高三文科培优专题—三角函数

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1、2012届高三文科培优材料-三角函数 【考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数 (正弦、余弦、正切）的定义. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2, 的正弦、余弦、正切的诱导公式;理 解同角的三角函数的基本关系式:sin 2x+cos2x=1, sintacox. 3.能画出 y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函 数在区间0,2 上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与 x 轴的交点等),理解正切函数 在区间(- 2, )内的单调性. 4.了解函数 sin()yAx的物

2、理意义；能画出 sin()yA的图象，了解, 对函数图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正 弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能 运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组 公式不要求记忆). 【考点预测】 从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性 质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、 sin()yAx 的性质、三角函数与向量等其他知识综

3、合及三角函数为背景的实际问题等. 预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题 将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合， 以小型综合题形式出现. 【要点梳理】 1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关 系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及 其变形公式. 2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想: sinco, sinco,sinc三者中,知一可求二; (2)“1”的替换: 221;(3)切弦互化:弦的齐次式可化为切； (

4、4)角的替换: ()(), ()2; (5)公式变形: 2coscs, 2cosin,tanttan()1ta) ; (6)构造辅助角(以特殊角为主): 2sincossin()ta)babab. 3.函数 sin()yAx的问题: (1)“五点法”画图:分别令 0、 2、 、 3、 2，求出五个特殊点； (2)给出 si()yx的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是 ,一般从“五点法” 中取靠近 轴较近的已知点代入突破; (3)求对称轴方程:令 2k()Z, 求对称中心: 令 xk()Z; (4)求单调区间:分别令 x2k();2kx32k() ,同时注意 A、 符号. 4.解三角形: (

5、1)基本公式:正弦、余弦定理及其变形公式；三角形面积公式； (2)判断三角形形状时，注意边角之间的互化. 【考点在线】 考点 1 三角函数的求值与化简 此类题目主要有以下几种题型：考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三 角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法. 考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值 故 f(x)的定义域为 .Z,2|Rkx （）由已知条件得 .5431cos1sin 2aa 从而 )2sin(4 co1)(af acos4 sin aacosin2cosin21 .514)sin(co2a 【名师点睛】本小题主要考查三角

6、函数的定义域和两角差的公式，同角三角函数的关系等基 本知识，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识. 【备考提示】：熟练掌握三角函数公式与性质是解答好本类题的关键. 练习 1: （2011 年高考福建卷文科 9)若 （0， 2） ，且 2sin1cos4，则tan 的值等于( ) D A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 【解析】因为 （0， ） ，且 sin1cos4，所以 2sin221cosin4, 即 21cos4,所以 cos= 12或 (舍去),所以 3,即 ta3,选 D. 考点 2 考查 in()yAx的图象与性质 考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型.此类题目要

7、求考生在熟练掌握三 角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用，会用数形结合的思想来解题. 【备考提示】：三角函数的图象及性质是高考考查的热点内容之一,熟练其基础知识是解答 好本类题的关键. 练习 2.(2011 年高考江苏卷 9)函数 ,()sin()(wAxxf是常数， )0,w的 部分图象如图所示，则 _)0(f 【答案】 62 【解析】由图象知：函数 ()sin()fxAwx的周期为 74()123，而周期 2Tw， 所以 w，由五点作图法知： 23，解得 ，又 A= ，所以函数()2sin()3fxx ，所以 (0)f6sin2. 考点 3 三角函数与向量等知识的综合 三角函数与平

8、面向量的综合,解答过程中,向量的运算往往为三角函数提供等量条件. 例 3.（2009 年高考江苏卷第 15 题） 设向量 (4cos,in),(si,4co),(s,4in)ab （1）若 与 2b垂直，求 ta的值； （2）求 |的最大值; （3）若 ta16，求证： . 【解析】 【名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍 角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力. 【备考提示】：熟练三角公式与平面向量的基础知识是解决此类问题的关键. 练习 3.（天津市十二区县重点中学 2011 年高三联考二理） （本小题满分 13 分） 已知向量

9、2(3sin,1)(cos,)44xxm， (fxmn （I）若 )f,求 值； （II）在 ABC中，角 ,的对边分别是 ,abc，且满足 (2)cosaBbC， 求函数 (f的取值范围. 【解析】 （I） ()fxmn23sicos44xx -1 分 = 31sincos22 -3 分 = ()6x -4 分 1f 1si()6x 2cos()1sin()36xx= 1-6 分 （II） 2coaBbC， 由正弦定理得 ininAB -8 分 sissic ()- -9 分 AC i，且 si0A 1cos,2B 0 3 -10 分 3 -11 分 ,sin()1626AA -12 分 1

10、1sin()2 f1sin()26A3(,)2 -13 分 考点 4. 解三角形 解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化. 例 4. (2011 年高考安徽卷文科 16) 在 ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边长， a= 3，b= 2， 1cos()0BC，求边 BC 上的高. 【解析】ABC180，所以 BCA， 又 1cos()0， 2(18)， 即 2A， cs，又 0A180，所以 A60. 在ABC 中，由正弦定理 siniabAB得 sin2si60i3ba ， 又 ba，所以 BA，B45，C75， BC 边上的高 AD

11、ACsinC 2i75si(4)2(sin45co30s4n30)1)2 . 【名师点睛】本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系， 利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对 来源：高考资源网 高考资源网() 应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力. 【备考提示】：解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定 理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可. 练习 4. （2011 年高考山东卷文科 17)在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已 知 cosA-2Cc-a=Bb. (1)求 in的值； (2

12、)若 cosB= 14， 5b的 周 长 为 ， 求 的 长 . 【解析】(1)由正弦定理得 2sin,aRAsi,B2sin,cRC所以cosA-2Cc-=Bb = iB,即insinosicosicC ,即有 si()2sin()ABC,即s2 ,所以 iA=2. (2)由(1)知 sinC=2,所以有 2a,即 c=2a,又因为 C的周长为 5,所以 b=5-3a,由余弦 定理得： 22cosbcaB ，即 2221(53)(4a，解得 a=1，所以 b=2. 【历年高考再现（2009-2011） 】 1、 （2011）在 ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边长，a=

13、 3，b= 2，2cos()0C ，求边 BC 上的高. 解：ABC180，所以 BCA，又 12cos()0， 1cs(8)， 即 2o0A， 1cs2，又 0A180，所以 A60. 在ABC 中，由正弦定理 siniabAB得 sin2si60i3ba ， 又 ba，所以 BA，B45，C75， BC 边上的高 ADACsinC 2i75si(4)2(sin45co30s4in30)23132 2、 （2011）已知函数 ()4cosin()16fxx.（1）求 ()fx的最小正周期； （2）求 ()fx在区间 ,6上的最大值和最小值。 解：（1） 2sin()x，函数 ()fx的最小正

14、周期为 ； （2） 63，当 2即 6时，函数 ()fx取得最大值 2； 当 x即 6x时，函数 ()fx取得最小值 1； 3、 （2011）已知等比数列 na的公比 3q，前 3 项和 3S () 求数列 n的通项公式；() 若函数 ()sin(2)0,)fxA在6x 处取得最大值，且最大值为 3，求函数 的解析式 解：()由 31,qS得 a，所以 2n； ()由()得 a，因为函数 ()fx最大值为 3，所以 A， 又当 6x时函数 ()fx取得最大值，所以 si()1，因为 0，故 6， 所以函数 f的解析式为 n26f。 4、 （2011）设函数 f( ) sin cos ，其中，角

15、 的顶点与坐标原点重合，始边与3 x 轴非负半轴重合，终边经过点 P(x， y)，且 0 。 （）若 P 的坐标是( ， )，求 f( )的值； 12 （）若点 P(x， y)为平面区域 上的一个动点，试确定角 的取值范围，并求函 x y 1x 1 y 1 ) 数 f( )的最小值和最大值。 解：（） f( )2；（） 0 时 f( )min1， 时 f( )min2。 p3 5、 （2011） ()sin,36fxxR已 知 函 数 5()4求 的 值 ;1(2),0, ,(2,cos)2ff设 求 的 值 . .65143512sincos)cos( .54sin,20,cos,62)in

16、(23 ;31cs,0,135sin,130s)() .4)65in(41: ff解 6 （2011）已知函数 12sin36fxx ， R （1）求 0f的值； （2）设 0,0, ,f62,5f 求 sin的值 解：（1） ()2sin()2sin16f （2） 201(3)si(3)si,2266nn()2cos5sin,cos,1351i,34sincos55312463()incosin5f 7、 （2011）设 ABC的内角 、 所对的边分别为 cba、 .已知 1a， 2b，41cos . （）求 的周长；（）求 CAcos的值. 解：（） 4122 abc 2 ABC的周长为

17、51c. （） 4cos， 415ossin22C， 8152siincCaA ca， A,故 为锐角， 7si1os 2 CAcCAsinco164581. 8、 （2011）在 ABC中，角 ,所对的边分别为 ,abc且满足 sincos.AaC （I）求角 的大小；（II）求 3sinco()4AB的最大值，并求取得最大值时角, 的大小 解：（I）由正弦定理得 sisi.CC 因为 0,A所以 n0.ncos0,tan1,4C从 而 又 所 以 则 （II）由（I）知 34BA于是 3sinco()sinco()s2().610,46623AA 从 而 当 即 时2sin() 取最大值

18、2 综上所述， 3sico()4AB的最大值为 2，此时 5,.312AB 9、 （2011）在ABC 中，角 A、B、C 所对应的边为 cba, （1）若 ,cs2)6sin( 求 A 的值； （2）若 c,os，求 Csin的值. 解： （1） i()o,in3c,0,tan3,03AA （2）在三角形中, 2221cs, cos8babc 由正弦定理得： 2siniAC，而 2sin1,31in3C.（也可以先推 出直角三角形） (也能根据余弦定理得到 2cos,0si3) 10、 （2011）在 AB中，角 、 、 的对边分别是 a， b， c，已知2sin1cosinCC . （1）

19、求 i的值；（2）若 8)(42ba，求边 的值. 解：（1）由已知得 2sin1si21cos2inCC，即0)sco2(sinC ，由 0n得 01ico 即 1，两边平方得： 432si （2）由 2csi知 cC，则 2，即 C，则由43sinC 得 47o 由余弦定理得 728cos22Cabc，所以 17c. 11、 （2011）在 AB中， ,的对边分别是 ba,，已知 CbBcAaosos3. （1）求 cos的值；(2)若 cos,1Ba，求边 的值 解：（1）由 Cbcs3正弦定理得： )sin(iosinsiCA及： Asincosi3 所以 co。 （2）由 32csB

20、， 32cos)cos(CA展开易得： 6inincosCC， 正弦定理： 23sinicAa 12、 （2011） ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， asinAsinB+bcos2A= a （I）求 ；（II）若 c2=b2+ 3a2，求 B 解：（I）由正弦定理得， 2sinicosinA，即22sin(co)BA 故 ,2.ba所 以 6 分 （II）由余弦定理和 22(13)3,cos.2baBc得 由（I）知 2,ba故 22().c 可得 212cos,cos0,cs,45BB又 故 所 以 12 分 13、 （2011） ABC 的内角 A、B

21、、C 的对边分别为 a、b、c.已知 A-C=90， ac2b， 求 C. 解：由 A-C=90，得 A=C+90 ()902C（事实上 045） 由 2acb，根据正弦定理有：sinsin(90)sini()ACB 即 22coco)cosin)(cosin)cCCCsi0 1n2os(45),s(45),60,1522C 14、 （2011） AB的内角 C、的对边分别为 abc、.己知sicisiin,aabB ()求 B；（）若 75,2.ac求 解：()由正弦定理 siisiin,ACbB可变形为22acb ，即 2cbc，由余弦定理2osaB 又 (0,),所以 4 （）首先 26

22、sini(530).4A 3sini60.2C 由正弦定理 si 1.n2baB，同理 sin6.2bcB 15、 （2011）在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 osA-cC-a=b. （1）求 sinCA的值； （2）若 cosB= 14， 2,求 AC的面积. 解：（）由正弦定理得 2sin,aRAsi,bB2sin,cRC所以cosA-2Cc-=Bb = iB, 即 insinoscosicC,即有 si()2sin()ABC, 即 s2,所以 iA=2. （）由（）知: snca=2,即 c=2a,又因为 2b,所以由余弦定理得：22obcB ，即 22

23、144aa,解得 ,所以 c=2,又因为 cosB= 14，所以 sinB= 15，故 AC的面积为 sin2cB154= . 16、 （2011）在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 cosA-C2c-aBb. （）求 sinCA的值； （）若 cosB= 14， 5的 周 长 为 ， 求 的 长 . 解：（）由正弦定理得 2sin,aRsi,bB2sin,cR所以cos-2c-=Bb = iAB, 即 insinoscosicAC,即有 si()2sin()ABC, 即 s2C,所以 i=2. （）由 in得 2c， 1s4B， 222cos4baa ba，又

24、5b得 ,a 17、 （2011）叙述并证明余弦定理 解：叙述:余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角 的余弦之积的两倍。或：在ABC 中，a，b，c 为 A，B，C 的对边，有22cosabA ， 22cosa， 22cosabC. 证明：（证法一） 如图， B 22CcosAA 22b 即 22cosabA 同理可证 caB， 22cosabC （证法二）已知 ABC中， ,所对边分别为 ,c，以 为原点， AB所在直线为x 轴建立直角坐标系，则 (cosin),(0bA， 2222222|(s)coscssinabbcobA ， 即 22cosb 同理可证

25、 aB， 22cscbC 18、 （2011）已知函数 73()sin)o()44fxx， xR （）求 ()fx的最小正周期和最小值； （）已知 4cos5， cos()5， 02，求证： 2()0f 解：（） 7733()inincossin444fxxxx2sincs2() ， ()f的最小正周期 T，最小值 min()2fx （）证明：由已知得 ocsis5， cssi5 两式相加得 cs0， 2， o0，则 2 22()4inf 19、 （2011）已知函数 23sincs1fxxxR （）求函数 f的最小正周期及在区间 0,上的最大值和最小值 （）若 065fx， 0,42求 0c

26、osx的值 解：（）由 23sin1fx得232sico3sincos2in6fxxxx 所以函数的最小正周期为 2T因为 0,2x，所以 7,6x 所以 2,6x，即 0,6x时，函数 f为增函数，而在 ,2时，函数f 为减函数，所以 2sinf为最大值， 72sin16f为最小值 （）由（）知， 00i6fxx，又由已知 05fx， 则 03sin265x 因为 0,4，则 027,63x，因此 0cos26x， 所以 0cos25x，于是 00cosx，00sin2in6643143520 20、 （2011）在 ABC中， cosB （）证明： BC （）若 1cos3求 in43的值

27、 解：（）在 中，由 cosABC及正弦定理得 sincoC， 于是 sincosin0BC，即 in0， 因为 0， ，则 ， 因此 ，所以 （）由 A和（）得 2，所以1cos2s2cos3BA ， 又由 C知 0，所以 inB 42sin42icos9BB227cos4si9 所以 4273sin4sin4cosin33318BB 21、 （2011）已知函数 2()sicos24fxxx， ,42 （）求 ()fx的最大值和最小值； （）若不等式 ()2fm在 ,42x上恒成立，求实数 m 的取值范围 解：（） ()1cos3cos1in23cosfxxx 12sin3 3 分 又 ,

28、4x ， 263x ，即 12sin3x ，maxmin()3,()ff 7 分 （） 2()()2ffxfx ， ,4，9 分max()f 且 minf， 1 ，即 m的取值范围是 (1,4)14 分 22、 （2011）已知函数 ()s()3xAx， R， 0A， 2 ()yfx的 部分图像，如图所示， P、 Q分别为该图像的最高点和最低点，点 P的坐标为 ,A （）求 ()fx的最小正周期及 的值； （）若点 R的坐标为 (1,0)， 23R，求 A的 值 解：（）由题意得， 6.3T 因为 (,)sin()PAyx在 的图象上， 所以 sin1.3又因为 02，所以 6 （）设点 Q

29、的坐标为 (,)xA，由题意可知 032x，得 04,(,)xQA所 以 连接 PQ，在 3PR中 ，由余弦定理得 22229(4)1cos .RPQAA 解得 23.A又 0,3.所 以 23、 （2011）设 aR， 2cosincosfxaxx满足 ()3f(0f， 求函数 ()fx在 142上的最大值和最小值 解：（1） sin()6fx； （2）当 ,43x时， ,32，函数 ()fx递增； 当 时， 24x，函数 递减； 所以 ()fx在 1,上的最大值为 ()f 又 3()424f，所以 x在 1,42上的最小值为 1()24f。 24、 （2011）设函数 .()= 3cos(

30、+)() ()求 的最小正周期; ()若函数 的图象按 , 平移后得到函数() =() =(4 32) 的图象,求 在 , 上的最大值.=() =()0 4 解：() 3()sin2)fx，所以函数 ()fx的最小正周期为 ； () ()si()46gfx 由 0,2,63xx， g为增函数，所以 ()gx在 0,4上的最大值为3()4g 。 25 （ 2010 年高考山东卷文科 17）已知函数 （ ）的2()sin)cosfxxx0 最小正周期为 ， （）求 的值； （）将函数 的图像上各点的横坐标缩短到(yf 原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图像，求函数 在区间 上的最小12()ygx(

31、)ygx0,16 值. 解： 因此 1 g（x） ，故 g（x）在此区间内的最小值为 1.2 26 （ 2010 年高考天津卷文科 17）在 ABC 中， 。cosACB （）证明 B=C： （）若 =- ，求 sin 的值。cos1343 解：（）证明：在ABC 中，由正弦定理及已知得 = .于是 sinBcosC-sinCco cosBsinC=0，即 sin（B-C）=0.因为 ，从而 B-C=0. 所以 B=C.B （）解：由 A+B+C= 和（）得 A= -2B,故 cos2B=-cos（ -2B）=-cosA= .13 又 02B ,于是 sin2B= = .21cos3 从而 s

32、in4B=2sin2Bcos2B= ，cos4B= .49227csin9B 所以 。43sin(4)sincoi33318B 27 (2010 年高考北京卷文科 15)已知函数 2()cosinfxx （）求 的值；（）求 的最大值和最小值()3f ()f 解：（） =2()2cosin33f14 （） 1)(cos)xxx 2cs,R 因为 ,所以，当 时 取最大值 2；当 时， 去最小cos1xsx()fxcos0 x()fx 值-1。 28 (2010 年高考江西卷文科 19)已知函数 21cotsinisin4fxxx （1 ）若 ，求 ；（2 ）若 ，求 的取值范围taf ,12f

33、x 解：（1） 2 cos1()sinicosin2cosfxxxx ，1)2 由 得 ，ta22sita4sinco1n5 ， 222it3coisa 所以 3()5f （2）由（1）得 ，1121()sin2cos)sin()42fxxx 由 得 ，所以 ，,x5,4i(), 从而 212()sin()0,fx 29. (2010 年高考浙江卷文科 18)（本题满分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为ABC 的面积，满足 。223()4Sabc （）求角 C 的大小； （）求 的最大值。sinAB 解：() 由题意可知 absinC= ,2abcosC.所

34、以 tanC= .123 因为 0C ， 所以 C= .3 （)由已知 sinA+sinB=sinA+sin( -C-A)=sinA+sin( -A)23 =sinA+ cosA+ sinA= sin(A+ ) .3216 当ABC 为正三角形时取等号， 所以 sinA+sinB 的最大值是 .3 30 (2010 年高考安徽卷文科 16) C的面积是 30，内角 ,AC所对边长分别为 ,abc， 。 ()求 AB；() 若 ，求 a的值。12cos3A1cb 解：（1）根据同角三角函数关系，由 得 的值，再根据 面积公式得2os3AsinB ；直接求数量积 .由余弦定理 ，代入已知条件56b

35、cC 2cosabA ，及 求 a 的值.1c 解：由 ，得 .2os3A215sin()3 又 ， .1in0bc56bc （） .12os43BC （） ，22caA 12()(cos)156()53bA .5 31 （ 2010 年高考上海卷文科 19）已知 ，化简：02x .2lg(costan1si)lgcos()lg(1sin)xx x 解：原式lg(sinxcosx )lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20 32 （ 2010 年高考上海卷文科 22）若实数 、 、 满足 ，则称 比 接近ymymxy .（1）若 比 3 接近 0，求 的取值范围；m2 （2）对任意

36、两个不相等的正数 、 ，证明： 比 接近 ；ab2ab32ab （3）已知函数 的定义域 .任取 ， 等于()fx,DxkZxRxD()f 和 中接近 0 的那个值.写出函数 的解析式，并指出它的奇偶性、最小1sinsi()f 正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）. 解：(1) x(2,2)； (2) 对任意两个不相等的正数 a、b，有 ， ，2ab32aba 因为 ，2 3 2| | |()0ab 所以 ，即 a2bab2 比 a3b3 接近 ；| |2|abab ab (3) ,kZ，1sin,(,)() 1|sin|,xkfx x f(x)是偶函数，f (x)是周期函数，最小正周期

37、T，函数 f(x)的最小值为 0， 函数 f(x)在区间 单调递增，在区间 单调递减，kZ,)2k(,2k 33 （ 2010 年高考辽宁卷文科 17）在 中， 分别为内角 的对边，ABCabc、 、 ABC、 、 且 2sin()sin()sinaAbcb （）求 的大小；（）若 ，试判断 的形状.1 解：（）由已知，根据正弦定理得 cbca)2()(2 即 ， 由余弦定理得bca22 Abos 故 10,cosA （）由（）得 .sinsinisin222 CB 又 ，得 因为 ，isnCB1CB90,0 故 所以 是等腰的钝角三角形。A 34 （ 2010 年高考广东卷文科 16）设函数

38、 ， ， ，3sin6fxx ,x 且以 为最小正周期2 （1 ）求 ；w_w（2）求 的解析式；（3 ）已知 ，求 的值w_w*w.k_s_5 u.c*o*m0ffx 94125fsin 35 （ 2010 年高考全国卷文科 18）已知 的内角 ， 及其对边 ， 满足ABCVab ，求内角 cottabABC 解：由 及正弦定理得coab , , sinssincosin 从而 ，i ico44 .又si()s()AB0A 故 , 所以 .22C 36 （ 2010 年高考全国卷文科 17） 中， 为边 上的一点， ，BD3BD ， ，求 。5sin13B3cos5DC 解：本题考查了同角三

39、角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。 由 与 的差求出 ，根据同角关系及差角公式求出 的正弦，在三角形AAA ABD 中，由正弦定理可求得 AD。 37 （ 2010 年高考四川卷文科 19） （） 证明两角和的余弦公式 ； 1 C:cos()cossin 由 推导两角和的正弦公式 . 2 CSincosi （）已知 ，求431cos,(,)ta,(,)s()5232c() 42.(2009 年广东卷文)已知向量 与 互相垂直，其中,sicob2,0 （1 ）求 和 的值（ 2）若 ， ,求 的值sinc s5)co( 02cos 解：（） , ,即abvQsins0ginco 又 ,

40、 ,即 ,2sico1224c12s524i 又 ,5(0,)sinos (2) 5cos()5(cosins)5cos2in35cos , ,即in22211 又 , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 0cos 38.（ 2009 浙江文）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ，ABC, ,abc25osA （I ）求 的面积； （II）若 ，求 的值3ABC 1 解：（） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5 3)2(1cos2 又 ， ，而 ，所以),0(54inA35cos. bACB ，所以 的面积为：5bcABC241sin2bc （）由（）知 ，而 ，所以5bc 所以

41、 53o2 a 39（ 2009 北京文）已知函数 .（）求 的最小正周期；()sin()cosfxx()fx （）求 在区间 上的最大值和最小值.()fx,62 【解析】 （） ，sincos2incosi2fxxx 函数 的最小正周期为 .()fx （）由 ， ，263x3sin21x 在区间 上的最大值为 1，最小值为 .()fx, 40.（ 2009 江苏卷）设向量 (4cos,in),(si,4co),(s,4in)ab （1 ）若 与 垂直，求 的值； （2 ）求 的最大值; a2bct| （3 ）若 ，求证： .tn16 41.(2009 山东卷文)设函数 f(x)=2 在 处取

42、)0(sinco2sinxxx x 最小值.(1)求 .的值; (2)在 ABC 中, 分别是角 A,B,C 的对边,已知 ,求角 C.cba ,2,1ba3)(Af 解: （1） 1os()2sincsinfxxx sincoixocsinsi()x 因为函数 f(x)在 处取最小值，所以 ,由诱导公式知 ,因为si()11 ,所以 .所以 02()ncs2fxx （2 ）因为 ,所以 ,因为角 A 为 ABC 的内角,所以 .又因为3)(Af 3cos6A 所以由正弦定理,得 ,也就是 ,1basiniabBsin12iba 因为 ,所以 或 .4B3 当 时, ;当 时, .7612C4

43、36412C 42.（ 2009 全国卷文）设ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c， , ，求 B.3cos)cs(Aacb 解析：解：由 cos（A C）+cosB= 及 B= （ A+C）得 cos（A C） cos（A+C ）32 = ，32 cosAcosC+sinAsinC （cosAcosC sinAsinC）= , sinAsinC= .34 又由 =ac 及正弦定理得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2b2sinisnBAC 故 ， 或 （舍去） ，23sin4B3i 3i2 于是 B= 或 B= . 又由 知 或 所 以 B= 。 2baccb3 4

44、3.（2009 安徽卷文） 在 ABC 中，C-A= ， sinB= 。 （I）求 sinA 的值； (II)设 AC= ，求 ABC 的面积。 【解析】 （1） 2cAcB、 42A w.w.w.k.s.5.u.c.o.m sini()(osin)42B 22111icosini3 又 sin0A3 （2）如图，由正弦定理得 siniACB 36sin21ACBsini()sico3163CAB、 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 16sin322SC 44.（ 2009 江西卷文）在 中， 所对的边分别为 ， ，AB, ,abc6A (13)cb （1）求 ；（2）若 ，求 ,

45、， C13abc 解：（1）由 得 (3)2cbsin2BcC 则有 = 55sinsinoi666siC131cot22 得 即 .cot14 （2 ） 由 推出 ；而 ,3BAcos13abC4 即得 ,1ab 则有 解得 213()siniabcAC213abc 45.（ 2009 天津卷文）在 中，BACACsin2i,3,5 （）求 AB 的值。 （）求 的值。)42sin( 【解析】 （1）解：在 中，根据正弦定理， ，于是A BCsini5sinBCAB （2 ）解：在 中，根据余弦定理，得ACB2cos 2 于是 = ，A2cos1sin5 从而 53sinco2s,4ii 2

46、210ico2sin)42sin(A 46.（ 2009 四川卷文）在 中， 为锐角，角 所对的边分别为 ，ABC、 ABC、 、 abc、 、 且 510si,si （I）求 的值；（II）若 ，求 的值。A21ababc、 、 【解析】 （I） 为锐角， B、 50sin,siAB 2 231cos1in,co1i5A502()sisn.BAB 6 分0A4 （II）由（I）知 ， 由 得34C2sinsinisinabcABC ，即 又 5102abc,5abc21 12 分1,5ac 47.（ 2009 湖南卷文）已知向量 (sin,o2sin)(,).b （）若 /ab，求 tn的值

47、； （）若 |,0求 的值。 解：（） 因为 /，所以 2sicsi 于是 4sico，故 1ta.4 （）由 |ab知， 22sin(cosin)5, 所以 12si5. 从而 n(cs2)4，即 si2cos1， 于是 si(2)4.又由 0知， 944， 所以 5，或 724. 因此 2，或 3. 48.（ 2009 辽宁卷文）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的 两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 ， ，于水面 C 处075 测得 B 点和 D 点的仰角均为 ，AC0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点

48、距离相06 等，然后求 B，D 的距离（计算结果精确到 0.01km， 1.414， 2.449） 26 （18）解： 在 中， 30， 60 30，ACACA 所以 CDAC0.1 又 180606060， 故 CB 是 底边 AD 的中垂线，所以 BDBA 在 中， ， BABsinsi 即 AB 206351in6AC 因此， km3.0263BD 故 B、D 的距离约为 0.33km。 12 分 49.（ 2009 陕西卷文） 已知函数 （其中()sin(),fxAxR ）的周期为 ，且图象上一个最低点为 .0,2A 2,3M ()求 的解析式；（）当 ，求 的最值.)fx0,12x(

49、)fx 解析:（1）由最低点为 由(,)3MA得 2T得 由点 在图像上得 即2(,)342sin4sin()13 所以 故4k1()6kZ 又 ，所以 所以(0,)26)si2fx （）因为 ,13x 所以当 时，即 x=0 时，f(x) 取得最小值 1；+ ；,(632xfx当 2即 时 ， 取 得 最 大 值 50.（ 2009 四川卷文）在 中， 为锐角，角 所对的边分别为 ，ABC、 ABC、 、 abc、 、 且 510sin,siA （I）求 的值；（II）若 ，求 的值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21ababc、 、 【解析】 （I） 为锐角， B、 50sin,

50、siAB 2 231cos1in,co1i5A502()sisn.BAB 0 6 分4A （II）由（I）知 ， 3C2sin 由 得sinisinabcABC ，即5102,5ab 又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ab 1 12 分2,5c 51.（ 2009 湖北卷文） 在锐角ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，且Aasin3 ()确定角 C 的大小： （）若 c ,且ABC 的面积为 ,求 ab 的值。723 解（1）由 及正弦定理得， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 32sinacA2siniaACsin0,iACQ 是锐角三角形，B3 （2）解

51、法 1： 由面积公式得7,.c3sin,62abab即 由余弦定理得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 2cos7,73ab即 由变形得 52（ a+b)故 解法 2：前同解法 1，联立、得 2766 消去 b 并整理得 解得42130a2249a或 所以 故 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2或 5b 52.（ 2009宁夏海南卷文）如图，为了解某海域海底构造，在海 平面内一条直线上的 A，B ， C 三点进行测量，已知 ， ，于 A 处测得50ABm120C 水深 ，于 B 处测得水深 ，于 C 处测得水深 ，求DEF 的80Dm20EF 余弦值。 解：作 交 BE 于

52、N，交 CF 于 M /DM ， 22301798FM ，5EN 22() 50BC 在 中，由余弦定理，DF . 222131986cos 5EDF 53.（2009 福建卷文）已知函数 其中 ，()sin),fx0|2 （I）若 求 的值； cos,sin0,44 （）在（I）的条件下，若函数 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，求函数()fx 3 的解析式；并求最小正实数 ，使得函数 的图像象左平移 个单位所对应的函()fxm()fxm 数是偶函数。 解法一：（I）由 得3cossin044cossin04 即 又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m cs()0|,2 （）由（I

53、）得， 依题意，(si)fx23T 又 故2,T3,)n(34x 函数 的图像向左平移 个单位后所对应的函数为()fxm()sin()4gxm 是偶函数当且仅当 即g3()42kZ312kZ 从而，最小正实数 12 54.（ 2009 重庆卷文）设函数 的最小正周期为22()sincos)cs(0)fxxx （）求 的最小正周期 （）若函数 的图像是由 的图像向右23(yg(yfx 平移 个单位长度得到，求 的单调增区间()ygx 解：（） 来源：高考资源网 高考资源网() 2222()sincos)csincosin12cosfxxxxx2i()4 依题意得 ，故 的最小正周期为 . w.w

54、.w.k.s.5.u.c.o.m 3 32 （）依题意得: 5()2sin()sin(3)244gxxx 由 5234kkZ 解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 7()12x 故 的单调增区间为: ()yg7,()3412kkZ 55.（ 2009 上海卷文） 已知 ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量 ，(,)mab ， .sin)BA(2,)pba （1 ）若 / ，求证：ABC 为等腰三角形； （2）若 ，边长 c = 2，角 C = ，求 ABC 的面积 .m3 证明：（1） /,sini,aAbB uvQ 即 ，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 abR ab 为等腰三角形ABC 解（2）由题意可知 /0,(2)()0mpabuv即ab 由余弦定理可知， 224()3ab2()30即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1)ab舍 去1sin4si32SC