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1、陕西省安康市高新中学2021届高三数学上学期8月摸底考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法运算法则运算求解.【详解】由题得.故选B【点睛】本题主要考查复数的乘法运算法则，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2. 设集合，则（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：，因为故选：D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，以及交集的运算，属于基础题.3. 函数的部分图象大
2、致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式知：为奇函数且上恒正，即可得正确选项.【详解】，故为奇函数，当时，又，故选：A【点睛】本题考查了根据函数解析式识别函数图象，属于简单题.4. 某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况（利润=收入-支出），下列说法错误的是（ ）A. 月收入的极差为60B. 7月份的利润最大C. 这一年的总利润超过400万元D. 这12个月利润的中位数与众数均为30【答案】C【解析】【分析】由图中的数据逐一分析选项，可得答案.【详解】对于A选项：第11月份的收入最高：为90万元，第3月份和第4月份的收入最低
3、：为30万元，所以月收入的极差为60万元，故A选项正确；1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，所以7月份的利润最大，为60万元，故B选项正确；总利润为380万元，故C选项不正确；这12个月利润的中位数与众数均为30，故D选项正确；故选：C【点睛】本题考查拆线统计图的识别，以及理解并计算统计的数字特征，属于基础题.5. 已知向量，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出，进而可求,即能求出向量夹角.【详解】解：由题意知，. 则 所以，则向量与的夹角为.故选:C.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了数
4、量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式 进行计算.6. 的展开式中的常数项为（ ）A. B. C. 20D. 21【答案】A【解析】【分析】先根据二项式定理得展开式，再求对应常数项.【详解】因为中所以展开式中的常数项为故选：A【点睛】本题考查二项式定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题.7. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别判定，的范围，即可得出结果.【详解】，故选：A.【点睛】本题主要考查比较对数与指数的大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于基础题型.8. 正三棱柱中， ，D是BC的中点，则异面直线AD与所成的角为（
5、 ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】取中点，连接，根据正棱柱的结构性质，得出/，则即为异面直线与所成角，求出，即可得出结果.【详解】解：如图，取中点，连接，由于正三棱柱，则底面，而底面，所以，由正三棱柱的性质可知，为等边三角形，所以，且,所以平面，而平面，则，则/，或其补角为异面直线与所成角，设，则，则，.故选：B【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力,属于容易题.9. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如右图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，则，两
6、点的距离为（ ）A. B. 80C. 160D. 【答案】D【解析】【分析】利用等腰三角形性质以及正弦定理求出,再根据余弦定理求，两点的距离.【详解】在中, 在中, 在中, 所以故选：D【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理实际应用，考查基本分析求解能力，属基础题.10. 已知函数，有下列四个结论：是偶函数 是周期函数在上是增函数 在上恰有两个零点其中所有正确结论的编号有（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据的奇偶性、周期性、单调性和零点对四个结论逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由于，所以为偶函数，故正确.由于，所以是周期为的周期函数，故正确.当时，所以，且，所以在上先减
7、后增，错误.当时，令，得，所以，且，所以有两个零点，所以正确.综上所述，正确结论的编号有.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性和零点，属于中档题.11. 若函数恰有两个零点，则在上的最大值为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】通过求导可知：，或，若,则单调，不符题意，显然，由恰有两个零点，所以必有一个极值点为零点，只能是处为零，代入即可得解.【详解】，或，若，则单调，不符题意，故，恰有两个零点，必有一个极值点为零点，只能是处，解得，在处取得极大值为又，在上的最大值为，故选：B【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点问题，根据零点个数求参数范围，考
8、查了分类讨论思想，整体计算量不大，属于基础题.12. 设，分别为双曲线的左，右焦点，A为C的左顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则双曲线C的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】设以为直径的圆与渐近线相交于点，根据对称性，得到，联立方程求点和，根据题中条件，求出，即可得出离心率.【详解】设以为直径的圆与渐近线相交于点，根据对称性得，由解得，则，记右顶点为，连接，则，.故选：D.【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知x，y满足约束条件，则的最大值为_【
9、答案】3【解析】【分析】有约束条件得到可行域，即目标函数与可行域有交点时，在x、y轴上截距最大，即可求的最大值.【详解】由约束条件可得可行域如下：过点时取得最大值3故答案为：3【点睛】本题考查了线性规划，根据约束条件求目标函数最大值，属于简单题.14. 已知是第四象限角，则_【答案】【解析】【分析】利用倍角公式可得，再利用同角三角函数的基本关系求出，即可得答案；【详解】由，解得，是第四象限角，故答案为：.【点睛】本题考查倍角公式和同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力.15. 椭圆的左，右焦点分别为，椭圆上的点M满足，且，则_【答案】【解析】【分析】设，由得，可得，由椭圆定义可得：，在中，结
10、合余弦定理可得：，联立即可得解.【详解】如图：设，由得，可得，又，在中，由余弦定理可得：，式平方减去式得，【点睛】本题考查了椭圆基本量的计算，考查了向量数量积的应用，题型是解椭圆焦点三角形，利用了余弦定理和椭圆定义的结合解题，是固定题型，属于基础题.16. 已知三棱锥顶点都在球的球面上，则球的表面积为_【答案】【解析】【分析】由已知可知为直角三角形，平面，设球的半径为，进而利用勾股定理求出的值，即可求出球的表面积.【详解】解：如图，取中点，连接，则由已知可得，为直角三角形，因为，所以，.因为，所以为直角三角形，则，因为，所以平面.球心为上一点，设球的半径为，连接，即，则由，可知，解得，表面积故
11、答案为：.【点睛】本题考查外接球表面积的求法，考查空间想象能力，运算求解能力，属于中档题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. 已知等比数列是递减数列，且满足，（1）求数列的通项公式;（2）设，数列的前项和为，求的最大值及取得最大值时的值【答案】（1）；（2）当或4时，取最大值12【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比，即可得答案；（2）求出，再利用等差数列的前项和公式，再利用二次函数的性质，即可得答案；【详解】（1）设公比为，由可得，解得，
12、（2），当或4时，取最大值12【点睛】本题考查等比数列通项公式、等差数列前项和公式、二次函数的性质，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18. 如图，四棱锥中，四边形ABCD是直角梯形，底面ABCD，E是PB的中点（1）证明：平面平面PBC；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）先由线面垂直的性质证明，再由线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理证明即可；（2）利用向量法求二面角的余弦值即可.【详解】（1）平面ABCD，平面ABCD，平面PBC，平面EAC，平面平面PBC（2）建立如图所示空间直角坐标系，则，设为平面EAC的法向量，则，即，
13、取得，同理可求得平面BAE的法向量，即二面角的余弦值为【点睛】本题主要考查了证明面面垂直以及利用向量法求二面角，属于中档题.19. 某企业产品正常生产时，产品尺寸服从正态分布，从当前生产线上随机抽取200件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表：产品尺产件数227308036223根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件，一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品（1）判断生产线是否出现异常，并说明理由；（2）用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费10元/件，次品检测费15元/件，记这3件产品检测费为随机变量，求的数学期望及方
14、差附：若随机变量X服从正态分布，则，【答案】（1）生产线出现异常，理由见解析；（2）数学期望为，方差为【解析】【分析】（1）根据题意，得到正常产品尺寸范围是，求出正常情况下次品的数量，根据题中条件，即可得出结果；（2）先由题意，求出该生产线的次品率，记这3件产品中次品数为，则服从二项分布，根据二项分布的期望和方差的计算公式及性质，即可得出结果.【详解】（1）依题意，有，所以正常产品尺寸范围是，又件，超出正常范围以外的零件数为5件，故生产线出现异常（2）依题意，尺寸在以外就是次品，故次品率为记这3件产品中次品数为，则服从二项分布，则，所以X的数学期望是（元），方差是【点睛】本题主要考查正态分布的
15、应用，以及根据二项分布求期望和方差，属于常考题型.20. 在平面直角坐标系中，为直线上动点，过点作抛物线:的两条切线，切点分别为，为的中点.（1）证明:轴；（2）直线是否恒过定点?若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）直线过定点.【解析】【分析】（1）设出两点的坐标，利用导数求得切线的方程，设出点坐标并代入切线的方程，同理将点坐标代入切线的方程，利用韦达定理求得线段中点的横坐标，由此判断出轴.（2）求得点的纵坐标，由此求得点坐标，求得直线的斜率，由此求得直线的方程，化简后可得直线过定点.【详解】（1）设切点，切线的斜率为，切线：，设，则有，化简得，同理可的.，
16、是方程的两根，轴.（2），.，直线：，即，直线过定点.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21. 已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）若，求整数a的最大值；（3）证明：【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导可得：，再分和进行讨论，即可得解；（2）讨论时，不符题意，；若，由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，可得，构造函数：，求最值即可得解；（3）由（2）的结论，可知时，进行放缩可得：，再研究，即可得解.【详解】（1），若，则，在上单调递增；若，由，得；由，得在上单调递增
17、，在上单调递减（2）若，则，不满足；若，由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，设，则，在上单调递增，且，存在唯一的，使得当时，当时，即整数a的最大值为（3）由（2）可知时，设，则设，则，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，即【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了分类讨论思想和恒成立思想，同时考查了放缩和转化思想，对计算能力的要求非常高，属于难题.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. 在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（为参数，）曲线的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极
18、坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出直线与曲线极坐标方程；（2）若直线交曲线于O，A两点，交曲线于O，B两点，求AB的最大值和最小值【答案】（1）；（2）最大值4，最小值2【解析】【分析】（1）直线过原点，由参数方程得其倾斜角后可得极坐标方程，曲线先消参化为普通方程，再由公式化为极坐标方程（2）用直线极坐标方程代入曲线的极坐标方程，可求得两交点的极坐标，由极坐标的意义可得弦长，结合三角函数性质可得最值【详解】解析：（1）直线的倾斜角为，其极坐标方程为，曲线的普通方程为，即，由得，为极坐标方程为（2）直线交曲线于O，A两点，由，解得，直线交曲线于O，B两点，由，解得，当时，取得最大值4，当时，取得最小值2【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查极坐标的意义，用极坐标表示弦长属于中档题23. 已知，函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数的最小值为3，证明：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）当时，分、三种情况讨论即可；（2）利用绝对值的三角不等式可得出，然后结合重要不等式可证明.【详解】（1）当时，即为或或，故不等式的解集为（2），的最小值为3，【点睛】本题考查的是绝对值不等式的解法和不等式的证明，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
陕西省安康市高新中学2021届高三数学上学期8月摸底考试试题理₍含解析₎
