傅里叶变换的基本性质

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1、第七节傅里叶变换的基本性质主要内容:1对称性质2.线性性质3 奇偶虚实性4. 尺度变换性质5. 时移特性时域卷积定理 频域卷积定理6频移特性7时域积分性质8.时域微分性质9频域微分性质10帕塞瓦尔定理1对称性（互易对偶性）（时频对称性）若 /(0W例1：则F2/(-)d(011 2pd(w)例2：F(q) = ErSaCDT3丿2p/(w)F(r) = EzS6z()0vv2兀T2p/(- w)= 2p/(w)例3已知r（o二1,求w（t）1解:思路什么样的信号频谱含丄W2 Fsg（切=根据对称性质2 z F= 2p sgn(- w) = - 2p$g(w) F-= - jp5gn(w)2 线

2、性性若 f,(0 耳 S f2(0爲(仍)则 af(0+a2f2(0afi(0)+a2F2(v)其中，a1，a2为常数3 奇偶虚实性若 /(/)FS)=|f)|/3)二R) + jX)贝!h(1) 当f为实函数时：F(e)共轨对称即:|F(劲|偶对称，久劲奇对称；RS)偶对称，XS)奇对称；(2) 当f(f)为实偶函数时,tF(c)为实偶函数;(3) 当f(0为实奇函时,尸)为虚奇函数 当f(/)为纯虚函数时,为偶函数，0(。)为奇函数;RS)奇对称，XS)偶对称；4 尺度变换特性 (展缩特性)若 f(t) F(e)贝If()rf 心0I。丿意义(a) 0al时域压缩，频域扩屉倍。歹3)-戸(

3、一注例:代）E结论:T v Td d时域压缩，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩。信号的持续时间与信号占有频带成反比5 时移特性则川少壮亦T叫;式中阳为任意实数注意:信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。时移加尺度变换:報“）分歹9）则/ （加+方心占歹fI书例3-2:求下列所示三脉冲信号的频谱。解：令fo(t)表示矩形单脉冲信号F0(w) = Ei-Sa()2 _Tr Q由时移特性可得：F(w) = F0(w)(l + ejwT + eiwT) = Et-5a()l + 2cos(wT)其频谱如下:实偶信号的频谱为实偶(书P133)已知双Sa信号f (/)

4、 =竺俶(叫)- Sac%C -2训试求其频谱。7T解： 令 fo(f)=Sa(oct)Tt则 /(0= 7o(O- f0(t- 2t)Ff (/) =1 (0 -尸蠶 C 2r)coF籐二 FSaM=% (w)(b)由时移特性得到F 蕭(2t) = e j2- G2Wc (w)因此f(t)的频谱F(w)等于-j2wrF(co)=F(t)- F(t- 2t) =(1- e j2wr)G2w (w) c(co COc)(co coc)从中可以得到幅度谱为t 2 sin(wc)FR = 1|0在实际中往往取=上，此时上式变成2sin(岡 V (Dc)co (OC)双Sa信号的波形和频谱如图(e)所

5、示。(d)6 频移特性（调制定理）若 f(0 FS)则f(t)ej F(w + -F/aXw -co0)- Fj(co + 血)11F/(0sin=亍凡/严叮-亍F/严叮 2j2j-彳F丿(血+血0) 一彳尸丿(血血。)书例3-4(书 P133)已知矩形调幅信号如图所示f(t) = G(Ocos(w00其中G(t)为矩形脉冲，脉幅为E,脉宽为“试求其频谱。WT解：G(t)矩形脉冲的频谱为:G(w) = Et So(丁)根据频移特性：f(t)的频谱F(w)为F(w) = G(w-w0) + G(w + w0)2222EtTSa (w w。)一 +Et2Sa (w+w。)一22I F(j69I F

6、(jA-r/2r/2co-r/2pa) cos 如A7 Tnrrrr/20569书例35 :(书P134)已矢厅(0 = cos( %利用频移定理求余弦信号的频谱。解一：cos coQt =+ejc0()t) 7v8co - co+ 8co + co解二 FIl=2pd(w) 舊意W的作用 FIcosC) = pd(w+ w0) + d(w- w0)1 如=-(严+严 j MS 5)+肌+%)0余弦信号及其频谱函数f （龙）八O)1一 04)CD注意：周期信号也存在傅里叶变换7 时域积分特性若f(0尸(劲点()+ 兀 (e)F(O), jeFj也F（O）= CBt,r /（T）dTO,F（0）

7、= J fdt证明方法一：书P.135 应用正向应用 证明方法二：利用卷积定理 t逆瞬用更常用时域积分性质应用举例:正向应用 直接套用性质 即: 用被积函数的傅氏变换来表示积分后的傅氏变换 例（补充）已矢叨的）=1,求片 d（T）6/T解：设尸（劲=幵灭）=1,则Ff(T)dT =Js+丹(q)F(O) je逆向应用对所求函数先微分再表示成积分形式例（书例37）用时域积分性质求y的频谱 。y（t）Y（jco）+ 1/Z 110gt求导解：.y(0=r 叽T而竽U仆）争-jco2，乙(0) = 1 Y (加)=+ 7rY (0)5 O) = Sa e jco 2co+ 7rS(a)dr易出错处：

8、微分后再积分不一定等于原函数!取决廿(-)是否为0例2:（补充）用时域积分性质求符号函数sgn（的频谱i+ 10t-1t J 0解：/(O = sgn(OFH求导dT= /(O-UT晋=珅巧（） at(2)0tM)=痢響如？)警U1 F(w)=+ p/(O)d(w)- 2pd(w)jw而片(w)=F$/(f)=F2d(f)= 2 代入上式得：/. F() =dtJO) JG)8 时域微分特性若 f(0 F(e)则(f珅倂()=jwF(w)at-/O)IF( )= (jw)nF(w) at证明：书P.134I正向应用 应用丁|逆向应用(有条件)时域微分性质应用举例:正向应用：直接套用性质即:用原

9、函数的傅氏变换来表示微分后的傅氏变换例1:(补充)已知Fu(t)=丄+ pd(w),求如1的傅里叶变换 ywdtI?:直接套用性质Fdu(t)dt=jFu(t)= M-+Pd(w)=i逆向应用：即：用微分后的傅氏变换来表示原函数的傅氏变换例：已知F讐=1,求必丿的傅里叶变换。 F警=丿=1思考：为什么结果错误?逆向应用条件:例2 (补充):踌H甲尸()，学珅耳( )二 JwF(w)、dt证明：F(w)= +pf(+? ) f (-) (w)丿W其中f(+? )、f()为有限值特别:w(+?)/(？)0时,如()二需所有的时限信号都满足上述条件。例3 （补充）用时域微分性质求符号函数sgn（0的

10、频谱sgn（r）解：逆向应用+1非时限信号，但满足几+?）/（-?）o1/（0满足广（8）+/（-8）= 0 /.可以逆向应用时域微分性质加翻）也）響珅川）i+ 1_ 1求导 1（2）0-1t也）/（叽20tj JG）思考：能否用时域微分性质求y(t)的频谱r(?W)d+ 1V 、/ 1，110t易出错处：逆向应用时域微分性质是有条件的只有当/(+? ) /(- ? ) o时,心甲絆例4 （书例36）已知三角脉冲信号0(t -)求其频谱F（w）E1 f(0_ 02L t2解一：用时域积分性质F（w）/（0耳（W）$dt4逆向应用鬥（W）dt -12Ed bE1求导T2再求导冷1 0L t 0r

11、 02221 22E1_24ET2E、T )dz- CIT注意：微积分关系式成立的条件第_步：求F2(w)及哄)：F2(w)= F/2(0= F単d(t+ |)+ d(t-2d(t)J =%足+严_2)=-半sin诗) t1小且笃(0)=6 dt=o第二步：利用笃(呵求耳(W)：.如一才如2血且警h甲f2()已求出。川)-0 dxdT、f(w)二pF2(0)d(w),而F2(0)= o 氏出二 1 jw f(w)- 空二丄卜sin2(-)FZ 一 jw jw t 4第三步：禾I用幷(w)求F(w)dx且空h甲耳()已求出。dx F(w)=片(o)d(w)，而片(0)= /i(Odt = 0jw

12、 F(w) =)=解法二：用时域微分性质逆向应用第一步：判断能否逆用/()满足/(oo) + /(-00)= 0可以逆向应用时域微分性质f(0 F(w)E_ 02L t22E求导T2 0t2E1耳(W)TT + _) + 5(z-_)-25(0第二步：求出二阶导数的频谱F2(w).dt2T/IV一一 JW一 2+/ 2_2.攀1F2(W)=竺atT第三步：逆向用时域微分性质求f的频谱F(w)：/F(w)d?y) FT 场(w)二(jw)2F(w) drF(w) = 56i2()(2 224F(w) = -Sa2(其幅频图思考：1、本例两种方法中哪种更简单？2、对分段线性的信号哪种是更普遍的方法

13、7 解法一：用时域积分性质 解法二：用时域微分性质 解法三：应用时域卷积定理时域积分和时域微分两性质的比较：1、正向应用时：直接套用公式，没有要注意的问题2、逆向应用两性质的思想是相同的：即微分后的傅氏变换易求，用它来表示原函数的傅氏变换 至于微分几次要视实际情况来定3、时域微分性质比时域积分性质方便9濒域微分特性若 /(0F(e)(-疔几)嘤甲de7B dK F 佃)证明：略思考：踌)oFg) 则-j& (at) ?dF)dco解：补充例2：解：求信号f（t）=t的频谱/1 o 2虜（。）补充例1：求单位斜变信号f(t)=tu的频谱 w（Z） 0+加5（劲 jd网（劲+亠加0 j=加_ ClCOco.2 虜 ）,. t x 1 o j= In jb（6?）dco频域积分特性:（用的少）10帕塞瓦尔定理（Parserval定理）（补充）能量谱:对能量有限信号:（能量守恒）2F(d) - co+S则门口）2dt =丄（劲必）2宀能量谱仅与幅度谱有关，功率谱:2W与相位谱无关。与相位谱无关。+S对周期信号y A（o= F”严n=_s（功率守恒）若加）0代1 才丄y2+s上 H=-00