数学分析课件 一致收敛函数列与函数项级数的性质

《数学分析课件 一致收敛函数列与函数项级数的性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学分析课件 一致收敛函数列与函数项级数的性质（31页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 2 一 致 收 敛 函 数 列 与函 数 项 级 数 的 性 质 一 致 收 敛 性 的 重 要 性 在 于 可 以 将 通项 函 数 的 许 多 解 析 性 质 遗 传 给 和 函 数 ，如 连 续 性 、 可 积 性 、 可 微 性 等 ， 这 在理 论 上 非 常 重 要 . 定 理 13.8 ( 极 限 交 换 定 理 ) 设 函 数 列 nf 在 0 0( , ) ( , )a x x b ( )f x上 一 致 收 敛 于 , 且 对 每 个 n, 0lim ( ) ,n nx x f x a lim nn a则 和 0lim ( ) .x x f x 均 存 在 且 相 等 即

2、 0 0lim lim ( ) lim lim ( ). (1)n nx x n n x xf x f x na 0 nf证 先 证 是 收 敛 数 列 . 对 任 意 , 由 于 一 致 收 敛 , 故 存 在 正 整 数 N, 当 nN 及 任 意 正 整 数 p, 对 一 切 0 0( , ) ( , )x a x x b 有 | ( ) ( )| .n n pf x f x 从 而 0| | lim | ( ) ( )| .n n p n n px xa a f x f x na lim ,nn a A设于 是 由 柯 西 准 则 可 知 是 收 敛 数 列 ,即 0lim lim (

3、 ) ,nn x x f x A 下 面 证 明 0 0lim ( ) lim lim ( ) .nx x x x nf x f x A 注 意 到 | ( ) |f x A1 1 1 1| ( ) ( )| | ( ) | | |N N N Nf x f x f x a a A 只 需 证 明 不 等 式 右 边 的 每 一 项 都 可 以 小 于 事 先 给 定 的 任 意 正 数 即 可 . ， , 因 此 对 任( )nf x ( )f x na A由 于 一 致 收 敛 于 收 敛 于| ( ) ( )| | |3 3n nf x f x a A 和同 时 成 立 . 特 别 当 1

4、n N 时 , 有, 有 0( , )x b 0意 n N, 存 在 正 数 , 当 时 , 对 任 意 0( , )x a xN 1 1| ( ) ( )| | |3 3N Nf x f x a A 和 0 1 1lim ( ) ,N Nx x f x a 0 又 因 为 故 存 在 , 当00 | |x x 时 ,也 有1 1| ( ) | .3N Nf x a 0, 0 ,x x x 这 样 当 满 足 时 1 1 1| ( ) | | ( ) ( )| | ( ) |N N Nf x A f x f x f x a 1| | ,3 3 3Na A 这 就 证 明 了 0lim ( )

5、.x x f x A定 理 指 出 : 在 一 致 收 敛 的 条 件 下 , ( )nf x 中 关 于 独 立 变 量 x 与 n 的 极 限 可 以 交 换 次 序 , 即 (1)式 成 立 . , ( ) ( , )nf x a b类 似 地 若 在 lim ( )nx a f x上 一 致 收 敛 , 且存 在 , 则 有 lim lim ( ) lim lim ( );n nn nx a x af x f x( ) ( , ) lim ( ) ,n nx bf x a b f x若 在 上 一 致 收 敛 ,且 存 在 则 有 lim lim ( ) lim lim ( ).n n

6、n nx b x bf x f x 定 理 13.9 (连 续 性 ) 若 函 数 列 nf 在 区 间 I上 一 致 收 敛 , 且 每 一 项 都 连 续 , 则 其 极 限 函 数 f 在 I 上 也 连 续 . 证 00 0. lim ( ) ( ),n nx xx I f x f x设 为 上 任 一 点 由 于 于 是 由 定 理 13.8 知 0lim ( )x x f x 也 存 在 , 且 0 0 0lim ( ) lim ( ) ( ),nx x nf x f x f x0( ) .f x x因 此 在 上 连 续定 理 13.9可 以 逆 过 来 用 : 若 各 项 为

7、连 续 函 数 的 函 数 列 在 区 间 I 上 其 极 限 函 数 不 连 续 , 则 此 函 数 列 在 区 间 I 上 一 定 不 一 致 收 敛 . nx ( 1,1例 如 : 函 数 列 的 各 项 在 上 都 是 连 续 的 , 但 其 极 限 函 数 0, 1 1,( ) 1, 1 xf x x 1x 在 时 不 连 nx ( 1,1续 , 所 以 在 上 不 一 致 收 敛 . nf , a b定 理 13.10 (可 积 性 ) 若 函 数 列 在 上 一 致 收 敛 , 且 每 一 项 都 连 续 , 则 lim ( ) d lim ( ) d . (3)b bn na

8、an nf x x f x x nf , a b证 设 为 函 数 列 在 上 的 极 限 函 数 . 由 定 理 f , a b ( 1,2, )nf n f13.9知 在 上 连 续 , 从 而 与 在 f , a b 上 都 可 积 . 于 是 (3)变 为lim ( ) d ( ) d . (3 )b bna an f x x f x x , ,na b f f因 为 在 上 一 致 收 敛 于 0 故 对 于 任 意 , 存 在 , , , ,N n N x a b 当 时 对 一 切 都 有| ( ) ( )| .nf x f x 再 根 据 定 积 分 的 性 质 , 当 时 有

9、n N ( ) ( ) d ( ( ) ( ) db b bn na a af x f x x f x f x x( ) ( ) d ( ),b na f x f x x b a 这 就 证 明 了 等 式 (3 ).这 个 定 理 指 出 : 在 一 致 收 敛 的 条 件 下 , 极 限 运 算 与积 分 运 算 的 顺 序 可 以 交 换 . 12 , 0 ,21 1( ) 2 2 , , 1,2, .210, 1,nn n nn x x nf x n x x nn nxn (其 图 象 如 图 13 6所 示 ). ( )nf x 0,1显 然 是 上 的连 续 函 数 列 , 且 对

10、 任 意0,1x lim ( ) 0.nn f x, 例 1 设 函 数 13 6图y 1nf12n 1nn xO 0,1sup | ( ) 0|n nx f x 又 ( ) 0,1nf x 在, 因 此 上 一 致 收 敛 于 0 的 充 要 条 件 是 . 0( )n n 10 ( )d ,2nnf x x n 1 10 0( )d ( )d 0nf x x f x x 又 因 故lim 02nn n 1 ,n 这 样 ,当 时的 充 要 条 件 是 . 虽 然 ( )nf x ( )f x不 一 致 收 敛 于 , 但 定 理 13.10 的 结 论 仍 ( )nf x ( ).f x成

11、 立 . 但 当 时 , 不 一 致 收 敛 于n n 10 1( )d 2nf x x同 时 10 ( )d 0.f x x也 不 收 敛 于 d dlim ( ) lim ( ). (4)d dn nn nf x f xx x ( )nf x ( )f x例 1说 明 当 收 敛 于 时 , 一 致 收 敛 性 是 极 限 运 算 与 积 分 运 算 交 换 的 充 分 条 件 , 不 是 必 要 条 件 . nf , a b定 理 13.11(可 微 性 )设 为 定 义 在 上 的 函 数 列 , 0 , x a b nf nf , a b若 为 的 收 敛 点 , 的 每 一 项 在

12、 nf , a b上 有 连 续 的 导 数 , 且 在 上 一 致 收 敛 , 则 0lim ( ) ,nn f x A 设 g nf , a b证 为 在 上 极 限 函 数 , nf , a b下 面 证 明 函 数 列 在 区 间 上 收 敛 , 且 其 极 限 函 数 的 导 数 存 在 且 等 于 g. 00( ) ( ) ( )d .xn n nxf x f x f t t , ,n A当 时 右 边 第 一 项 极 限 为 第 二 项 极 限 为,于 是 0 ( )d .xx g t t f 所 以 上 式 左 边 极 限 存 在 , 记 为0( ) lim ( ) ( )d

13、.xn xnf x f x A g t t 由 g 的 连 续 性 及 微 积 分 学 基 本 定 理 得.f g这 就 证 明 了 等 式 (4). 由 定 理 条 件 , 对 任 一 总 有 , ,x a b 0 x nf注 请 注 意 定 理 中 的 条 件 为 的 收 敛 点 的 作 用 . , a b nf在 定 理 的 条 件 下 , 还 可 推 出 在 上 函 数 列 一 致 收 敛 于 f , 请 读 者 自 己 证 明 . 与 前 面 两 个 定 理 一 样 , 一 致 收 敛 是 极 限 运 算 与 求 导 运 算 交 换 的 充 分 条 件 , 而 不 是 必 要 条 件

14、 , 请 看 下 例 . 例 2 函 数 列 2 21( ) ln(1 ), 1,2,2nf x n x nn 与 2 2( ) , 1,2,1n nxf x nn x 在 0,1上 都 收 敛 于 0, 由 于0,1 1limmax | ( ) ( )| ,2nn x f x f x ( ) 0,1 ,nf x所 以 导 函 数 列 在 上 不 一 致 收 敛 但 有lim ( ) 0 lim ( ) .n nn nf x f x 在 上 述 三 个 定 理 中 , 我 们 都 可 举 出 函 数 列 不 一 致 收 敛 但 定 理 结 论 成 立 的 例 子 . 在 今 后 的 进 一 步

15、 学 习 中 (如 实 变 函 数 论 )将 讨 论 使 上 述 定 理 成 立 的 较 弱 条 件 , 但 在 目 前 情 况 下 , 只 有 满 足 一 致 收 敛 的 条 件 , 才 能 保 证 定 理 结 论 的 成 立 . 下 面 讨 论 定 义 在 区 间 , a b 上 函 数 项 级 数 1 2( ) ( ) ( ) (5) nu x u x u x的 连 续 性 、 逐 项 求 积 与 逐 项 求 导 的 性 质 , 这 些 性 质可 根 据 函 数 列 的 相 应 性 质 推 出 . 定 理 13.12(极 限 交 换 定 理 、 连 续 性 定 理 ) ( )nu x 0

16、( )U x1. 若 函 数 项 级 数 在 一 致 收 敛 , 且 对 , 0lim ( )n nx x u x a 每 个 , 则 有 n 0 0lim ( ) lim ( ) .n n nx x x xu x u x a (6)( )nu x , a b2. 若 区 间 上 一 致 收 敛 , 且 每 一 项 都 连 续 , 则 其 和 函 数 在 , a b 上 也 连 续 . , a b 0 , x a b在 上 每 一 项 都 有 连 续 的 导 函 数 , 为 定 理 13.13 (逐 项 求 积 定 理 ) 若 函 数 项 级 数 ( )nu x( ) d ( ) d . (7

17、)b bn na au x x u x x 定 理 13.14 (逐 项 求 导 定 理 ) 若 函 数 项 级 数 ( )nu x( )nu x ( ) , nu x a b 在的 收 敛 点 , 且 上 一 致 收 敛 , 则 d d( ) ( ) . (8)d dn nu x u xx x , a b ( )nu x上 一 致 收 敛 , 且 每 一 项 都 连 续 , 则 在 定 理 13.13 和 13.14 指 出 , 在 一 致 收 敛 条 件 下 , 逐 项 求 积 或 求 导 后 求 和 等 于 求 和 后 再 求 积 或 求 导 . 注 本 节 六 个 定 理 的 意 义

18、不 只 是 检 验 函 数 列 或 函 数 项 级 数 是 否 满 足 关 系 式 (2)(4), (6)(8), 更 重 要 的 是 根 据 定 理 的 条 件 , 即 使 没 有 求 出 极 限 函 数 或 和 函 数 , 也 能 由 函 数 列 或 函 数 项 级 数 本 身 获 得 极 限 函 数 或 和 函 数 的 解 析 性 质 . 例 3 设 2 231( ) ln(1 ). 1,2,nu x n x nn ( )nu x 0,1证 明 函 数 项 级 数 在 上 一 致 收 敛 , 并 讨 论 和 函 数 在 0,1上 的 连 续 性 、 可 积 性 与 可 微 性 . ( )

19、nu x 0,1证 对 每 一 个 n, 易 见 为 上 的 增 函 数 , 故 有 231( ) (1) ln(1 ), 1,2, .n nu x u n nn 21 , ln(1 ) ,t t t 又 当 时 有 不 等 式 所 以 23 3 21 1 1( ) ln(1 ) , 1,2, .nu x n n nn n n 21 ( )nu xn收 敛 级 数 是 的 优 级 数 , 因 此 级 数 ( )nu x 0,1在 上 一 致 收 敛 . ( )nu x 0,1由 于 每 一 个 在 上 连 续 , 根 据 定 理 13.12与 ( )nu x ( )S x 0,1定 理 13.

20、13知 的 和 函 数 在 上 连 续 且 可 积 . 又 由 2 2 22 2 1( ) , 1,2, ,(1 ) 2n x xu x nn n x n nx n 21 ( )nu xn即 也 是 的 优 级 数 , ( )nu x 0,1故 在 上 一 致 收 敛 . 由 定 理 13.14, 得 知 ( )S x 在 0, 1上 可 微 . *例 4 确 定 函 数 项 级 数 1 1 nn x n 的 收 敛 域 并 讨 论 和 函 数 的 连 续 性 . 解 首 先 利 用 连 续 性 定 理 (或 极 限 交 换 定 理 )建 立 一 个 ( )nu x , )a b判 别 法 :

21、 若 函 数 项 级 数 的 每 一 项 在 上 有 定 义 , 且 , ( )nn u x a(i) 在 点 右 连 续 ;( , )x a b ( )nu x(ii) 收 敛 ; , (iii) 级 数 ( )nu a 发 散 , ( )nu x ( , )a b则 在 上 不 一 致 收 敛 .( )nu x ( , )a b理 由 是 , 如 果 在 上 一 致 收 敛 , 则 由 (i) lim ( ) ( )n nx a u x u a , 及 极 限 交 换 定 理 得 lim ( ) lim ( ) ( )n n nx a x au x u x u a 与 ( )nu a 发

22、散 矛 盾 . 这 就 证 明 了 上 述 判 别 法 . 对 函 数 项 级 数 1 1 nn x n , 用 根 式 判 别 法 求 出 其 收 1 1 | |n nx x xn n ( )n敛 域 . 因 为 , 所 | | 1x | | 1x 以 当 时 级 数 收 敛 , 时 级 数 发 散 . 而 当 1x 1 11 nn n 11 e 0nn 级 数 的 一 般 项 , 发 1x 1 11 nn n 11 nn 散 ; 当 时 , 级 数 的 一 般 项1( 1) 1 0nn n , 也 发 散 . 因 此 这 个 级 数 的 收( 1, 1).敛 域 为( 1,1) 1 1(

23、) ,nnf x x n 设 在 上 1( ) nnu x x n 1x 1x 因 为 在 和 处 分 别 为 左1 11 nn n 1 11 nn n 连 续 和 右 连 续 , 而 级 数 和 发 散 ,故 根 据 本 例 第 一 段 的 判 别 法 , 知 道 1 1 nn x n 在 ( 1,1) 上 不 一 致 收 敛 . 这 说 明 不 能 用 连 续 性 定 理 得 ( 1,1) ( 1,1)出 和 函 数 在 上 连 续 . 是 否 和 函 数 在 上就 不 连 续 了 ? 下 面 继 续 讨 论 . 0 ( 1,1)x 0 1c 0 ( , )x c c 对 , , 使 得

24、, 当 | |x c 时 , 有 1 1n nx cn n 1 1 nn c n , 而 级 数 收 敛 , 根 据 1 1 nn x n , c c优 级 数 判 别 法 , 知 在 上 一 致 收 敛 , 根 据 函 数 项 级 数 连 续 性 定 理 , 得 到 和 函 数 ( )f x 在 , c c ( )f x 0 ( , )x c c 0 x上 连 续 , 于 是 在 连 续 . 由 ( 1,1) 1 1 nn x n 在 上 的 任 意 性 , 推 得 级 数 的 和 函 ( )f x ( 1,1)数 在 上 连 续 . 注 上 述 利 用 开 区 间 的 “ 内 闭 ” 一

25、致 收 敛 来 得 出 和函 数 连 续 性 方 法 是 函 数 项 级 数 中 一 个 典 型 的 解 题 方 法 , 请 读 者 关 注 . 复 习 思 考 题1. 如 何 利 用 一 致 收 敛 的 性 质 来 判 别 函 数 列 或 函 数项 级 数 不 一 致 收 敛 ? (例 4已 经 给 出 了 一 个 方 法 , 其 他 请 自 行 总 结 ） , ( )nn u x , a b2. 如 果 对 每 个 是 区 间 的 单 调 函 数 ,是 ( )nu a ( )nu b否 可 以 根 据 级 数 和 的 收 敛 性 , 得 到( )nu x , a b函 数 项 级 数 在 上 的 一 致 收 敛 性 ? 3. 请 举 出 函 数 项 级 数 的 例 子 , 说 明 一 致 收 敛 只 是可 以 进 行 逐 项 积 分 和 逐 项 微 分 运 算 的 充 分 条 件 而 不是 必 要 条 件 。