物理竞赛微积分初步(求导积分)

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1、微积分初步函数的导数与微分函数的不定积分与定积分1 函数、导数与微分一 、 变 量 、 常 量 与 函 数变 量 ： 在 某 一 过 程 中 取 值 会 不 断 变 化 的 量 。常 量 ： 在 某 一 过 程 中 取 值 始 终 不 变 的 量 。函 数 ： 变 量 y 按 某 种 确 定 的 关 系 随 变 量 x 的 变 化 而变 化 ， 则 称 y 是 x 的 函 数 ， x 叫 自 变 量 ， y 叫 因 变 量 ，写 作 ： y=f (x) 例 ： y=3x2+2x, y=5sinx, y=ax, y=e2x复 合 函 数 ： 若 y 是 z 的 函 数 y=f (z)， 而 z

2、又 是 x 的函 数 z=g(x)， 则 称 y 是 x 的 复 合 函 数 ， 记 作 ： y=(x)=fg(x) 例 ： y=sin(ax2+bx+c), y=esin(2x+3)二 、 函 数 的 导 数 x y xy y=f(x)x x+ x 设 函 数 y=f (x) 在 x 处 有 一 增 量 x，相 应 地 函 数 有 增 量 y ， 则 比 值 x xfxxfxy )()(叫 函 数 y=f (x) 在 x 到 x+ x 之 间 的 平 均 变 化 率 。dxdyxyxfy x 0lim)(函 数 y=f (x) 在 x 处 的 导 数 定 义 为 ：例 ： 求 函 数 y =

3、 x2 在 x= 1 和 x = 3 时 的 导 数 值 。解 ：由有 xxx xxxx xfxxfxy 222)()()( xxyyx 20 lim所 以 当 x = 1 时 ， y = 2， 当 x = 3 时 ， y = 6 x y xy y=f(x)x x+ xP Q导 数 的 几 何 意 义 ： 从 图 中 知 道 ， y/ x 是过 P、 Q 两 点 的 割 线 的 斜 率 ， 而 当 x 0 时 ， 割 线 成 为 过 P 点 的 切 线 ， 因而 导 数 y=f (x) 表 示 曲 线 在 x 处 切 线的 斜 率 。 函 数 y=f (x) 在 某 处 的 导 数 值 ， 就

4、 表 示 了 该 处切 线 的 斜 率 ， 也 就 是 在 该 点 处 函 数 y=f (x) 随 x 的变 化 率 。基 本 函 数 导 数 公 式1212 12 1211 22 1 )1()()1()( )11(,)1()(arccos )11(,)1()(arcsin )(ln)( )(ln)ln()(log csc)(sec)( sin)(coscos)(sin )()(,0)( xarcctgxxarctgx xxx xxx eeaaa xxaxx xctgxxtgx xxxx nxxcc xxxx a nn为常数导 数 的 基 本 运 算 法 则 ： （ 设 u = u(x), v

5、 = v(x) ）dxdududydxdyxguufy xxfxfyyx vv vuvuvu cuccuvuvuuvvuvu 则若 的 反 函 数 ， 则为若 为 常 量),(),( )()()()( )(, )(,)(;)( )( 102例 1： 求 y = x3 ln x 的 导 数解 )ln(ln 1313 232 xxxxxxy例 2 求 y = sin x / x 的 导 数解22 x xx xx xxxy sincossincos 二 阶 导 数 与 高 阶 导 数 前 述 函 数 的 导 数 是 y 对 x 的 一 阶 导 数 ， 若 将 一阶 导 数 y 再 次 对 x 求 导

6、 ， 则 为 二 阶 导 数 ： 22dx yddxdydxdxfy )( 同 理 ， 将 二 阶 导 再 对 x 求 导 则 为 三 阶 导 ， 三 阶导 的 导 数 则 为 四 阶 导 等 。例 求 y = x3+3x2 的 二 阶 导 数 6663 2 xyxxy三 、 函 数 的 极 值 x1 x2 x3 xy 若 函 数 y =f (x) 在 某 一 点 x1 的 函 数 值 f (x1) 比 邻 近 各 点 的 函数 值 都 大 或 都 小 ， 则 称 x1 为 一个 极 值 点 ， f (x1) 为 函 数 的 一 个极 值 。 图 中 x1 和 x3为 极 大 值 点 ， x2

7、为 极 小 值 点 ， f (x1) 和 f (x3) 为极 大 值 ， f (x2) 为 极 小 值 。 极 值 点 处 的 切 线 一 定 是 水 平 的 ， 因 而 极 值 点 的判 定 条 件 是 ： f (x) = 0极 大 值 点 的 条 件 是 ： f (x) = 0， f (x) 0极 小 值 点 的 条 件 是 ： f (x) = 0， f (x) 0例 求 函 数 y = 4x3- 3x2+5 的 极 值 点 和 极 值解 ： 因 y =12x2-6x 令 y=0 得 x1=0, x2=1/2 此 为 其 两 个 极 值 点 。 又 y=24x - 6， 有 y(x1)=

8、- 6 0， y(x2)= 6 0因 而 x1=0 是 极 大 值 点 ， 对 应 的 极 大 值 为 y1=5 x2=1/2 是 极 小 值 点 ， 对 应 的 极 小 值 为 y2=19/4四 、 函 数 的 微 分例 求 函 数 y = 5x + sin x 的 微 分dxxdxxxdxxfdy )cos()sin()( 55函 数 y 对 自 变 量 x 的 导 数 dxdyxf )(可 将 dx 看 成 是 自 变 量 x 的 一 个 趋 于 零 的 微 小 增 量 ，称 为 自 变 量 的 微 分 ； 而 相 应 的 将 dy 看 成 是 函 数 y 的 微 小 增 量 ， 称 为

9、 函 数 的 微 分 。有 ： dxxfdy )(2不定积分一、原函数前一节学了求函数 y = f (x) 的导数 f (x)，现若已知一函数 F(x) 的导数为 f (x) ，要求原函数F(x) 例因 (x3) = 3x2 ，所以 x3 为3x2 的原函数（sin x) = cos x ， sin x 是cos x 的原函数 F (x) =F(x) +c ，c 为任意常数， 函数 f (x) 的原函数有任意多个： F(x) +c 二 、 不 定 积 分定 义 ： 函 数 f (x) 的 所 有 原 函 数 F(x) +c 叫 f (x) 的不 定 积 分 ， 记 为 ： cxFdxxf )(

10、)(不 定 积 分 的 性 质 ： cxFdxxF xfdxxf )()( )()(这 说 明 不 定 积 分 是 求 导 数 的 逆 运 算 。不 定 积 分 公 式 ： caxarctgadxxacaxdxxa cctgxxdxctgxxdx cxxdxcxxdx cedxecaadxa cxdxxcnxdxxcaxadxcdx xxxx nn11arcsin1 cscsec sincoscossin ln ln1102222 221不 定 积 分 运 算 法 则 ： dxxgdxxfdxxgxf kdxxfkdxxkf )()()()(. ,)()(.21 为 常 数3. 若 能 找 到

11、 函 数 u= u(x) ， 使 duugdxxf )()(且 积 分 cuFduug )()( 较 易 求 出 ， 则 ： cxuFduugdxxf )()()(例 1 求 xdx1解 ： 令 u = 1+x , 微 分 得 ： du =dx ， 有 ： cxcuuduxdx 11 lnln例 2 求 dxbax )sin(解 ： 令 u = ax+b , 微 分 得 ： du =adx ， 有 ： cbaxacua uduadxbax )cos(cos sin)sin( 11 1例 3 求 dxxx 12解 ： 令 u = x2+1 , 微 分 得 ： du =2xdx ， 有 ：cxcu

12、 duudxxx 23223 212 1312321 211 / / )(例 4 求 dxee xx )cos( 33解 ： 令 u = e3x, 微 分 得 ： du =3 e3x dx ， 有 ：cecu ududxeexxx )sin(sin cos)cos( 333 3131 313 定积分 设 函 数 y=f (x) 在 闭 区 间 a, b 上 连 续 ， 将 区 间 a, b 作 n 等 分 ， 各 小 区 间 的 宽 度 为 x ，又 在 各 小 区 间 内 选 取 一 点 xi 得 出 函 数 在 这 些点 处 的 值 f (xi) (i= 1,2,3,n) a b xy x

13、i y=f (x)f (xi) x定 义 ： bani ixn dxxfxxf )()(lim 10为 函 数 f (x) 在 区 间 a, b 上 的 定 积 分 。 f (x) 为 被 积函 数 ， a ,b 分 别 为 积 分 下 限 和 上 限 。定 积 分 的 几 何 意 义 ： a b xy y=f (x)f (xi) x 由 图 可 知 f (xi) x 为 图 中 一 个 小 区间 的 面 积 ， 因 而 定 积 分 ：ba dxxf )(表 示 了 区 间 a, b 上 ， 曲 线 y =f (x) 下 方 的 面 积 。注 意 ： 定 积 分 的 值 有 正 也 有 负 ，

14、 因 而 这 并 非 通 常 意义 下 的 面 积 。定 积 分 的 主 要 性 质 ： bccaba babababa baba ab dxxfdxxfdxxf dxxgdxxfdxxgxf dxxfkdxxkf dxxfdxxf )()()(. )()()()(. )()(. )()(.4321定 积 分 的 计 算 （ 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式 ）若 不 定 积 分 cxFdxxf )()(则 定 积 分 )()()()( aFbFxFdxxf baba 由 此 可 知 ： 求 函 数 的 定 积 分 ， 通 常 是 先 求 出 其不 定 积 分 （ 原 函 数 F (x) ） ，

15、 再 求 F(b) - F(a) 例 1 求 21 2 1xxdx解 ： 令 u = x2+1 , 微 分 得 ： du =2xdx ， 有 ： 252125211211 121212112121 22 22 ln)ln(ln)ln( )ln(ln xxxdx xcuuduxxdx例 2 求 30 2/ sincos xdxx解 ： 令 u = cos x , 微 分 得 ： du = - sin x dx 2471813131 31330330 2 3322 )(cossincos cossincos / xxdxx cxuduuxdxxy xy=x2y=4-x2A B例 3 求 由 曲 线 y=x2 和 曲 线 y=4-x2所 包 围 的 面 积 。解 ： 先 求 出 两 曲 线 交 点 A , B的 x 坐 标 为 : 22 21 xx由 定 积 分 的 几 何 意 义 知 有 ： 2315322 224 2 23 22222 22 )( )()( xx dxxdxxxS 若有不当之处，请指正，谢谢！