§5-2-边界层换热微分与积分方程

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1、Heat Transfer传 热 学 Building Energy Efficiency is the Wave of the Future ! 5 对 流 换 热 分 析 建 筑 环 境 与 设 备 工 程 专 业 主 干 课 程 之 一 !Chapter5 The Analysis of Convection Heat Transfer L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering本 章 内 容 要 求 ：v重 点 内 容 ： 对 流 换 热 及 其 影 响 因 素 ； 牛 顿 冷 却公 式 ； 用 分 析 方 法

2、 求 解 对 流 换 热 问 题 的 实 质 ；边 界 层 概 念 及 其 应 用 ； 相 似 原 理 ； 无 相 变 换 热的 表 面 传 热 系 数 及 换 热 量 的 计 算 。v掌 握 内 容 ： 对 流 换 热 及 其 影 响 因 素 ； 用 分 析 方法 求 解 对 流 换 热 问 题 的 实 质 。 L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering5-2 边 界 层 换 热 微 分 与 积 分 方 程一 、 边 界 层 概 念 层 流 底 层 过 渡 层u 湍 流过 渡 流层 流 cxy x L o g o建

3、筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering1. 物 理 现 象 当 粘 性 流 体 在 壁 面 上 流 动 时 ， 由于 粘 性 的 作 用 ， 在 贴 附 于 壁 面 的 流 体 速 度 实 际上 等 于 零 ， 在 流 体 力 学 中 称 为 贴 壁 处 的 无 滑 移边 界 条 件 。 2. 实 验 测 定 若 用 仪 器 测 出 壁 面 法 向 （ y向 ） 的 速度 分 布 ， 如 上 图 所 示 。 在 y=0处 ， u=0； 此 后 随 增 大 ， 也 增 大 。 经 过 一 个 薄 层 后 接 近 主流 速 度 。 L

4、o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering3. 定 义 这 一 薄 层 称 为 流 动 边 界 层 （ 速 度 边界 层 ） ， 通 常 规 定 ： （ 主 流 速 度 ）处 的 距 离 为 流 动 边 界 层 厚 度 ， 记 为 。0.99u uy 4. 数 量 级 流 动 边 界 层 很 薄 ， 如 空 气 ， 以 掠 过 平 板 ， 在 离 前 缘 处 的 边界 层 厚 度 约 为 。16 /u m s 1m5mm L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Eng

5、ineering 5mm3200 /m s 16 /m s5.物 理 意 义 在 这 样 薄 的 一 层 流 体 内 ， 其速 度 梯 度 是 很 大 的 。 在 的 薄 层 中 ， 气流 速 度 从 0 变 到 ， 其 法 向 平 均 变化 率 高 达 。 L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering x uy 根 据 牛 顿 粘 性 定 律 ， 流 体 的 剪 应 力 与垂 直 运 动 方 向 的 速 度 梯 度 成 正 比 ， 即 ：式 中 ： 向 的 粘 滞 应 力 ； 动 力 粘 度 。x x 2N m kg

6、m s L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering6. 掠 过 平 板 时 边 界 层 的 形 成 和 发 展cx u(1) 流 体 以 速 度 流 进 平 板 前 缘 后 ， 边 界 层 逐 渐 增 厚 ， 但在 某 一 距 离 以 前 会 保 持 层 流 。(2) 但 是 随 着 边 界 层 厚 度 的 增 加 ， 必 然 导 致 壁 面 粘 滞 力 对边 界 层 外 缘 影 响 的 减 弱 。 自 处 起 ， 层 流 向 湍 流 过 渡 （ 过渡 区 ） ， 进 而 达 到 旺 盛 湍 流 ， 故 称 湍 流 边

7、 界 层 。cx L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering (3) 湍 流 边 界 层 包 括 湍 流 核 心 、 缓 冲 层 、 层 流 底 层 。 在 层流 底 层 中 具 有 较 大 的 速 度 梯 度 。 L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering7. 临 界 雷 诺 数 运 动 粘 度 ； 动 力 粘 度 Re cc u x 2m s v采 用 临 界 雷 诺 数 来 判 别 层 流 和 湍 流 。v对 管 内 流 动 ： 为 层

8、流 反 之 为 湍 流v对 纵 掠 平 板 ： 一 般 取 Re 2300c 5Re 5 10cRec L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering8. 小 结 综 上 所 述 ， 流 动 边 界 层 具 有 下 列 重 要 特 性(1) 流 场 可 以 划 分 为 两 个 区 ：N S (b)主 流 区 边 界 层 外 ， 流 速 维 持 不 变 ， 流 动 可 以 作 为 理 想 流 体 的 无 旋 流 动 ，用 描 述 理 想 流 体 的 运 动 微 分 方 程 求 解 。 u (a)边 界 层 区 必 须 考 虑

9、 粘 性 对 流 动 的影 响 ， 要 用 方 程 求 解 。 L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering(2) 边 界 层 厚 度 与 壁 面 尺 度 相 比 ， 是 一 个 很 小 的 量 。 l 0.5 /1.13u m sl mcm 0.4 /1.13u m sl mcm L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering(3) 边 界 层 分 ：v层 流 边 界 层 速 度 梯 度 较 均 匀 地 分 布 于 全 层 。v湍 流 边 界 层

10、在 紧 贴 壁 面 处 ， 仍 有 一 层 极 薄 层 保 持 层流 状 态 ， 称 为 层 流 底 层 。v速 度 梯 度 主 要 集 中 在 层 流 底 层 。(4) 在 边 界 层 内 ， 粘 滞 力 与 惯 性 力 数 量 级 相 同 。 L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering9. 热 边 界 层 y x 等 温 流 动 区温 度 边 界 层 t, 0wt t ,u t L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering 由 于 速 度 在

11、 壁 面 法 线 方 向 的 变 化 出 现 了 流 动边 界 层 ， 同 样 ， 当 流 体 与 壁 面 之 间 存 在 温 度 差 时 ，将 会 产 生 热 边 界 层 ， 如 上 图 所 示 。在 处 ， 流 体 温 度 等 于 壁 温 ，0y wt t 0wt t L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering 当 流 体 流 过 平 板 而 平 板 的 温 度 tw与 来 流 流 体 的 温 度 t不相 等 时 ， 在 壁 面 上 方 形 成 的 温 度 发 生 显 著 变 化 的 薄 层 ，常 称 为 热 边

12、界 层 。 称 为 热 边 界 层 的 厚 度 。 v热 边 界 层 以 外 可 视 为 等 温 流 动 区 （ 主 流 区 ） 。t L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering边 界 层 概 念 的 引 入 可 使 换 热 微 分 方 程 组 得 以 简 化 :1.数 量 级 分 析 ： 比 较 方 程 中 各 量 或 各 项 的 量 级的 相 对 大 小 ； 保 留 量 级 较 大 的 量 或 项 ； 舍 去那 些 量 级 小 的 项 ， 方 程 大 大 简 化 。二 . 边 界 层 换 热 微 分 方 程 组例

13、： 二 维 、 稳 态 、 、 层 流 、 忽 略 重 力 L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering2. 5个 基 本 量 的 数 量 级 ：主 流 速 度 ：温 度 ：壁 面 特 征 长 度 ：边 界 层 厚 度 ：x 与 l 相 当 ， 即 ： );1(0u );1(0t );1(0l )(0 );(0 t);1(0 lx )(0 0 yy L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering3. 边 界 层 中 二 维 稳 态 能 量 方 程 式

14、 的 各 项 数 量级 可 分 析 如 下 ：t t t tu v ax y x x y y 数 量 级 111 1 1 11 1 111 21 L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering2 22 2t tx y 由 于 因 而 可 以 把 主 流 方 向 的 二 阶 导数 项 略 去 于 是 得 到 二 维 、 稳 态 、 无 内热 源 的 边 界 层 能 量 方 程 为 ： 22tx 22t t tu v ax y y L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction

15、Engineering 于 是 得 到 二 维 、 稳 态 、 无 内 热 源 的 边 界 层 换 热 微 分方 程 组 ：连 续 性 方 程动 量 守 恒 方 程能 量 守 恒 方 程 0 yvxu 22t t tu v ax y y 2 21t t dp uu vx y dx y L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering4.上 述 方 程 的 定 解 条 件 ：0 0, 0, wy u v t ty u u t t 时对 于 平 板 ， 分 析 求 解 上 述 方 程 组 （ 此 时 )可 得 局 部 表 面 传

16、 热 系 数 的 表 达 式（ 层 流 范 围 ） ：0dp dx L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering1 12 30.332x u xh x a 3121332.0 axuxhx 3121 PrRe332.0 xxNu 特 征 数 方 程或 准 则 方 程 L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering式 中 ： xhNu xx 努 塞 尔 (Nusselt)数xu x Re 雷 诺 (Reynolds)数aPr 普 朗 特 数 一 定 要

17、 注 意 上 面 准 则 方 程 的 适 用 条 件 ：外 掠 等 温 平 板 、 无 内 热 源 、 层 流 ！ L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering5. 与 t 之 间 的 关 系对 于 外 掠 平 板 的 层 流 流 动 : 22y taytvxtu 此 时 动 量 方 程 与 能 量 方 程 的 形 式 完 全 一 致 :0 , dxdpconstu 22 yuyuvxuu 动 量 方 程 ： L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineer

18、ing表 明 ： 此 情 况 下 动 量 传 递 与 热 量 传 递 规 律相 似 。特 别 地 ： 对 于 = a 的 流 体 （ Pr=1） ，速 度 场 与 无 量 纲 温 度 场 将 完 全 相 似 ， 这 是Pr=1的 另 一 层 物 理 意 义 ： 表 示 流 动 边 界 层和 温 度 边 界 层 的 厚 度 相 同 。 L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering三 、 边 界 层 积 分 方 程 组 的 求 解1. 边 界 层 积 分 方 程v1921年 ， 冯 卡 门 提 出 了 边 界 层 动 量 积

19、 分方 程 。v1936年 ， 克 鲁 齐 林 求 解 了 边 界 层 能 量 积分 方 程 。v近 似 解 ， 简 单 容 易 。 L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering 用 边 界 层 积 分 方 程 求 解 对 流 换 热 问 题 的 基本 思 想 :(1)建 立 边 界 层 积 分 方 程 针 对 包 括 固 体 边 界及 边 界 层 外 边 界 在 内 的 有 限 大 小 的 控 制 容积 ；(2)对 边 界 层 内 的 速 度 和 温 度 分 布 作 出 假 设 ，常 用 的 函 数 形 式 为 多 项

20、 式 ； L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering(3)利 用 边 界 条 件 确 定 速 度 和 温 度 分 布 中 的常 数 ， 然 后 将 速 度 分 布 和 温 度 分 布 带 入积 分 方 程 ， 解 出 和 的 计 算 式 ；(4)根 据 求 得 的 速 度 分 布 和 温 度 分 布 计 算 固体 边 界 上 的 ： Nucytyu fyy 和及 00 t L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering2. 边 界 层 积 分 方

21、程 的 推 导将 边 界 层 能 量 微 分 方 程 式 对 如 图 5-15所 示的 任 意 截 面 做 到 的 积 分 ：0y y 2 20 0 0t t tu dy v dy a dyx y y （ a） L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering根 据 边 界 层 的 概 念 ， 时 ，因 而 在 该 处 ，ty t t 0tx 0ty ，则 有 ： 22 0ty 220 0 0t t tt t tu dy v dy a dyx y y （ b） L o g o建 筑 工 程 系 The Department

22、of Construction Engineering其 中 ： 00 0 0t t tt tt v vv dy vt t dy v t t dyy y y （ c）为 了 导 出 仅 包 括 速 度 的 方 程 ， 把 （ c） 式 中的 项 及 项 通 过 连 续 性 方 程 进 行 转 换vy tv 0 0t tv udy dyy x 0 0t tt v uv dy dyy x （ d） L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering将 （ d） 式 代 入 （ c） 式 ：0 0 0t t tt u uv dy t

23、 dy t dyy x x （ e）对 式 （ b） 中 的 扩 散 项 积 分 ： 220 0 0 0tt ty y yt t t t ta dy a a ay y y y y （ f） L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering将 式 （ e） （ f） 代 入 式 （ b） ， 得 ：0 0 0 0 t t t yt u u tu dy t dy t dy ax x x y 等 号 左 端 的 三 项 可 进 一 步 简 化 为 ： 0 0 0 ( )t t tutt uu t dy dy ut ut dyx x

24、 x x 0 ( )td u t t dydx L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering最 后 的 边 界 层 能 量 积 分 方 程 为 ：0 0( )t yd tu t t dy adx y 用 类 似 的 方 法 可 以 导 出 边 界 层 动 量 积 分 方 程 为 ： 0 0( )t yd uu u u dydx y 两 个 方 程 ， 4个 未 知 量 ： u, t, , t 。 要 使 方 程 组 封 闭 ，还 必 须 补 充 两 个 有 关 这 4个 未 知 量 的 方 程 。 这 就 是 关 于 u

25、 和 t 的 分 布 方 程 。 L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering3. 边 界 层 积 分 方 程 组 求 解 ：边 界 层 中 的 速 度 分 布 为 ： 33 12 2u y yu 上 式 微 分 ： 0 32y ududy 代 入 动 量 积 分 方 程 ： 00 )( yyudyuuudxd 0 0( )t yd uu u u dydx y L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering xxorux Re64.464.4 X处

26、的 局 部 壁 面 切 应 力 为 ： xyw uxuudydu Re323.064.4123 20 L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering在 工 程 中 常 使 用 局 部 切 应 力 与 流 体 动 压 头 之 比 这 个 无 量纲 量 ， 并 称 之 为 范 宁 摩 擦 系 数 ， 简 称 摩 擦 系 数 。21 2 Re646.021 xwf uc 21Re292.1 xfmc平 均 摩 擦 系 数 ： L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engi

27、neering上 面 求 解 动 量 积 分 方 程 获 得 的 是 近 似 解 ， 而 求 解动 量 微 分 方 程 可 以 获 得 的 精 确 解 ，分 别 为 ： fcandx xx Re0.5 21Re664.0 xfc 21Re646.0 xfcxx Re64.4 可 见 二 者 非 常 接 近 ！ L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering求 解 能 量 积 分 方 程 ， 可 得 无 量 纲 过 余 温 度 分 布 ： 32123 ttww yytt tt xt 213131 RePr52.4026.1P

28、r 热 边 界 层 厚 度 ：强 调 ： 以 上 结 果 都 是 在 Pr 1 的 前 提 下 得 到 的 ！ L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering局 部 对 流 换 热 系 数 ： 3121 0 PrRe332.023 xtywx xyttth 1 11 13 32 20.332Re Pr 0.664Re Prx x xh x hlNu Nu 平 均 努 塞 尔 数 ： 32123 ttww yytt tt L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engi

29、neering4.计 算 时 ， 注 意 四 点 ：a Pr 1 ；b ， 两 对 变 量 的 差 别 ；cd 定 性 温 度 ：NuNu 与 hh x 与5105Re 2wttt L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering本 节 小 结 ：一 、 边 界 层 概 念 ： 流 动 边 界 层 与 热 边 界 层二 . 边 界 层 换 热 微 分 方 程 组 与 层 流 边 界 层 对 流 换 热 的 解 ；三 、 边 界 层 积 分 方 程 组 与 层 流 边 界 层 对 流 换 热 的 积 分 近 似 解 ； L o

30、 g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering二 维 、 稳 态 、 层 流 、 无 内 热 源 的 边 界 层 换 热 微 分 方 程 组 ：连 续 性 方 程动 量 守 恒 方 程能 量 守 恒 方 程 0 yvxu 22t t tu v ax y y 2 21t t dp uu vx y dx y L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering式 中 ： xhNu xx 努 塞 尔 (Nusselt)数xu x Re 雷 诺 (Reynolds)数aP

31、r 普 朗 特 数 一 定 要 注 意 上 面 准 则 方 程 的 适 用 条 件 ：稳 态 、 无 内 热 源 、 层 流 ！ L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering5. 与 t 之 间 的 关 系对 于 外 掠 平 板 的 层 流 流 动 : 22y taytvxtu 此 时 动 量 方 程 与 能 量 方 程 的 形 式 完 全 一 致 :0 , dxdpconstu 22 yuyuvxuu 动 量 方 程 ： L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction E

32、ngineering表 明 ： 此 情 况 下 动 量 传 递 与 热 量 传 递 规 律相 似 。特 别 地 ： 对 于 = a 的 流 体 （ Pr=1） ，速 度 场 与 无 量 纲 温 度 场 将 完 全 相 似 ， 这 是Pr=1的 另 一 层 物 理 意 义 ： 表 示 流 动 边 界 层和 温 度 边 界 层 的 厚 度 相 同 。 L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineeringxx Re0.5 21, Re332.0 xxfcv外 掠 平 板 ， 边 界 层 厚 度 及 局 部 摩 擦 系 数 Cf， x：

33、1 11 13 32 20.332Re Pr 0.664Re Prx x xh x hlNu Nu 31Pr/ xt L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering边 界 层 能 量 积 分 方 程 为 ：0 0( )t yd tu t t dy adx y 用 类 似 的 方 法 可 以 导 出 边 界 层 动 量 积 分 方 程 为 ： 0 0( )t yd uu u u dydx y 两 个 方 程 ， 4个 未 知 量 ： u, t, , t 。 要 使 方 程 组 封 闭 ，还 必 须 补 充 两 个 有 关 这

34、 4个 未 知 量 的 方 程 。 这 就 是 关 于 u 和 t 的 分 布 方 程 。 L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering xxorux Re64.464.4 X处 的 局 部 壁 面 切 应 力 为 ： xyw uxuudydu Re323.064.4123 20 L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering在 工 程 中 常 使 用 局 部 切 应 力 与 流 体 动 压 头 之 比 这 个 无 量纲 量 ， 并 称 之 为 范

35、宁 摩 擦 系 数 ， 简 称 摩 擦 系 数 。21 2 Re646.021 xwf uc 21Re292.1 xfmc平 均 摩 擦 系 数 ： L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering上 面 求 解 动 量 积 分 方 程 获 得 的 是 近 似 解 ， 而 求 解动 量 微 分 方 程 可 以 获 得 的 精 确 解 ，分 别 为 ： fcandx xx Re0.5 21Re664.0 xfc 21Re646.0 xfcxx Re64.4 可 见 二 者 非 常 接 近 ！ L o g o建 筑 工 程 系 The Department of Construction Engineering 1 11 13 32 20.332Re Pr 0.664Re Prx x xh x hlNu Nu 平 均 努 塞 尔 数 ： 感 谢 所 有 资 料 原 始 持 有 人 的 辛 勤 劳 动 ！ 部 分 资 料 从 网 络 收 集 整理 而 来 ， 供 大 家 参 考 ，感 谢 您 的 关 注 ！