图 2-2，在 ABC中，/ A=90 , AB=AC / ABD2 C求证:BC=AB+AD分析：过D作DEI BC于E,则AD=DE=CE则构造出全等三角形，从而

5、得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。例3.已知如图2-3 , ABC的角平分线 BM CN相交于点P。/ BAC的平分线也经过点 P。分析：连接AP,证AP平分/ BAC即可，也就是证 P到AB练习:图2-31. 如图 2-4 / AOP=/ B0P=15 , PC/OA, PD丄 OA如果 PC=4 贝U PD=()2 .已知在厶ABC中,/ C=90 , AD平分/ CAB CD=1.5,DB=2.5.第3页共21页第#页共21页ACo已知：如图 2-5,/ BAC=z CAD,ABAD CE丄 AB,第#页共21页1AE=2 （AB+AD .求证：/ D+Z

6、B=180。3. 已知：如图2-6,在正方形 ABCD中, E为CD的中点，F为BC上的点，Z FAEZ DAE 求证：AF=AD+CF4. 已知：如图 2-7，在Rt ABC中，Z ACB=90 ,CD丄AB,垂足为D,AE平分ZCAB交CD于F,过F作FH/AB交BC于H。求证 CF=BH第#页共21页第#页共21页（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边 上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一

7、边相交）例 1 . 已知：如图 3-1 , Z BAD玄 DAC ABAC,CDL AD于 D, H 是 BC中点。求1证：DH （AB-AC）2分析：延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。问题可证。已知：如图 3-2 , AB=AC Z BAC=90 , AD为Z ABC的平分线，CE 求证：BD=2CE分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。例3 .已知：如图 3-3在厶ABC中，AD AE分别Z BAC的内、夕卜丄B E .延长此角平分C线，过顶点B作BFAD交AD的延长线于F,连结FC并延长交AE于M。求证：AM=ME分析：由

8、AD AE是Z BAC内外角平分线，可得 EAL AF,从 而有BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。N图3-3第5页共21页1 例4. 已知：如图 3-4，在 ABC中，AD平分/ BAC AD=AB CML AD交AD延长线于 M。求证：AM2(AB+AC分析：题设中给出了角平分线 AD,自然想到以 AD为轴作对称变换，作 ABD关于AD的对称 AED即2A然后只需证ABAC的平分线，且 CE! AE于E,连接DE求DE1 1DM EC,另外由求证的结果 AMd (AB+AC,证DF2.已知BE BF分别是 ABC的/ ABC的内角与外角的平分线,AF丄BF于F, AE1 BE于E,连接

9、EF分1别交 AB AC于 M N,求证 MN BC2（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。CI如图，ABAC, /仁/ 2，求证:AB- ACBD- CD第7页共21页练习:1. 已知，如图，/ C=2/ A, AC=2BC求证： ABC是直角三角形。2. 已知：如图， AB=2AC / 仁/2, DA=DB 求证：DCLAC第#页共21页第#页共21页3 .已知 CE fAD是 ABC的角平分线，/B=6

10、0,求证：AC=AE+CD4. 已知：如图在厶 ABC中，/ A=90, AB=AC BD是/ ABC的平分线，求证： BC=AB+AD由线段和差想到的辅助线口诀:线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条;2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边, 故可想办法放在一个三角形中证明。、在利用三角形三边关系证明线段不等

11、关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如:证:AB+AOBD+DE+CE.证明：（法一）在厶AMN中,在厶BDM中,在厶CEN中,将DE两边延长分别交 AB例1、 已知如图1-1 :AM+ANMD+DE+NE；)MB+MDBD( 2)CN+NEC；( 3)D E第#页共21页图1 -2C由(1) + (2) + (3)得:第9页共21页AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE AB+ACBD+DE+EC（法二：图 1-2 ）延长BD交AC于F,廷长 CE交BF于6在厶ABF和厶GFC

12、D GDE中有:AB+AFBD+DG+GB角形两边之和大于第三边），（1）接证不出GF+FOGE+CE同上）（2）DG+GEDE同上）（3）由（1）+（ 2）+（ 3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE AB+ACBD+DE+EC二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直 来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个 三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图2-1 :已知。为厶ABC内的任一点，求证：/ BDC2 BAC分析:因为/ BDC与/ BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添

13、加辅助线构造新的三角形, 使/ BDC处于在外角的位置，/ BAC处于在内角的位置；证法一：延长BD交AC于点E,这时/ BDC EDCF外角，/ BDC/ DEC 同理/ DEC2 BACBDC2 BAC证法二：连接 AD并廷长交 BC于F,这时/ BDF是厶ABD的外角，/ BDFN BAD 同理，/ CDF/ CADBDF+/ CDF乂 BAD+/ CAD 即：/ BDC乂 BAC注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个 三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如:须把BE,

14、 CF,对应边相7 4,求证:例如：如图3-1 :已知ABC的中线，且/仁/ 2, Z 3=BE+CFEF分析要证 BE+CFEF可利用三角形三边关系定理证明，EF移到同一个三角形中，而由已知/仁/ 2,/ 3=7 4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等 等，把EN FN, EF移到同个三角形中。证明：在DN上截取 DN=DB连接 NE NF,贝U DN=DC在厶 DBE NDE中:r DN=DB（辅助线作法）/仁/2 （已知） ED=ED（公共边） DBEA NDE（ SAS BE=NE（全等三角形对应边相等）同理可得：CF=NF在厶EFN中EN+FNEF（三角形两边之和大于第三边）

15、 BE+CFEF注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三 角形的对应性质得到相等元素。三、截长补短法作辅助线。例如：已知如图 6-1 :在 ABC中，ABAC /仁/ 2, P为AD上任一点求证：AB-AOPB-PC分析要证:AB-AOPB-PC想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边 之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC,故可在AB上截取AN等于AC,得AB-AC=BN再连接PN,贝U PC=PN 又在 PNB中, PB-PNBN即: AB-AOPB-PC证明：（截长法）在AB上截取 AN=AC连接PN,在厶APN

16、和厶APC中AN=AC（辅助线作法）V仁/2 （已知）AP=AP（公共边） APNA APC（ SAS , PC=PN（全等三角形对应边相等）在 BPN中，有PB-PNBN（三角形两边之差小于第三边） BP-PCPM-PC三角形两边之差小于第三边 AB-AOPB-PC求证：AE=AD+BE例 1.如图，AC平分/ BAD CEL AB,且/ B+Z D=180求证：Z ADC+Z B=180o例2如图，在四边形 ABCD中, AC平分Z BAD CEL AB于E, AD+AB=2AE例3已知：如图，等腰三角形 ABC中，AB=AC - A=108, BD平分 ABG求证：BC=AB+DC例4如

17、图，已知 Rt ABC中，Z ACB=90 , AD是Z CAB的平分线,DML AB于 M 且 AM=MB 求证：CD=2 DBADC【夯实基础】例：AABC中，AD是.BAC的平分线，且 BD=CD求证AB=AC方法1 :作DEL AB于E,作DF丄AC于F,证明二次全等方法2 :辅助线同上，利用面积方法3 :倍长中线AD【方法精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线 ABC 中AD是BC边中线方式2 :间接倍长D1 :延长AD至U E, 使 DE=AD 连接BE7页共21页E【经典例题】例 1 : ABC中,提示：画出图形，A作CF丄AD于F,作BE! AD的延长线于E连接BE延长MD到N,

18、使 DN=MD 连接CDAB=5,倍长中线AC=3求中线AD的取值范围AD，利用三角形两边之和大于第三边例2 :已知在厶ABC中, AB=AC D在AB上, E在AC的延长线上， DE交BC于F, 且 DF=EF求证：BD=CEA方法方法方法过 D作 DG/ AE交 BC于 G,证明 A DGF A CEF过E作EG/ AB交BC的延长线于 G,证明A EFG A DFB 过D作DGL BC于G,过E作EH! BC的延长线于 H证明 A BDG A ECH例3:已知在厶ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且 BE=AC延长BE交AC于 F,求证：AF=EF提示：倍长 AD至G 连接

19、BG证明 BDG A CDA例4:已知：如图，在DF=AC.求证：AE平分.BACAABC 中，AB 式 AC , D、E 在 BC上，且 DE=EC 过 D作 DF / BA 交 AE于点 F,提示：方法1 :倍长AE至G方法2 :倍长FE至H,连结DG连结CH三角形BEG是等腰三角形第9页共21页第9页共21页例5 :已知CD=AB / BDA=/ BAD人丘是厶ABD的中线，求证：/ C=Z BAE提示：倍长 AE至F,连结DF证明 A ABE A FDE( SAS 进而证明 A ADFA ADC( SAS【融会贯通】1、在四边形 ABCD中, AB/ DC E为BC边的中点，/ BAE

20、=/ EAF, AF与DC的延长线相交于点 段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论F。试探究线提示：延长 AE、DF交于G证明 AB=GC AF=GF所以 AB=AF+FC2、如图，AD为 ABC的中线，DE平分.BDA交AB于-A D (交 AC于 F.求证：BE CF EFE,DF平分第9页共21页第#页共21页提示：方法1 :在DA上截取 DG=BD连结EG FG证明 BDE GDE DC磴 DGF所以 BE=EG CF=FG利用三角形两边之和大于第三边方法2 :倍长ED至H,连结 CH FH证明 FH=EF CH=BE利用三角形两边之和大于第三边3、已知：如图，. ABC中，

21、.C=90，CMAB于M AT平分.BAC交CM于 D,交BC于T,过D作DE/AB交 BC于 E,求证：CT=BE.提示：过T作TN丄AB于N证明 BTN ECD1.如图，AB/ CD AE、DE分别平分/ BAD各/ ADE 求证：AD=AB+CD2.如图， ABC中，/ BAC=90 ,AB=AC AE是过A的一条直线，且B, C在AE的异侧,BD丄 AE于 D, CEL AE 于 E。求证：BD=DE+CE四、由中点想到的辅助线口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加

22、倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图1，AD是 ABC的中线，贝y Saabd=Saac= . Saabc （因为 ABD与 ACD是等底同高的）。例1.如图2, ABC中，AD是中线，延长 AD到E,使DE=AD DF是 DCE的中线。已知 ABC的面 积为2，求： CDF的面积。解：因为AD是 ABC的中线，所以SaacJ Saab（= X 2=1,又因CD是 ACE的中线，故Sacd=Saac=1,2 2因 DF是 A CDE的中线，所以 Sa cd= Sa cd

23、E= X 1 = o2 2 2 A CDF的面积为o2（二）、由中点应想到利用三角形的中位线例2 .如图3,在四边形 ABCD中, AB=CD E、F分别是BC AD的中点，BA CD的延长线分别交 EF的 延长线G H。求证：/ BGE=/ CHE证明：连结BD并取BD的中点为 M连结ME MF,/ ME是 A BCD的中位线， ME -CDMEF=/ CHE=2/ MF是 A ABD的 中位线， MF 一 AB,./ MFE=/ BGE=2从而/ BGE=/ CHEttWI Cl匸 4/ AB=CD - ME=MFMEF=/ MFE（三）、由中线应想到延长中线例3 .图4 ,已知 A AB

24、C中，AB=5, AC=3连BC上的中线 AD=2求BC的长。解：延长 AD到 E,使 DE=AD 贝U AE=2AD=2 2=4。在 ACD和 EBD中,/ AD=ED / ADC=/ EDB CD=BD ACD A EBD 二 AC=BE从而 BE=AC=3在 A ABE中，因 Ah+BE=42+32=25=AB，故/ E=90 , -BD=.匸厂一三= 一 丁 ，故 BC=2BD=2二。BC边上的中线。求例4 .如图5,已知 A ABC中，AD是/ BAC的平分线，AD又是 证：A ABC是等腰三角形。证明：延长 AD到 E,使DE=AD仿例3可证：A BED A CAD故 EB=AC

25、/ E=Z 2,又/仁/ 2,/ 仁/ E, AB=EB从而AB=AC即A ABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜边中线的性质例5 .如图6,已知梯形 ABCD中 , AB/DC , AC丄BC, AD丄BD,求证：AC=BDBD, Rt A ABC 斜证明：取 AB的中点E ,连结DE CE贝U DE CE分别为 Rt A A 边AB上的中线，故 DE=CE= AB,因此/ CDE=/ DCE2/ AB/DC ,/ CDE=/ 1, / DCE=/ 2 ,在 A ADE和A BCE中, / DE=CE / 1=Z 2 , AE=BE A ADEA BCE - AD=BC从而梯形 ABCD是

26、等腰梯形,因此 AC=BD（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线例6.如图7, ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 , BD平分/ ABC交AC于点D, CE垂直于BD,交BD的延长线于点 E。求证：BD=2CE证明：延长 BA CE交于点F，在 BEF和 BEC中，/ 仁/ 2, BE=BE / BEF=Z BEC=90 , BEF BEC 二 EF=EC 从而 CF=2CE又/ 1+Z F=Z 3+Z F=90,故/ 仁/3。在 ABD和 ACF中，/ 仁/3, AB=AC / BAD玄 CAF=90, ABD ACF, - BD=CF - BD=2CE注：此例中BE是

27、等腰 BCF的底边CF的中线。（六）中线延长口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。,再将端点连结，便可得到全等三角形。题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段例一：如图 4-1 :ABC的中线，且/ 仁/2,7 3=/4,求证：BE+CFEF和厶CDM中,A图4-1M证明：廷长 ED至M使DM=DE连接 CM MR在厶BDEBD=CD（中点定义）7仁/5 （对顶角相等）L ED=M（辅助线作法） BDEA CDM（ SAS又 7 仁7 2,7 3=7 4 （已知）7 1 + 7 2+7 3+7 4=180（平角的定义） 7 3+7 2=90即：7 EDF=90 7 FDM7 EDF=90

28、在厶 EDF和 MDF中ED=M（辅助线作法）7 EDF玄FDM （已证）DF=DF（公共边） EDFA MDF（SAS EF=MF（全等三角形对应边相等）在厶CMF中, CF+CMMF三角形两边之和大于第三边） BE+CFEF上题也可加倍 FD,证法同上。注意当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。例二：如图5-1 :ABC的中线，求证： AB+AO2AD分析：要证 AB+AO2AD 由图想到： AB+BDAD,AC+CDAC所以有 AB+AC+BD+CDAD+AD=2A左边比要证结论多BD+CD故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造

29、2AD,即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去证明：延长 AD至E,使DE=AD连接BE, CETADABC的中线（已知） BD=CD（中线定义）在厶ACDn EBD中BD=CD（已证）/仁/ 2 （对顶角相等）AD=ED（辅助线作法） ACDA EBD（ SAS BE=CA（全等三角形对应边相等）在 ABE中有：AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边） AB+AC2AD练习:1如图，AB=6, AC=8 D为BC的中点，求 AD的取值范围。ED第21页共21页第#页共21页2 如图，AB=CD E为BC的中点，/ BAC玄BCA 求证：AD=2AE3 如图，AB=AC AD=AE

30、 M为 BE中点，/ BAC=Z DAE=90。求证：AML DG4,已知ABC AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图 5-2，求证EF=2AD第#页共21页第#页共21页图5 -2第23页共21页5. 已知：如图ABC的中线，AE=EF求证：BF=AC常见辅助线的作法有以下几种：1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对 折”.2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式 是全等变换中的“旋转”.3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用

31、的思维模式是三角形全等变 换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或 “翻转折叠”5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等， 再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、 差、倍、分等类的题目.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用 三角形面积的知识解答.（一）、倍长中线（线段）造全等1 :（“希望杯”试题）则中线AD的取值范围是2 :如图， ABC中

32、,E、F 分别在 AB AC上，DEI DF,D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小.3 :如图， ABC中,BD=DC=ACE是DC的中点，求证:AD 平分/ BAE.第#页共21页第#页共21页中考应用第#页共21页(09崇文二模)以 aABC的两边 AB AC为腰分别向外作等腰Rt UABD和等腰 Rt . ：ACE ,NBAD =NCAE = 90：连接DE M N分别是BC DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系.(1) 如图 当 ABC为直角三角形时，AM与 DE的位置关系是 ,线段AMW DE的数量关系是;(2) 将图中的等腰 Rr ABD绕点A沿逆时针方向旋转 二(0

33、二90)后，如图所示，(1)问中得(二)、截长补短AC/ BD, EA,EB分别平分/ CAB,/ DBA CD过点 E,求证;AB = AC+BD2:如图,3:如图,已知在 ABC 内，BAC=60 , C=40,P, Q分别在 BC, CA上,并且AP, BQ分别是 BAC ,- ABC的角平分线。求证： BQ+AQ=AB+BP4:如图，在四边形ABCD 中，BC BA,AD = CD, BDA C =18(5:如图在 ABC中，ABAC, / 1 = Z 2, P为 AD上任意一点，求证；AB-AC PB-PC中考应用（08海淀一模）如関、在四辿AHCD中,AD/BC.点E是M上一个功点

34、若厶,60”，M二UCf H. 乙DEC =60豊判断4D + AE与的关乘并征朋你的结论解:例题讲解：一、利用转化倍角，构造等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形如图中，若/ ABC= 2/ C如果作BD平分/ ABC则厶DBC是等腰三角形；BA的如图中，若/ ABC= 2/ C如果延长线 CB到D,使BD= BA连结AD则厶ADC是等腰三角形； 如图中，若/ B= 2/ ACB如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作/ ACD=Z ACB交第17页共21页延长线于点D,则厶DBC是等腰三角形ABC中 , / ACB= 2/B, BC

35、= 2AC 求证：/ A= 90 .12、如图，、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形 如图中，若 AD平分/ BAC AD/ EC则厶ACE是等腰三角形； 如图中， 如图中，AlZAD平分/AD平 分/BACBACDE/ ACCE/ AB则厶ADE是等腰三角形; 则厶ACE是等腰三角形;CD F第17页共21页BAC E、F分别在BDAD上，且 DE= CDEF= ACAAAADBPCBEBCDL BD交BF的延长线于ADBAECBD求证EAQOCDCBPOAQOCBE图2Db求如图1中求证：AB+BP=BQ+AQ求证：EF/

36、AB8、已知 ABC AD是BC边上的中线，分别以 AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图EF= 2ADbEC题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内7、如图（7）AD ABC的中线，BE交 AC于 E,交 AD于 F,且 AE=EF求证：AC=BFF CRt ,有时可作出斜边的中线P, BQ平分/ ABC交AC于Q AQD三、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形 若AD平分/ BAC AD丄DC则厶AEC是等腰三角形5、如图 2,已知等腰 Rt ABC中, AB= AC / BAC

37、= 90, BF平分/ ABC 证：BF = 2CD四：其他方法总结1 截长补短法6、 如图，已知：正方形 ABCD中，/ BAC的平分线交 BC于E求证：AB+BE=AC2 倍长中线法说明：本题也可以在 AB截取AD=AQ连0D 构造全等三角形，即“截长补短法”.BP图（1）3 平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对9、 ABC中，/ BAC=6C , / C=40 AP 平分/ BAC交 BC于CD图1FB3、如图， ABC中, AB= AC,在AC上取点P,过点P作EF BC交BA的延长线于点 E,垂足为点F.求证： AE=AP4、如图， ABC中，AD平分

38、/PC图（2）第-18页共21页OBP图（3）Q本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：A 如图（1）,过0作OD/ BC交AC于。，则厶ADdA ABO来解决. 如图（2）,过0作DE/ BC交AB于D,交AC于 E,则厶 ADOA AQO ABOA AEO来解决.D图（4）如图（3）,过P作PD/ BQ交AB的延长线于。，则厶APDA APC来解决. 如图（4）,过P作PD/ BQ交AC于。，则厶ABPA ADP来解决.10、已知：如图，在 ABC中，/ A的平分线 AD交BC于D,且AB=AD作 CMLAD交AD的延长于 M.求证：AM=! （AB+AC2巩固练习1、（2009年浙江省绍

39、兴市）如图， D, E分别为 ABC的AC , BC边的中点，将此三角形沿 DE折叠, 使点C落在AB边上的点P处若N CDE =48 则2 APD等于（）A. 42B . 48 C . 52 D . 58 D第#页共21页2 （2009柳州）如图所示，图中三角形的个数共有（）A. 1个 B . 2个C . 3个D . 4个3、（2009宁夏）如图， ABC的周长为32，且AB二AC, AD _ BC于D , ACD的周长为24,那 么AD的长为.4、 （09年达州）长度为2 cm. 3 cm. 4 cm. 5 c血的四条线段，从中任取三条线段能组成三角形的概率是 5、 如图，在 ABC中,

40、AD丄BC于 D,且/ ABC= 2/ C.求证：CD= AE+BDDEB第#页共21页第#页共21页6、如图，在 ABC中，/ BAC / BCA的平分线相交于点 O,过点O作DE/ AC分别交 AB BC于点D E.第31页共21页试猜想线段 AD CE DE的数量关系，并说明你的猜想理由第#页共21页第#页共21页7、（2009年长沙）如图，E、F是平行四边形 ABCD对角线AC上两点,8、AD为 ABC的中线，求证： AB+ Ad2AD9、 已知 DABC内的任一点，求证：/ BDOZ BAC10、 （2009年宁德市）如图（1）,已知正方形 ABC吐直线MN的上方，BC在 直线MN,

41、 E是BC上一点，以 AE为边在直线 MN勺上方作正方形 AEFG（1）连接 GD 求证： ADQA ABE（2）连接FC观察并猜测/ FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2）,将图（1 ）中正方形 ABCD为矩形 ABCD AB=a, BC=b （a、BC上一动点（不含端点 B、O ,以AE为边在直线 MN的上方作 G恰好落在射线为常数），E是线段 矩形AEFG使顶点 大小是否总保持变CD上.判断当点E由B向C运动时，/ FCN勺图（1）图第#页共21页（1 ）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的 “对折”。1、已知，如图1,在四边形 ABCD

42、中, BCAB, AD=DC BD平分/ ABC 求证：/ BAD/ BCD180。2、已知，如图 2,/仁/ 2, P为BN上一点，且 PDL BC于点D, AB-BG=2BD 求证：/ BAR/ BCf=180o3、已知，如图 3,在厶 ABO中,/ C= 2/ B,/ 1 = / 2。求证： AB=A（+CD第33页共21页7AB图M第#页共21页纸已知，如图4, 6 E为ABC内两点求证 AB+AOBD+DE+CEa第#页共21页第#页共21页5、如圏5, AD为AABC的中线，求证：AB+AO2AD-图了第#页共21页第#页共21页如图6所示，AD是AABC的中绽，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EK 求证；AC=BF.第#页共21页第#页共21页第#页共21页第#页共21页你热爱生命吗？那么别浪费时间#因为时间是组成生 命的材料一-富兰克棘第#页共21页