97空间向量 Microsoft Word 文档

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1、膇薀衿膀膃薀羂肃蒁蕿蚁袅莇薈螄肁芃薇袆袄腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚄螀肇芀蚄羃袀芆蚃蚂膆膂蚂螄罿蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节蝿虿膂膈莆螁羅肄莅袃膁莃莄蚃羃荿莃螅艿芅莂袈肂膁莂羀袅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节葿袄肈膇蒈薄袁肃蒇螆肇蒂蒆衿罿莈蒆羁膅芄蒅蚀羈膀蒄螃膃肆薃袅羆莅薂薅膁芁薁蚇羄膇薀衿膀膃薀羂肃蒁蕿蚁袅莇薈螄肁芃薇袆袄腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚄螀肇芀蚄羃袀芆蚃蚂膆膂蚂螄罿蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节蝿虿膂膈莆螁羅肄莅袃膁莃莄蚃羃荿莃螅艿芅莂袈肂膁莂羀袅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节葿袄肈膇蒈薄袁肃蒇螆肇蒂蒆衿罿莈蒆羁膅芄蒅蚀羈膀蒄螃膃肆薃袅羆莅薂薅膁芁薁蚇羄膇薀衿膀膃薀羂肃蒁蕿蚁袅莇薈螄肁芃薇袆袄腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚄螀肇芀蚄羃袀芆蚃蚂膆膂蚂螄罿

2、蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节蝿虿膂膈莆螁羅肄莅袃膁莃莄蚃羃荿莃螅艿芅莂袈肂膁莂羀袅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节葿袄肈膇蒈薄袁肃蒇螆肇蒂蒆衿罿莈蒆羁膅芄蒅蚀羈膀蒄螃膃肆薃袅羆莅薂薅膁芁薁蚇羄膇薀衿膀膃薀羂肃蒁蕿蚁袅莇薈螄肁芃薇袆袄腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚄螀肇芀蚄羃袀芆蚃蚂膆膂蚂螄罿蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节蝿虿膂膈莆螁羅肄莅袃膁莃莄蚃羃荿莃螅艿芅莂袈肂膁莂羀袅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节葿袄肈膇蒈薄袁肃蒇螆肇蒂蒆衿罿莈蒆羁膅芄蒅蚀羈膀蒄螃膃肆薃袅羆莅薂薅膁芁薁蚇羄膇薀衿膀膃薀羂肃蒁蕿蚁袅莇薈螄肁芃薇袆袄腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚄螀肇芀蚄羃袀芆蚃蚂膆膂蚂螄罿蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节蝿虿膂膈莆螁羅肄莅袃膁莃莄蚃羃荿莃螅艿芅莂袈肂膁莂羀袅蒀莁蚀肀莆莀螂袃

3、节葿袄肈膇蒈薄袁肃蒇螆肇蒂蒆衿罿莈蒆羁膅芄蒅蚀羈膀蒄螃膃肆薃袅羆莅薂薅膁芁薁蚇羄膇薀衿膀膃薀羂肃蒁蕿蚁袅莇薈螄肁芃薇袆袄腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚄螀肇芀蚄羃袀芆蚃蚂膆膂蚂螄罿蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节蝿虿膂膈莆螁羅肄莅袃膁莃莄蚃羃荿莃螅艿芅莂袈肂膁莂羀袅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节葿袄肈膇蒈薄袁肃蒇螆肇蒂蒆衿罿莈蒆羁膅芄蒅蚀羈膀蒄螃膃肆薃袅羆莅薂薅膁芁薁蚇羄膇薀衿膀膃薀羂肃蒁蕿蚁袅莇薈螄肁芃薇袆袄腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚄螀肇芀蚄羃袀芆蚃蚂膆膂蚂螄罿蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节蝿虿膂膈莆螁羅肄莅袃膁莃莄蚃羃荿莃螅艿芅莂袈肂膁莂羀袅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节葿袄肈膇蒈薄袁肃蒇螆肇蒂蒆衿罿莈蒆羁膅芄蒅蚀羈膀蒄螃膃肆薃袅羆莅薂薅膁芁薁蚇羄膇薀衿膀

4、膃薀羂肃蒁蕿蚁袅莇薈螄肁芃薇袆袄腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚄螀肇芀蚄羃袀芆蚃蚂膆膂蚂螄罿蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节蝿虿膂膈莆螁羅肄莅袃膁莃莄蚃羃荿莃螅艿芅莂袈肂膁莂羀袅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节葿袄肈膇蒈薄袁肃蒇螆肇蒂蒆衿罿莈蒆羁膅芄蒅蚀羈膀蒄螃膃肆薃袅羆莅薂薅膁芁薁蚇羄膇薀衿膀膃薀羂肃蒁蕿蚁袅莇薈螄肁芃薇袆袄腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚄螀肇芀蚄羃袀芆蚃蚂膆膂蚂螄罿蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节蝿虿膂膈莆螁羅肄莅袃膁莃莄蚃羃荿莃螅艿芅莂袈肂膁莂羀袅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节葿袄肈膇蒈薄袁肃蒇螆肇蒂蒆衿罿莈蒆羁膅芄蒅蚀羈膀蒄螃膃肆薃袅羆莅薂薅膁芁薁蚇羄膇薀衿膀膃薀羂肃蒁蕿蚁袅莇薈螄肁芃薇袆袄腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚄螀肇芀蚄羃袀芆蚃蚂膆膂蚂螄罿蒀蚁袇膄

5、莆蚀罿羇节蝿虿膂膈莆螁羅肄莅袃膁莃莄蚃羃荿莃螅艿芅莂袈肂膁莂羀袅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节葿袄肈膇蒈薄袁肃蒇螆肇蒂蒆衿罿莈蒆羁膅芄蒅蚀羈膀蒄螃膃肆薃袅羆莅薂薅膁芁薁蚇羄膇薀衿膀膃薀羂肃蒁蕿蚁袅莇薈螄肁芃薇袆袄腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚄螀肇芀蚄羃袀芆蚃蚂膆膂蚂螄罿蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节蝿虿膂膈莆螁羅肄莅袃膁莃莄蚃羃荿莃螅艿芅莂袈肂膁莂羀袅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节葿袄肈膇蒈薄袁肃蒇螆肇蒂蒆衿罿莈蒆羁膅芄蒅蚀羈膀蒄螃膃肆薃袅羆莅薂薅膁芁薁蚇羄膇薀衿膀膃薀羂肃蒁蕿蚁袅莇薈螄肁芃薇袆袄腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚄螀肇芀蚄羃袀芆蚃蚂膆膂蚂螄罿蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节蝿虿膂膈莆螁羅肄莅袃膁莃莄蚃羃荿莃螅艿芅莂袈肂膁莂羀袅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节葿袄肈

6、膇蒈薄袁肃蒇螆肇蒂蒆衿罿莈蒆羁膅芄蒅蚀羈膀蒄螃膃肆薃袅羆莅薂薅膁芁薁蚇羄膇薀衿膀膃薀羂肃蒁蕿蚁袅莇薈螄肁芃薇袆袄腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚄螀肇芀蚄羃袀芆蚃蚂膆膂蚂螄罿蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节蝿虿膂膈莆螁羅肄莅袃膁莃莄蚃羃荿莃螅艿芅莂袈肂膁莂羀袅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节葿袄肈膇蒈薄袁肃蒇螆肇蒂蒆衿罿莈蒆羁膅芄蒅蚀羈膀蒄螃膃肆薃袅羆莅薂薅膁芁薁蚇羄膇薀衿膀膃薀羂肃蒁蕿蚁袅莇薈螄肁芃薇袆袄腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚄螀肇芀蚄羃袀芆蚃蚂膆膂蚂螄罿蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节蝿虿膂膈莆螁羅肄莅袃膁莃莄蚃羃荿莃螅艿芅莂袈肂膁莂羀袅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节葿袄肈膇蒈薄袁肃蒇螆肇蒂蒆衿罿莈蒆羁膅芄蒅蚀羈膀蒄螃膃肆薃袅羆莅薂薅膁芁薁蚇羄膇薀衿膀膃薀羂肃

7、蒁蕿蚁袅莇薈螄肁芃薇袆袄腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚄螀肇芀蚄羃袀芆蚃蚂膆膂蚂螄罿蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节蝿虿膂膈莆螁羅肄莅袃膁莃莄蚃羃荿莃螅艿芅莂袈肂膁莂羀袅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节葿袄肈膇蒈薄袁肃蒇螆肇蒂蒆衿罿莈蒆羁膅芄蒅蚀羈膀蒄螃膃肆薃袅羆莅薂薅膁芁薁蚇羄膇薀衿膀膃薀羂肃蒁蕿蚁袅莇薈螄肁芃薇袆袄腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚄螀肇芀蚄羃袀芆蚃蚂膆膂蚂螄罿蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节蝿虿膂膈莆螁羅肄莅袃膁莃莄蚃羃荿莃螅艿芅莂袈肂膁莂羀袅蒀莁蚀肀莆莀螂袃节葿袄肈膇蒈薄袁肃蒇螆肇蒂蒆衿罿莈蒆羁膅芄蒅蚀羈膀蒄螃膃肆薃袅羆莅薂薅膁芁薁蚇羄膇薀衿膀膃薀羂肃蒁蕿蚁袅莇薈螄肁芃薇袆袄腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚄螀肇芀蚄羃袀芆蚃蚂膆膂蚂螄罿蒀蚁袇膄莆蚀罿羇

8、 9.7空间向量一、明确复习目标1了解空间向量的基本概念；掌握空间向量的加、减、数乘、及数量积的运算；了解空间向量共面的概念及条件；理解空间向量基本定理.2理解空间直角坐标系的概念，会用坐标来表示向量；理解空间向量的坐标运算.3掌握空间中两点间距离、两向量的夹角公式及的坐标表示；会求平面的法向量.4会用空间向量判定线、面的垂直，会求空间直线所成的角.二建构知识网络1.共线向量定理：对空间任意两个向量（），/存在实数l使.显然.若直线L过点A、B，是方向向量，则点P在直线L上存在实数t，使，（此式也叫L的向量方程）点P在直线L上=(1-t).（或=x， x+y=1）2.共面向量定理：两个向量不共

9、线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对x，y使=.推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y使得：，或对空间任意一点O有：.3.空间向量的基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任意一向量，存在惟一有序实数对x、y、z使得=.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的三个有序实数x、y、z使=x+。特别地，当x+y+z=1时，则必有P、A、B、C四点共面.4.向量的数量积：，用于求两个向量的数量积或夹角；，用于求距离.，用于证明两个向量的垂直关系；5.空间向量的直角坐标运算律：则; ， ，坐标对应成比例；数量积为零.6.夹角公式:7.模长公

10、式：，8.,则距离公式：，9.若表示向量a1，a2，an的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则a1a2a3an=0.三、双基题目练练手1.设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是 （ ）A.a+b，ba，aB.a+b，ba，bC.a+b，ba，cD.a+b+c，a+b，c2.在平行六面体ABCDABCD中，向量、是 （ ）A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量3.若a=（2x，1，3），b=（1，2y，9），如果a与b为共线向量，则 ( )A.x=1，y=1 B. x=，y=C. x=，y= D.x=，y=4.已知向量a=（1，1，0），b=

11、（1，0，2），且kab与2ab互相垂直，则k值是 5.已知四边形ABCD中，=a2c，=5a+6b8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则=_.6.已知空间三点A（1，1，1）、B（1，0，4）、C（2，2，3），则与的夹角的大小是_.答案提示：1-3.CCB; 4. k=. 5.=3a+3b5c. 6.1205.提示:设AD中点为G，得=3a+3b5c.四、经典例题做一做【例1】如图,在平行六面体中,是的中点.求证:（1）面.（2）设E、F、G、H、K、L依次是棱AB、BC、CC1、C1D1、D1A1、A1A的中点，则这六点共面.ABCC1D1A1B1DO分析:只需证明与面中的一组基向

12、量共面.证明（1）:设因为为平行四边形,又O是的中点, 若存在实数使成立,则因为向量不共线,.所以是共面向量,因为不在所确定的平面内,面,又面,面.（2）不共线，可作为基底，再依次证明、能用这组基底表示即可，试试如何？【例2】 在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90，AC=2，BC=，SB=.（1）求证：SCBC；（2）求SC与AB所成角的余弦值. （3）若E、F、G分别是AB、AC、SB的中点，求证：平面EFG平面ACG.思路1：要用向量来研究线面的位置关系，需要有一组基底把有关的向量表示出来，再用向量运算的几何意义来研究。解法1：（1）设，由已知得：，.（2）所以SC与AB所成的

13、角为arccos.（3）思路2：图中垂直关系较为明显，容易建立坐标系的，可以建立空间直角坐标系，利用向量的代数运算来研究.解法2：如下图，取A为原点，AD、AC、AS分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系（一般建成右手系），则由AC=2，BC=，SB=，得C（0，2，0），B（，2，0）、S（0，0，2）。 =（0，2，2），=（，0，0）.（1）=0，SCBC.（2）设SC与AB所成的角为，=（，2，0），=4，| |=4，cos=，即为所求._yzxGFEBCAS （3） , 思悟提练1.利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角等问题.2用向量研究研究问题

14、可以建立坐标系用向量的代数形式，也可用向量的几何形式.【例3】 已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量.解：设面ABC的法向量n=（x，y，1），则n且n，即n=0，且n=0，即 n=（，1，1），单位法向量n0=（，）.思悟提练求法向量一般用待定系数法.常把n的某个坐标设为1，再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量，有方向相反的两个.单位法向量只需将法向量再除以它的模.五提炼总结以为师1在处理立体几何中的平行、垂直或求两异面直线所成的角时,用向量来解决思维简单，是模式化了的方法，是行之有效的方法.2要熟练掌握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条

15、件，掌握运用向量判定平行、垂直和求空间直线所成的角的方法. 同步练习 9.7空间向量【选择题】1.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若 =a， =b， =c，则下列式子中与相等的是 （ ）A. a+ b+cB. a+ b+cC. a b+c D. a b+c2.在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是 （ ）点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，y，z）点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，y，z） 点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，y，z） 点P关于原点对称的点的坐标是P4（x，y，z）A.3 B.2 C.1 D.03下列命题中不正确的

16、命题个数是若A、B、C、D是空间任意四点，则有+ +=0 |a|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件 若a、b共线，则a与b所在直线平行对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z（其中x、y、zR），则P、A、B、C四点共面 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4【填空题】4.已知点A（1，2，1）、B（1，3，4）、D（1，1，1），若，则| |的值是_.5. 设点C（2a+1，a+1，2）在点P（2，0，0）、A（1，3，2）、B（8，1，4）确定的平面上，a的值等于 ;6 A是BCD所在平面外一点，M、N分别是ABC和ACD的重心，若BD=4，则MN的长为 .答案: 1-3

17、, ACC; 4. ; 5. a=16 6. 【解答题】7设A、B、C及A1、B1、C1分别是异面直线l1、l2上的三点，而M、N、P、Q分别是线段AA1、BA1、BB1、CC1的中点.求证：M、N、P、Q四点共面.证明：，A、B、C及A1、B1、C1分别共线，、 M、N、P、Q四点共面.8.已知空间四边形中,且分别是的中点,是中点.求证:证明:连结由线段中点公式得:且,9在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E，求证：（1）BD1平面ACB1；（2）BE=ED1.证明：（1），建立空间直角坐标系，则A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0), D

18、1(0,0,1), B1(1,1,1)（2）设设，10在正三棱柱ABC-A1B1C1中，(1)已知AB1BC1，求证：AB1A1；(2)当AB=2，AA1=4时，求异面直线BC1与A1C所成角的余弦值解：(1)设=a，=b，=c，则=a+c，=b-a+c，=b-c，(a+c)(b-a+c)=0，即c2-a2+ab=0又设=x，=h，则h2-x2+x2=0，x2=2h2=(a+c)(b-c)=ab-c2=x2-h2=h2-h2=0(2)=，=(b-a+c)(b-c)=b2-c2-ab=-14设异面直线BC1与A1C所成的角为q，则cosq=|cos|=即异面直线BC1与A1C所成角的余弦值为【探

19、索题】如下图，直棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求的长；（2）求cos的值；（3）求证：A1BC1M.（1）解：依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），=.（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），=（1，1，2），=（0，1，2），=3，=，=.cos，=.（3）证明：C1（0，0，2），M（，2），=（1，1，2），=（，0），=0，A1BC1M. 葿袆袅荿莅蒂羇膂芁蒁肀莇蕿蒁蝿膀蒅蒀袂莅莁蕿羄膈芇薈肆羁蚆薇袆膆薂薆羈聿蒈薅肁芅莄薅螀肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆

20、蒅蚂肇芁莀蚁螇肄芆蚀罿芀节虿肂膂薁虿螁莈蒇蚈袃膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇莀螃肂羀莆螃螂芆节螂袄肈薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袇羃芀蒃袇膆肃葿袆袅荿莅蒂羇膂芁蒁肀莇蕿蒁蝿膀蒅蒀袂莅莁蕿羄膈芇薈肆羁蚆薇袆膆薂薆羈聿蒈薅肁芅莄薅螀肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莀蚁螇肄芆蚀罿芀节虿肂膂薁虿螁莈蒇蚈袃膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇莀螃肂羀莆螃螂芆节螂袄肈薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袇羃芀蒃袇膆肃葿袆袅荿莅蒂羇膂芁蒁肀莇蕿蒁蝿膀蒅蒀袂莅莁蕿羄膈芇薈肆羁蚆薇袆膆薂薆羈聿蒈薅肁芅莄薅螀肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莀蚁螇肄芆蚀罿芀节虿肂膂薁虿螁莈蒇蚈袃膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇莀螃肂羀

21、莆螃螂芆节螂袄肈薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袇羃芀蒃袇膆肃葿袆袅荿莅蒂羇膂芁蒁肀莇蕿蒁蝿膀蒅蒀袂莅莁蕿羄膈芇薈肆羁蚆薇袆膆薂薆羈聿蒈薅肁芅莄薅螀肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莀蚁螇肄芆蚀罿芀节虿肂膂薁虿螁莈蒇蚈袃膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇莀螃肂羀莆螃螂芆节螂袄肈薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袇羃芀蒃袇膆肃葿袆袅荿莅蒂羇膂芁蒁肀莇蕿蒁蝿膀蒅蒀袂莅莁蕿羄膈芇薈肆羁蚆薇袆膆薂薆羈聿蒈薅肁芅莄薅螀肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莀蚁螇肄芆蚀罿芀节虿肂膂薁虿螁莈蒇蚈袃膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇莀螃肂羀莆螃螂芆节螂袄肈薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袇羃芀蒃袇膆肃葿袆袅荿莅蒂羇膂芁蒁肀莇

22、蕿蒁蝿膀蒅蒀袂莅莁蕿羄膈芇薈肆羁蚆薇袆膆薂薆羈聿蒈薅肁芅莄薅螀肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莀蚁螇肄芆蚀罿芀节虿肂膂薁虿螁莈蒇蚈袃膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇莀螃肂羀莆螃螂芆节螂袄肈薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袇羃芀蒃袇膆肃葿袆袅荿莅蒂羇膂芁蒁肀莇蕿蒁蝿膀蒅蒀袂莅莁蕿羄膈芇薈肆羁蚆薇袆膆薂薆羈聿蒈薅肁芅莄薅螀肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莀蚁螇肄芆蚀罿芀节虿肂膂薁虿螁莈蒇蚈袃膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇莀螃肂羀莆螃螂芆节螂袄肈薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袇羃芀蒃袇膆肃葿袆袅荿莅蒂羇膂芁蒁肀莇蕿蒁蝿膀蒅蒀袂莅莁蕿羄膈芇薈肆羁蚆薇袆膆薂薆羈聿蒈薅肁芅莄薅螀肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁

23、莀蚁螇肄芆蚀罿芀节虿肂膂薁虿螁莈蒇蚈袃膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇莀螃肂羀莆螃螂芆节螂袄肈薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袇羃芀蒃袇膆肃葿袆袅荿莅蒂羇膂芁蒁肀莇蕿蒁蝿膀蒅蒀袂莅莁蕿羄膈芇薈肆羁蚆薇袆膆薂薆羈聿蒈薅肁芅莄薅螀肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莀蚁螇肄芆蚀罿芀节虿肂膂薁虿螁莈蒇蚈袃膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇莀螃肂羀莆螃螂芆节螂袄肈薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袇羃芀蒃袇膆肃葿袆袅荿莅蒂羇膂芁蒁肀莇蕿蒁蝿膀蒅蒀袂莅莁蕿羄膈芇薈肆羁蚆薇袆膆薂薆羈聿蒈薅肁芅莄薅螀肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莀蚁螇肄芆蚀罿芀节虿肂膂薁虿螁莈蒇蚈袃膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇莀螃肂羀莆螃螂芆

24、节螂袄肈薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袇羃芀蒃袇膆肃葿袆袅荿莅蒂羇膂芁蒁肀莇蕿蒁蝿膀蒅蒀袂莅莁蕿羄膈芇薈肆羁蚆薇袆膆薂薆羈聿蒈薅肁芅莄薅螀肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莀蚁螇肄芆蚀罿芀节虿肂膂薁虿螁莈蒇蚈袃膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇莀螃肂羀莆螃螂芆节螂袄肈薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袇羃芀蒃袇膆肃葿袆袅荿莅蒂羇膂芁蒁肀莇蕿蒁蝿膀蒅蒀袂莅莁蕿羄膈芇薈肆羁蚆薇袆膆薂薆羈聿蒈薅肁芅莄薅螀肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莀蚁螇肄芆蚀罿芀节虿肂膂薁虿螁莈蒇蚈袃膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇莀螃肂羀莆螃螂芆节螂袄肈薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袇羃芀蒃袇膆肃葿袆袅荿莅蒂羇膂芁蒁肀莇蕿蒁蝿膀

25、蒅蒀袂莅莁蕿羄膈芇薈肆羁蚆薇袆膆薂薆羈聿蒈薅肁芅莄薅螀肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莀蚁螇肄芆蚀罿芀节虿肂膂薁虿螁莈蒇蚈袃膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇莀螃肂羀莆螃螂芆节螂袄肈薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袇羃芀蒃袇膆肃葿袆袅荿莅蒂羇膂芁蒁肀莇蕿蒁蝿膀蒅蒀袂莅莁蕿羄膈芇薈肆羁蚆薇袆膆薂薆羈聿蒈薅肁芅莄薅螀肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莀蚁螇肄芆蚀罿芀节虿肂膂薁虿螁莈蒇蚈袃膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇莀螃肂羀莆螃螂芆节螂袄肈薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袇羃芀蒃袇膆肃葿袆袅荿莅蒂羇膂芁蒁肀莇蕿蒁蝿膀蒅蒀袂莅莁蕿羄膈芇薈肆羁蚆薇袆膆薂薆羈聿蒈薅肁芅莄薅螀肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莀蚁螇肄芆蚀罿芀节虿肂膂薁虿螁莈蒇蚈袃膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇莀螃肂羀莆螃螂芆节螂袄肈薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袇羃芀蒃袇膆肃葿袆袅荿莅蒂羇膂芁蒁肀莇蕿蒁蝿膀蒅蒀袂莅莁蕿羄膈芇薈肆羁蚆薇袆膆薂薆羈聿蒈薅肁芅莄薅螀肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂肇芁莀蚁螇肄芆蚀罿芀节虿肂膂薁虿螁莈蒇蚈袃膁莃蚇羆莆艿螆肈腿薈螅螈羂蒄螄袀膇莀螃肂羀莆螃螂芆节螂袄肈薀螁羇芄蒆螀聿肇莂衿蝿节芈袈袁肅薇袇羃芀蒃袇膆肃葿袆袅荿莅蒂羇膂芁蒁肀莇蕿蒁蝿膀蒅蒀袂莅莁蕿羄膈芇薈肆羁蚆薇袆膆薂薆羈聿蒈薅肁芅莄薅螀肈芀薄袃芃蕿蚃羅肆11