集合的定义 (2)

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1、发 疯 了 的 数 学 家 康 托 尔 （ 1845 1918） 是 德 国 数 学 家 ，集 合 论 的 创 始 者 。 1845年 3月 3日 生 于 圣 彼 得 堡 ， 1918年1月 6日 病 逝 于 哈 雷 。 康 托 尔 11岁 时 移 居 德 国 ， 在 德 国 读中 学 。 1862年 17岁 时 入 瑞 士 苏 黎 世 大 学 ， 翌 年 入 柏 林 大学 ， 主 修 数 学 ， 1866年 (21岁 ） 曾 去 格 丁 根 学 习 一 学 期 。1867年 （ 22岁 ） 以 数 论 方 面 的 论 文 获 博 士 学 位 。 1869年（ 24岁 ） 在 哈 雷 大 学

2、通 过 讲 师 资 格 考 试 ， 后 在 该 大 学 任讲 师 ， 1872年 (27岁 ） 任 副 教 授 ， 1879年 （ 34岁 ） 任 教 授 。康 托 尔 简 介 由 于 研 究 无 穷 时 往 往 推 出 一 些 合 乎 逻 辑 的 但 又 荒 谬 的 结 果(称 为 “ 悖 论 ” )， 许 多 大 数 学 家 唯 恐 陷 进 去 而 采 取 退 避 三舍 的 态 度 。 在 18741876年 期 间 ， 不 到 30岁 的 年 轻 德 国数 学 家 康 托 尔 向 神 秘 的 无 穷 宣 战 。 他 靠 着 辛 勤 的 汗 水 ， 成功 地 证 明 了 一 条 直 线 上

3、 的 点 能 够 和 一 个 平 面 上 的 点 一 一 对应 ， 也 能 和 空 间 中 的 点 一 一 对 应 。 这 样 看 起 来 ， 1厘 米 长的 线 段 内 的 点 与 太 平 洋 面 上 的 点 ， 以 及 整 个 地 球 内 部 的 点都 “ 一 样 多 ” ， 后 来 几 年 ， 康 托 尔 对 这 类 “ 无 穷 集 合 ” 问题 发 表 了 一 系 列 文 章 ， 通 过 严 格 证 明 得 出 了 许 多 惊 人 的 结论 。 康 托 尔 的 创 造 性 工 作 与 传 统 的 数 学 观 念 发 生 了 尖 锐 冲 突 ，遭 到 一 些 人 的 反 对 。 有 人

4、说 ， 康 托 尔 的 集 合 论 是 一 种 “ 疾病 ” ， 康 托 尔 的 概 念 是 “ 雾 中 之 雾 ” ， 甚 至 说 康 托 尔 是“ 疯 子 ” 。 来 自 数 学 权 威 们 的 巨 大 精 神 压 力 终 于 摧 垮 了 康托 尔 ， 使 他 心 力 交 瘁 患 了 精 神 分 裂 症 ， 被 送 进 精 神 病 医 院 。 真 金 不 怕 火 炼 ， 康 托 尔 的 思 想 终 于 大 放 光 彩 。 1897年 举行 的 第 一 次 国 际 数 学 家 会 议 上 ， 他 的 成 就 得 到 承 认 ， 伟 大的 哲 学 家 、 数 学 家 罗 素 称 赞 康 托 尔

5、 的 工 作 “ 可 能 是 这 个 时代 所 能 夸 耀 的 最 巨 大 的 工 作 。 ” 可 是 这 时 康 托 尔 仍 然 神 志恍 惚 ， 不 能 从 人 们 的 崇 敬 中 得 到 安 慰 和 喜 悦 。 1918年 1月6日 ， 康 托 尔 在 一 家 精 神 病 院 去 世 。 集 合 论 是 现 代 数 学 的 基 础 ， 康 托 尔 在 研 究 函 数 论 时 产生 了 探 索 无 穷 集 和 超 穷 数 的 兴 趣 。 康 托 尔 肯 定 了 无 穷 数 的存 在 ， 并 对 无 穷 问 题 进 行 了 哲 学 的 讨 论 ， 最 终 建 立 了 较 完善 的 集 合 理

6、 论 ， 为 现 代 数 学 的 发 展 打 下 了 坚 实 的 基 础 。 康托 尔 创 立 了 集 合 论 作 为 实 数 理 论 ， 以 至 整 个 微 积 分 理 论 体系 的 基 础 。 从 而 解 决 17世 纪 牛 顿 1642 1727） 与 莱 布 尼茨 （ 1646 1716） 创 立 微 积 分 理 论 体 系 之 后 ， 在 近 一 二百 年 时 间 里 ， 微 积 分 理 论 所 缺 乏 的 逻 辑 基 础 . “集 合 ” 是 日 常 生 活 中 的 一 个 常 用 词 ， 现 代 汉 语 解 释 为 :许 多 的 人 或 物 聚 在 一 起 . 在 现 代 数 学

7、 中 ， 集 合 是 一 种 简 洁 、 高 雅 的 数 学 语 言 ，我 们 怎 样 理 解 数 学 中 的 “ 集 合 ” ？(一 )集 合 的 含 义如 ： 班 级 、 学 校 就 是 一 个 集 合 （ 集 体 ） 初 中 学 过 的 集 合 有 ：1.数 集 ： 实 数 集 有 理 数 集无 理 数 集 整 数 集分 数 集 正 整 数 集负 整 数 集零 自 然 数 集2.点 集 ：（ 1） 到 一 定 点 的 距 离 等 于 定 长 的 点 的 集 合 :（ 2） 到 线 段 AB的 两 个 端 点 距 离 相 等 的 点 的 集 合 :圆线 段 AB的 中 垂 线 该 怎 样

8、给 集 合 下 个 定 义 呢 ？（ 2） 方 程 的 所 有 实 数 根0232 xx（ 1） 1 20以 内 的 所 有 质 数 ；（ 3） 所 有 的 自 然 数（ 4） 我 校 高 一 （ 1） 班 全 体 同 学（ 5） 直 线 y=2x+1与 y轴 的 交 点 有 什 么 共 同 特点 呢 ？一 些 “ 个 体 ”合 成 “ 整体 ” (1） 、 集 合 定 义 ： 一 定 范 围 内 某 些 确 定 的 、 不 同 的 对 象 的 全 体 。 记 法 ： 通 常 用 大 写 拉 丁 字 母 A,B,C表 示 。（ 2） 、 元 素 定 义 ： 集 合 中 的 每 一 个 对 象

9、称 为 该 集 合 的 元 素 ， 简 称 元 记 法 ： 常 用 小 写 拉 丁 字 母 a,b,c表 示（ 3） 、 元 素 与 集 合 的 关 系 ： 属 于 不 属 于 1： 集 合 的 含 义 aa AA 记 元 素（ 2） 方 程 的 所 有 实 数 根0232 xx（ 1） 1 20以 内 的 所 有 质 数 ；（ 3） 所 有 的 自 然 数（ 4） 我 校 高 一 （ 1） 班 全 体 同 学（ 5） 直 线 y=2x+1与 y轴 的 交 点 2,3,5,7,11,13,17,191,21,2,3,4,5， 0, (0,1)点 坐 标 该 怎 么 表 示 ？写 出 下 列 集

10、 合 的 元 素 ： 试 列 举 一 个 集 合 的 例 子 ， 并 指 出 集 合 中 的 元 素 . 任 意 一 组 对 象 是 否 都 能 组 成 一 个 集 合 ？ 集 合 中 的 元 素有 什 么 特 征 ？集 合 中 的 元 素 必 须 是 确 定 的 （ 确 定 性 ）不 含 任 何 元 素x A与 xA必 居 其 一 . ， 我 们 班 的 全 体 同 学 组 成 一 个 集 合 ， 调 整 座 位 后 这 个 集 合有 没 有 变 化 ？ 由 此 说 明 什 么 ？2.元 素 的 特 点 :(1).确 定 性在 一 个 给 定 的 集 合 中 能 否 有 相 同 的 元 素

11、？ 由 此 说 明 什 么 ？(2).互 异 性(3).无 序 性一 般 地 ,一 个 集 合 里 的 元 素 都 是 确 定 的 ,任 何 两 个 元素 都 是 不 同 的 ,也 就 是 说 集 合 中 的 元 素 不 允 许 重 复 出现 ,并 且 元 素 的 排 列 与 顺 序 无 关 .判 断 一 组 对 象 能 否 构 成 集 合 的 依 据 这 个 涉 及 到 一 个 德 国 女 数 学 家 对 环 理 论 的 贡 献 ， 她 叫 诺 特 。1920年 ， 她 已 引 入 “ 左 模 ” ， “ 右 模 ” 的 概 念 。 1921年 写 出 的是 交 换 代 数 发 展 的 里

12、程 碑 。 其 中 ，诺 特 在 引 入 整 数 环 概 念 的 时 候 （ 整 数 集 本 身 也 是 一 个 数 环 ） 。她 是 德 国 人 ， 德 语 中 的 整 数 叫 做 Zahlen， 于 是 当 时 她 将整 数 环 记 作 Z， 从 那 时 候 起 整 数 集 就 用 Z表 示 了3.重要的数集: Q：有理数集：由 于 两 个 整 数 相 比 的 结 果 (商 )叫 做 有 理 数 ，商 英 文 是 quotient， 所 以 就 用 Q了 R：实数集（real number ）N+ 或 ： 自 然 数 集 中 去 掉 0即 正 整 数 集*NN： 自 然 数 集 即 (Na

13、tural number ） 0,1,2,3,4,5,.Z： 整 数 集 ： 实 数 集 有 理 数 集无 理 数 集 整 数 集分 数 集 正 整 数 集负 整 数 集零 自 然 数 集R Q Z ZNZ N3.重要的数集: 如 （ 1） 1 20以 内 的 所 有 质 数 ；2,3,5,7,11,13,17,19二.集合的表示方法: 元 素 为 ： 把 集 合 的 元 素 一 一 列 举 出 来 ， 并 用 花 括 号 “ ”括 起 来 ， 这 种 表 示 集 合 的 方 法 叫 列 举 法该 集 合 表 示 为 ：2,3,5,7,11,13,17,19注 意 ： （ 1） 元 素 之 间

14、 用 “ ， ” 隔 开 （ 2） 元 素 不 重 复 ， 满 足 元 素 的 互 异 性 （ 3） 元 素 无 顺 序 ， 满 足 元 素 的 无 序 性1.列 举 法 ：u若集合A=(1，2)，集合B=(2，1),那么A、B是否为同一集合? 19,17,13,11,7,5,3,2 （ 2） 方 程 的 所 有 实 数 根0232 xx（ 3） 所 有 的 自 然 数（ 5） 直 线 y=2x+1与 y轴 的 交 点01 2 x（ 6） 方 程 的 实 数 根 例 题 2： 用 列 举 法 表 示 下 列 集 合（ 1） 1 20以 内 的 所 有 质 数 ；2,3,5,7,11,13,17

15、,191,2 0,1,2,3,4,5,. 1,0 集 合 的 分 类 ： 有 限 集无 限 集空 集（ 按 元 素 个 数 分 ）相 等 集 合 ： 1,2= 2,14 3 0 (3)元 素 个 数 无 限 但 有 规 律 时 ，也 可 以 数 似 地 用 省 略 号 列 举 ， 1,1， 4,2 2,4 2， 1,0,1,2能 用 列 举 法 表 示 不 等 式 x-73的 解 集 吗 ？ (2)描 述 法 :用 确 定 的 条 件 表 示 某 些 对 象 是 否 属 于 这 个 集 合 .符 号 描 述 法 -用 符 号 把 元 素 所 具 有 的 属 性 描 述 出 来即 : 或 | (

16、 )x p x | ( )x A p x能 用 列 举 法 表 示 不 等 式 x-73的 解 集 吗 ？ | 10 x x 不 等 式 x-73的 解 集 ： x | 10R x 或 符 号 描 述 法 -用 符 号 把 元 素 所 具 有 的 属 性 描 述 出 来即 : 或 | ( )x p x | ( )x A p x 例 3： 用 描 述 法 表 示 下 列 集 合不 等 式 2x-13的 解 集奇 数 集 | 2 | 2x R x x x 或 | 2 1,x x k k Z 文 字 描 述 法 -用 文 字 把 所 具 有 的 属 性 描 述 出 来如 :所 有 等 腰 三 角 形

17、 构 成 的 集 合 可 表 示 为 :x|x是 等 腰 三 角 形 由 于 同 一 类 对 象 ,同 一 概 念 定 义 有 不 同 的 陈 述 ,用 文 字描 述 法 表 示 集 合 时 形 式 往 往 不 唯 一 .如 :等 腰 三 角 形 = 两 条 边 相 等 的 三 角 形 = 两 个 内 角 相 等 的 三 角 形 描 述 法 表 示 集 合 的 关 键 :1确 定 代 表 元 素 , 2找 出 元 素 所 具 有 的 公 共 属 性3.不 能 出 现 未 被 说 明 的 字 母4.所 有 内 容 都 写 在 花 括 号 内可 简 写 为 等 腰 三 角 形 例 4:试 分 别

18、用 列 举 法 和 描 述 法 表 示 下 列 集 合 ：（ 1） 方 程 的 所 有 根 组 成 的 集 合 ;（ 2） 由 大 于 小 于 的 所 有 整 数 组 成 的 集 合 2 2 0 x 解 ： （ ） 设 所 求 集 合 为 ， 用 描 述 法 表 示 为 2 2 0A x R x 2, 2A 用 列 举 法 表 示 为 （ ） 设 所 求 集 合 为 ， 用 描 述 法 表 示 为 10 20 x Z x 用 列 举 法 表 示 为 11,12,13,14,15,16,17,18,19 (3)图 示 法 (韦 恩 图 )用 一 条 封 闭 的 曲 线 围 成 的 区 域 来 表

19、 示 一 个 集 合 ,即画 一 条 封 闭 的 曲 线 ,用 它 的 内 部 来 表 示 一 个 集 合 . 用 图 示 法 表 示 集 合 A=6的 正 约 数 和B=8的 正 约 数 之 间 的 关 系 .如 30的 质 因 数 可 表 示 为 : 2, 3, 5 表 示 任 意 一 个 集 合A A B1,23,6 4,8 三 种 表 示 法 对 比列 举 法 -具 体描 述 法 -简 洁 ,抽 象图 示 法 -形 象 直 观 ,特 别 是 表 示 集 合 间 的 关 系 时 体 现了 数 形 结 合 思 想 ,比 较 直 观 .课 堂 小 结 :1集 合 概 念 中 ” 确 定 的

20、对 象 ” 可 以 是 任 意 的 具 体 确 定 的 事 物 ,如 数 ,式 ,点 ,形 ,物 等 2集 合 元 素 的 三 个 特 征 :确 定 性 ,互 异 性 ,无 序 性 .要 能 熟 练运 用 之 (互 异 性 易 出 错 ) 3集 合 的 表 示 方 法 :列 举 法 ,描 述 法 ,图 示 法 . 1.已 知 集 合 ， 如 果 集 合 A中 有且 只 有 3个 元 素 ， 求 实 数 的 取 值 范 围 ， 并 用 列 举法 表 示 集 合 A. | 2A x Z a x a a 例1：用列举法表示下列集合： Naaa ,501）（ Zyxyxyx ,20,20,2）（3）单

21、词“school”中字母构成的集合. 用 适 当 的 方 法 表 示 下 列 集 合的 正 约 数 组 成 的 集 合2.坐 标 平 面 内 第 一 象 限 的 点 组 成 的 集 合 2 2 3 0 x x 3.方 程 的 解 集 1.241000 随 堂 练 习 用 适 当 的 方 法 表 示 下 列 集 合 ：（ 1） 绝 对 值 小 于 3的 所 有 整 数 组 成 的 集 合 ； （ 2） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 以 原 点 为 圆 心 ， 1为 半 径 的 圆 周 上 的 点 组 成 的 集 合 ；（ 3） 所 有 偶 数 组 成 的 集 合 ；（ 4） 由 数 字 1， 2， 3组 成 的 所 有 三 位 数 构 成 的 集 合 .-2， -1， 0， 1， 2或 | | 3x Z x 2 2( , )| 1x y x y | 2 , x x k k Z 123， 132， 213， 231， 312， 321. 小 结 ：一 ： 集 合 的 有 关 定 义1.集 合 2.元 素 3.元 素 与 集 合 的 关 系二 ： 集 合 的 表 示 方 法 ：1.列 举 法 2.描 述 法3.图 示 法