yz第二章_开放式光腔和高斯光束

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1、第 一 章 回 顾 r1 r2mediumenergy source激 光 特 性 :1、 方 向 性 /空 间 相 干 性2、 单 色 性 /时 间 相 干 性3、 高 亮 度 （ 提 高 功 率 ） 激光器的主要组成部分 :1、激光工作物质2、激光谐振腔3、激励能源强 相 干 光 ； 极 高 的光 子 简 并 度 1、激光工作物质引 入 辐 射 （ 吸 收 ） 几 率 描 述 光 与 物 质 的 三 种 相 互 作 用自 发 辐 射 几 率 A21受 激 吸 收 几 率 W12受 激 辐 射 几 率 W21 22121 1ndtdnA sp 11212 1ndtdnW sta 22121

2、1ndtdnW stesA 121 1212 BW 2121 BW 黑 体 处 于 温 度 T的 热 平 衡 状 态 ， 满 足 下 列 关 系 ： b338 1 1hk Thn E c e 单 位 体 积 单 位 频 率 间隔 内 的 光 波 模 式 数 黑 体 辐 射 分 配 到 每 个模 式 上 的 平 均 能 量 KTEEffnn 121212 exp 112221221 nBnBnA 221112 3 32121 8 fBfB hnchBA n2SPESTE输 入 光 将 被 吸 收 实 现 n2n1粒 子 数 反 转 分 布受 激 辐 射 占 主 导实 现 光 受激 放 大 ？ 3

3、 模 式 数总 光 子 数n2、激光谐振腔光 子 简 并 度 ： 处 于 同 一 光 子 态 的 光 子 数 分 配 到 每 个 模 式 上 的 光 子 数（ 衡 量 相 干 光 的 参 量 ） nW 模 式 数开 放 式 光 腔 选 模 总 光 子 数正 反 馈 光 放 大 21轴 向 模F-P 光 谐 振 腔 4 3、激励 增 益 系 数 znzg 0 gzI z I e gnI 增 益 饱 和 sIzInzn 1 0 sIzIgzg 1 0激 光 振 荡 的 阈 值 条 件 zgeIzI 00 zgzII0 sIzI zg zI zg zg mIzI 0)(2021 1)(2)(01 0

4、 00 IeIrr rereII Lg LgLg r1 r2,gI0I1 1dI zg z dz I z 5 第 二 章 开 放 式 光 腔 和 高 斯 光 束开 放 式 光 腔 光 波 模 式 的 选 择 谐 振 腔 选 模 模 式 间 损 耗 的 差 异稳 定 腔 共 焦 腔 模 式 理 论（ 损 耗 小 ， 模 体 积 小 ）非 稳 腔 （ 高 损 ， 大 功 率 激 光 器 ） 方 形 镜 共 焦 腔圆 形 镜 共 焦 腔一 般 稳 定 球 面 腔与 共 焦 腔 的 等 价 性产 生 激 光 光 束 的 传 输 问 题 高 斯 光 束 6 一 .光 学 谐 振 腔 的 构 成 和 分

5、类平 行 平 面 腔 ： 最 早 的 光 腔 法 布 里 珀 罗 干 涉 仪 ， F-P腔 。共 轴 球 面 腔 ： 两 块 具 有 公 共 轴 线 球 面 镜 构 成 的 谐 振 腔 。 开 放 式 谐 振 腔 ： 上 述 两 种 腔 ， 侧 面 近 似 没 有 光 学 边 界 ， 称为 开 放 式 谐 振 腔 或 者 开 腔 。 闭 腔光 学 谐 振 腔 开 腔 波 导 腔 稳 定 腔非 稳 腔 临 界 腔 2.1光 腔 理 论 的 一 般 问 题2.1光腔理论的一般问题 （ 根 据 几 何 损 耗 ） 7 2.1光腔理论的一般问题 波 导 激 光 谐 振 腔 ： 具 有 侧 面 边 界

6、（ 图 a c） 半 导 体 激 光 器折 叠 腔 ， 环 形 腔 ： 由 两 个 以 上 反 射 镜 构 成 的 腔 ： l1 l2l3 n2 n1，n2 n3复 合 腔 ： 开 腔 内 插 入 透 镜 一 类 光 学 元 件分 布 反 馈 式 谐 振 腔 ： (Distributed Feedback, DFB) 8 二 .模 的 概 念 腔 与 模 的 一 般 联 系2.1光腔理论的一般问题 腔 的 模 式 ： 光 学 谐 振 腔 内 可 能 存 在 的 电 磁 场 的 本 征 态谐 振 腔 所 约 束 的 一 定 空 间 内 存 在 的 电 磁 场 ， 只 能 存 在于 一 系 列 分

7、 立 的 本 征 态 麦 克 斯 韦 方 程 组腔 的 边 界 条 件分 立 的 振 荡 频 率 和 空 间 分 布腔 内 电 磁 场 的 本 征 态 因 此 ： 腔 的 具 体 结 构 腔 内 可 能 存 在 的 模 式 （ 电 磁 场本 征 态 ） 模 的 基 本 特 征 主 要 包 括 ：1、 电 磁 场 空 间 分 布 E(x,y,z)， 包 括 腔 的 横 截 面 内 的 场 分 布 （ 横 模 ） 和 纵 向 场 分 布 （ 纵 模 ） ；2、 谐 振 频 率 ；3、 在 腔 内 往 返 一 次 经 受 的 相 对 功 率 损 耗 ；4、 每 一 个 模 的 激 光 束 发 散 角

8、 。腔 的 参 数 唯 一 确 定 模 的 基 本 特 征 。腔 的 模 式 也 就 是 腔 内 可 能 区 分 的 光 子 状 态 。开 腔 傍 轴 传 播 模 式 的 纵 模 特 征傍 轴 光 线 (paraxial ray) ： 光 传 播 方 向 与 腔 轴 线 夹 角 非 常 小 ， 此 时可 认 为 sin tan 下 面 以 F-P腔 为 例 ， 讨 论 模 的 基 本 特 征 kL2E0-E0E1E2E3开 腔 傍 轴 传 播 模 式 的 纵 模 频 率 间 隔 (F-P腔 ， 平 面 波 ):光 波 在 腔 内 往 返 一 次 的相 位 滞 后:光 波 在 腔 内 往 返 一

9、 次 的 电场 幅 度 变 化 率 （ =12）E0 E1=E0e-jE 2=E1e-jE4 E3=E2e-jET=E0+E1+E2+E3+E4+ET当 |1的 情 况 下 （ 往 返传 播 次 数 无 限 多 ） ， 当 = q2时 ， ET幅 度 可以 达 到 腔 内 纵 模 需 要 满 足 的 谐 振 条 件相 长 干 涉 条 件 ： 腔 中 某 一 点 出 发 的 波 ， 经 往 返 一周 回 到 原 来 位 置 时 ， 应 与 初 始 出 发 的 波 同 相 位 。qL q 20 Lcqcqq 20 (2.1.1) 为整数2222 00 qqLLk 0真 空 中 的 波 长 ； L腔

10、 的 光 学 长 度2 0qqL )4.1.2(2 Lcqq )5.1.2(2 qqL LL 为 腔 内 介质 折 射 率 光 腔 的 驻 波 条 件谐 振 频 率 2q纵 模 间 隔 1 1 2 2 2q q q c c cq qL L L 多 纵 模 情 况 下 ， 不 同 的 纵 模 对 应 腔 内 不 同 的 驻 波场 分 布 纵 模 序 数 q 对 应 驻 波 场 波 节 个 数 在 F-P腔 中 均 匀 平 面 波 纵 模 场 分 布 的 特 点场 沿 腔 的 轴 线 方 向 形 成 驻 波 ， 驻 波 的 波 节 数 为 q，波 长 为 q。纵 模 间 隔 与 序 数 q无 关

11、， 在 频 率 尺 度 上 等 距 排 列 ； “ 频 率 梳 ” 纵 模 间 隔 大 小 与 腔 长 成 反 比 。 13结 论 ：1.一 定 的 谐 振 腔 只 对 频 率 满 足 条 件 的 光 波 才 能 提 供 正 反 馈， 使 之 谐 振 ， 上 述 两 式 即 F-P腔 中 沿 轴 向 传 播 的 平 面 波 的谐 振 条 件 。2.满 足 该 式 的 称 为 腔 的 谐 振 波 长 ， 而 满 足 该 式 的 称 为腔 的 谐 振 频 率 。3.该 式 表 明 ： F-P腔 中 的 谐 振 频 率 是 分 立 的 。0q q 2.1光腔理论的一般问题 将 F-P腔 中 满 足

12、的 平 面 驻 波 场 称 为 腔 的 本 征 模 式 。2q cq L 14 本 征 模 式 的 特 点 是 ： 在 腔 的 横 截 面 内场 分 布 是 均 匀 的 ， 而 沿 腔 的 轴 线 方 向 (纵 向 )形 成 驻 波 ， 驻 波 的 波 节 数 由 q决 定 。 通 常 将由 整 数 q所 表 征 的 腔 内 纵 向 场 分 布 称 为 腔 的纵 模 。 不 同 的 q值 相 应 于 不 同 的 纵 摸 。 在 这 里 所 讨 论 的 简 化 模 型 中 ， 纵 摸 q单值 地 决 定 模 的 谐 振 频 率 。2.1光腔理论的一般问题 15 例 ： 对 L 10cm的 气 体

13、 激 光 器 (设 =1)， v q 1.5 10 9Hz 对 L 100cm的 气 体 激 光 器 , vq 1.5 10 8Hz 对 L 10cm、 =1.76的 红 宝 石 激 光 器 vq 8.5 10 8Hz2.1光腔理论的一般问题 三 、 光 腔 的 损 耗1.几 何 偏 折 损 耗 ；2.衍 射 损 耗 ；3.腔 镜 反 射 不 完 全 引 入 损 耗 ；4.材 料 吸 收 、 散 射 ， 腔 内 插 入物 所 引 起 的 损 耗 等 。 选 择 损 耗 （ 有 选 模 作 用 ）非 选 择 损 耗 （ 无 选 模 作 用 ）腔 内 损 耗 的 描 述 平 均 单 程 损 耗 因

14、 子 定 义 ： 无 源 腔 内 ， 初 始 光 强 I 0往 返 一 次 后 光 腔 衰 减 为 I1，则 )8.1.2(ln21 )7.1.2(10201 IIeII 0I1I 损 耗 因 子 也 可 以 用 来 近 似 描 述 :当 损 耗 很 小 时 ， 两 种 定 义 方 式 是 一 致 的 0 102 I II 2)21(2 0000 2000 10 IIII eIII II对 于 由 多 种 因 素 引 起 的 损 耗 ， 总 的 损 耗 因 子 可 由 各 损耗 因 子 相 加 得 到 321 2022201 321 i eIeeeII损 耗 举 例 1 0(1 2 )I I

15、反 射 镜 反 射 不 完 全 损 耗 ：衍 射 损 耗 （ 考 虑 均 匀 平 面 波 夫 琅 和 费 （ Fraunhofer） 衍 射 ） ：r1 r2I0I1 2101 rrII reII 201 21ln21 rrr 2aL L第 一 衍 射 极 小 值 ： aa 61.0222.1 NLaLaaLaLLa aLadd 1122.161.022 2222 22 aL FP腔N 腔 的 菲 涅 耳 数 ， 表 征 衍 射 损 耗 大 小 ， N， 衍 射 损 耗 1 0(1 2 )rI I )1(21 21rrr 19 1.光 子 在 腔 中 的 寿 命初 始 光 经 时 间 t在 光

16、 腔 中 往 返 次 数 m后 ： 20 mmI I e 2L把 t 代 入 得m c 0 RtI t Ie R Lc 其 中 称 为 腔 的 时 间 常 数 。2.1光腔理论的一般问题 0 0 RtR I t Ie I e t=腔 的 时 间 常 数 的 物 理 意 义 是 ： 经 过 后 ， 腔 内 光 强 衰减 为 初 始 值 的 1 e。 可 以 看 出 愈 大 愈 小 ， 说 明腔 的 损 耗 愈 大 ， 腔 内 光 强 衰 减 得 愈 快 。 因 此 又 称 为“ 光 子 在 腔 内 的 平 均 寿 命 ” 。 R L c R RR 20 设 t时 刻 腔 内 光 子 数 密 度

17、为 N， N与 光 强 的 关 系 为 0 RtI t Ie Nh v 0 RtN Ne 0RN N e t= I t上 式 表 明 , 由 于 损 耗 的 存 在 ,腔内 光 子 数 密 度 将 随 时 间依 指 数 规 律 衰 减 。2.1光腔理论的一般问题 21 微 分 得 ， 在 t t +dt时 间 内 减 少 的 光 子 数 密 度 为0 RtRNdN e dt 这 (-dN)个 光 子 的 寿 命 均 为 t,即 在 0t这 段 时 间 内 它们 存 在 于 腔 内 ,而 再 经 过 无 限 小 的 时 间 dt后 ， 它 们 就 不在 腔 内 了 ， 由 此 可 以 计 算 所

18、 有 N0个 光 子 的 平 均 寿 命 为 ： 000 01 1 Rt RRNt dN t t e dtN N 这 就 证 明 了 腔 内 光 子 的 平 均 寿 命 为 R， 腔 的 损 耗愈 小 ， R就 愈 大 ， 腔 内 光 子 的 平 均 寿 命 就 愈 长 。2.1光腔理论的一般问题 0 RtN Ne 22 2.无 源 谐 振 腔 的 Q值谐 振 腔 Q值 的 普 遍 定 义 为 ： 储 存 在 腔 内 的 总 能 量 ； P 单 位 时 间 内 损 耗 的 能 量 ，v 腔 内 电 感 场 的 振 荡 频 率 ； W=2 v 场 的 角 频 率 。 如 果 以 V表 示 腔 内

19、 振 荡 光 束 的 体 积 ， 当 光 子 在 腔 内 均 匀分 布 时 腔 内 总 储 能 为 ：单 位 时 间 中 光 能 的 减 少 (即 能 量 损 耗 率 )为 这 就 是 光 频 谐 振 腔 Q值 的 一 般 表 示 式 ， 可 以 看 出 ， 腔的 损 耗 愈 小 ， Q值 越 高 。 2 R LQ c 2.1光腔理论的一般问题 23 2.2 共轴球面腔的稳定性条件 本 节 介 绍 利 用 光 线 矩 阵 ， 对 开 腔 加 以 科 学 的 分 类 这 一 方 法 。2.2 共 轴 球 面 腔 的 稳 定 性 条 件一 .腔 内 光 线 往 返 传 播 的 矩 阵 表 示 如

20、图 2.2.1谐 振 腔 由 曲 率 半 径 为 RI和 R2的 两 个 球 面 镜 M1和 M2构 成 ， 腔 长 为 L， 两 镜 面 曲 率 中 心 连 线 构 成 系 统 光 轴 。图 中 : r: 光 线 离 轴 线 的 距 离 ； :光 线 与 轴 线 的 夹 角 ， 规 定光 线 出 射 方 向 , 在 腔 轴 线 的 上方 时 ， 为 正 ， 反 之 为 负 。 24 光 线 传 输 路 径 ： 1 1 1 2 2 2, ,M r M r 由 几 何 关 系 ：2 1 1 1 12 1 sinr r L r L 该 方 程 表 示 为 矩 阵 的 形 式 ： 2 12 110

21、1r rL 即 我 们 以 一 个 列 矩 阵 描 述 任 一 光 线 的 坐 标 ,而 用 一 个二 阶 方 阵 描 述 光 线 在 自 由 空 间 中 行 进 距 离 L时 所 引 起 的坐 标 变 换 : r 1 0 1L LTLT 2.2 共轴球面腔的稳定性条件 傍 轴 光 线 、 自 由 空 间 的 光 线 矩 阵 25 2o io i ir r rR 证 明 第 二 式 如 图 所 示 ， 在 球 面 镜 上 发 生 反 射 时 ,入 射 面 和 反 射 面 参数 分 别 为 ,根 据 球 面 镜 对 傍 轴 光 线 的 反 射 规 律 ： , ,i i o or r ii irR

22、 在 傍 轴 近 似 下 有 : 2o i 得 证三 角 关 系则 入 射 和 反 射 光 的 关 系 可 以 用 矩 阵 表 示 为 ：1 02 1 o i io i ir r rR RT 1 01 0 12 11 fR RT这里 2.2 共轴球面腔的稳定性条件 傍 轴 光 线 、 球 面 镜 的 反 射 矩 阵 为 球 面 镜 对 傍 轴 光 线 的 变换 矩 阵 ， 称 为 球 面 镜 的 反 射 矩 阵 ， f=R/2为 球 面 镜 对傍 轴 光 线 的 焦 距 。 26 如 图 ， 光 线 在 M2反 射 时 ，3 2 223 2 221 02 1r r rR RT接 着 光 从 M

23、2行 进 到 M1时 3 34 3 34 10 1 r rr L LT又 在 M1反 射 时 ， 5 34 4 2 1 15 34 4 2 1 111 02 1r rr r r r rR 1 1 1 1R R L R L R2 R L R2 LT T T T TT T TT T =T 2.2 共轴球面腔的稳定性条件 傍 轴 光 线 、 共 轴 球 面 腔 中 的 往 返 矩 阵其 中 1 21 21 0 1 01 12 21 10 1 0 1A B L LC D R R R L R LT T TT T 11rA BC D 为 傍 轴 光 线 在 腔内 往 返 一 次 的 总 变 换矩 阵 ，

24、称 为 往 返 矩 阵 27上 式 中 那 么 光 线 在 腔 内 经 n次 往 返 时 ， 其 参 数 的 变 换 关 系 以 矩阵 形 式 表 示 为 : 1 11 1nn n Tr r r 只 nTTT T Tsin sin( 1) sin1 sin sin sin( 1)sinn n nn nA BA B A n n B n C DC D C n D n n nT 1arccos2 A D 由 可 求 出 ； 1 11 1n n nn n nr Ar BCr D nT 2.2 共轴球面腔的稳定性条件 计 算 得 ： 1 21 2 1 1 1 221 2 (1 )2 2 2 2 2 21

25、 1 1 L LA B= LR RL L L LC DR R R R R R 28 1 2 01 01 0 00 0R L R L rr T T T Tr rA BT C D 111,r 00,r 23 L 1f 1f 1f 1f 如 图 示 意 ： 2f 2f 2f 2f往 返 周期 单 位 211 Rf 222 Rf 1 2 311,r00,r 等 效 无 限 长 透 镜 序 列 注 意 ： 球 面 镜 对 傍 轴 光 线 的 反 射 变 换 与 焦 距 f=R/2的 薄 透 镜的 透 射 变 换 等 效 ,但 前 一 种 情 况 引 起 光 线 传 播 方 向 的 折 转 。 29 L1

26、f 1f 1f 1f2f 2f 2f 2f往 返 周期 单 位 10111 0110111 01 21 LfLfDC BAT 0000002111 10111 0110111 01 rTrDC BArLfLfr 2 11 Rf 222 Rf 211121 22 11111 21 fLfLfLDfLffC fLLBfLA 1 2 311,r00,r 即 为 球 面 镜 腔中 往 返 一 周 的光 线 矩 阵 参 数 30 rmaxSS-1S-2S-3S-4 S+1 S+2 S+3 稳 定不 稳 定往 返 周期 单 位球 面 镜 腔 稳 定 性 的 讨 论 ： sr 1sr1sr2sr3sr 1s

27、r 31 要 使 傍 轴 光 线 不 横 向 逸 出 腔 外 ， 即 为 有 限 值 ，则 对 任 意 n应 有 限 。二 .共 轴 球 面 腔 的 稳 定 性 条 件称 为 共 轴 球 面 腔 的 稳 定 性 条 件 。 注 意 凹 面 镜 R的 取 正 ， 凸 面 镜 取 负 。 1 11 1n n nn n nr A r BC r D n nr 、n n n nA B C D、 、 、 sin sin( 1) sin1 sin sin sin( 1)sinn n n nA B A n n B nC D C n D n n 要 满 足 上 述 需 要 ， 则 应 为 实 数 。 1 1ar

28、ccos 1 12 2A D A D 由 1 21 1 1L LR R0 令 两 个 括 号 中部 分 分 别 定 义为 g1、 g2 1 2 1g g 0A D、 值 代 入 ， 得 出 2.2 共轴球面腔的稳定性条件 32 2. 当 时 为 复 数 (不 可 能 为 实 数 ),这 时sin(n -1） 、 sinn等 均 将 随 n的 增 大 而 按 指 数 规 律 增 大 ,那 么 rn、 n也 将 随 n的 增 大 而 指 数 地 增 大 ， 也 即 傍 轴 光 线 在 腔 内 经 历 有 限 次 往 返后 必 将 横 向 逸 出 腔 外 。讨 论 ：1.当 式 满 足 时 , 为

29、实 数 ,从 而 An、 Bn、 Cn、 Dn均 有限 ,并 随 着 n的 增 大 而 发 生 周 期 性 变 化 。 按 rn、 n也 将 随 n的 增 大 而 发 生周 期 性 变 化 ,但 无 论 n多 大 , rn、 n均 保 持 有 限 ,这 就 保 证 傍 轴 光 线 能 在 腔内 往 返 无 限 多 次 而 不 从 侧 面 逸 出 (只 要 镜 的 横 向 尺 寸 足 够 大 )。1 21 1 1L LR R0 1 11 12 2A D A D 或 3. 共 轴 球 面 腔 的 往 返 矩 阵 T、 n次 往 返 矩 阵 Tn 均 与 光 线 的 初 始 坐 标 无关 , 可 以

30、 描 述 任 意 傍 轴 光 线 在 腔 内 往 返 传 播 的 行 为 。 但 随 着 光 线 在 腔内 的 初 始 出 发 位 置 及 往 返 一 次 的 行 进 次 序 的 不 同 ， 矩 阵 T各 元 素 的 具体 表 示 式 也 将 各 不 相 同 。 但 (A+D)/2对 于 一 定 几 何 结 构 的 球 面 腔 是 一个 不 变 量 。 1 21 1 12 L LA D R R 2.2 共轴球面腔的稳定性条件 1 11 1n n nn n nr A r BC r D 33 非 稳 腔临 界 腔 1 2 1 11 1 12 2gg A D A D 即 或 1 21 2 10 12

31、11 12g g A Dg g A D 即 即稳 定 腔 1 21 21 1 1 12 1 L LA D R Rgg00 简 单 共 轴 球 面 腔 普 遍 适 用2.2 共轴球面腔的稳定性条件 腔 分 类 定 义 ： 34 下 面 列 举 几 种 有 代 表 性 的 临 界 腔 。1)对 称 共 焦 腔 满 足 条 件 R1=R2=L的 谐 振 腔 称 为 对 称 共 焦 腔 ,这 时腔 的 中 心 即 为 两 个 镜 面 的 公 共 焦 点 ,对 称 共 焦 腔 满 足 g1=0,g2=0,gIg2=0 因 而 是 一 种 临 界 腔 。(2)平 行 平 面 腔 此 时 有 Rl=R2=,

32、gl=g2=1,从 而 满 足 (3)共 心 腔 满 足 条 件 R 1+R2=L的 谐 振 腔 称 为 共 心 腔 ,这 时 腔 的 两个 镜 面 的 曲 率 中 心 互 相 重 合 ， 其 g1g2=1。 1 12 A D 2.2 共轴球面腔的稳定性条件 35 本 节 几 个 重 要 问 题 ： 1. 表 示 光 线 的 参 数 r 光 线 离 光 轴 的 距 离 光 线 与 光 轴 的 夹 角傍 轴 光 线 dr/dz = tan sinr 正 ,负 号 规 定 : 0 0 0， 相 当 于 凸 薄 透 镜 f0；凸 面 向 着 腔 内 时 ， R0， 相 当 于 凹 薄 透 镜 f0。

33、2、 对 于 同 样 的 光 线 传 播 次 序 ， 往 返 矩 阵 T、 Tn与 初 始 向 量 （ r0,0）无 关 （ 做 题 时 可 不 画 出 光 线 ） ；3、 当 光 纤 传 播 次 序 不 同 时 ， 往 返 矩 阵 不 同 ， 但 (A+D)/2相 同 。例 ： 环 形 腔 中 的 像 散 -对 于 “ 傍 轴 ” 光 线对 于 平 行 于 x,z平 面 传 输 的 光 线 （ 子 午 光 线 ） ， 其 焦 距 ：对 于 平 行 于 “ 光 轴 ” k和 y确 定 的 平 面 传 输 的光 线 （ 弧 矢 光 线 ） ， 其 焦 距 2coscos Rffx cos2cos

34、 Rffy fxy z 1k 2k3k 37 透 镜 的 像 散子 午 面 和 弧 矢 面 上 的 往 返 矩 阵 同 时 满 足 稳 定 条 件 ， 则 该 环 形 腔为 稳 定 腔 例 ： 聚 光 镜 设 计 38 2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析 问 题 1.在 一 个 没 有 侧 面 边 界 的 区 域 中 ,是 否 存 在 着 电 磁场 的 本 征 态 ,即 不 随 时 间 变 化 的 稳 态 场 分 布 ?即 开 腔 模 的存 在 性 问 题 。问 题 2.应 该 如 何 求 出 这 些 场 分 布 ? 激 光 的 输 出 直 接 与 镜 面 上 的 场 相 联 系 。 由

35、于 镜 面 上的 场 可 看 成 是 光 在 两 个 镜 面 间 往 返 传 播 的 结 果 ， 求 解 镜面 上 的 稳 态 场 分 布 的 问 题 就 归 结 为 解 一 个 积 分 方 程 ， 积分 方 程 可 以 给 出 空 间 某 一 点 上 的 场 ， 与 处 在 有 限 距 离 上的 另 一 个 表 面 上 的 场 的 关 联 。2.3 开 腔 模 式 的 物 理 概 念 和 衍 射 理 论 分 析 39 一 、 理 想 开 腔 模 型理 想 开 腔 模 型 ： 两 块 反 射 镜 片 （ 平 面 或 曲 面 ） 沉 浸 在 均 匀 、 无 限 、各 向 同 性 的 介 质 中

36、。 （ 光 线 平 行 于 光 轴 ） ， 由 于 反 射 镜 的有 限 大 小 导 致 的 衍 射 损 耗 将 决 定 开 腔 中 激 光 震 荡 能 量 的 空 间 分 布 。L 为反射镜上的场分布uI II, 531 uuu , 642 uuu uuu ss 1在 反 射 镜 边 缘 处 由 于 衍 射 发 生 损 耗 ， 进 而 改 变 us+1的 分 布当 经 过 足 够 多 次 渡 越 ， 形 成 这 样 一 种 场 分 布 ， 渡 越 时 分 布 情况 不 再 受 衍 射 影 响 ， 只 有 整 体 按 同 样 比 例 衰 减 。开 腔 的 自 再 现 模 或 横 模a2 40

37、概 念 ：1.开 腔 镜 面 上 ， 经 一 次 往 返 能 再 现 的 稳 态 场 分 布 称 为 开腔 的 自 再 现 模 或 横 模 。2.自 再 现 模 一 次 往 返 所 经 受 的 能 量 损 耗 称 为 模 的 往 返 损耗 。 在 理 想 开 腔 中 ,等 于 前 面 所 指 出 的 衍 射 损 耗 。3.自 再 现 模 经 一 次 往 返 所 发 生 的 相 移 称 为 往 返 相 移 。 该 相 移 等 于 2 的 整 数 倍 ,这 就 是 模 的 谐 振 条 件 研 究 表 明 ： 开 腔 的 自 再 现 模 确 实 存 在 。 一 方 面 ,可 用数 值 的 和 解 析

38、 的 方 法 求 出 了 各 种 开 腔 的 横 模 ； 另 外 ,又 从实 验 上 观 测 到 了 激 光 的 各 种 稳 定 的 强 度 花 样 ,而 且 理 论 分析 与 实 验 观 测 的 结 果 符 合 得 很 好 。2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析 41幅 度 、 相 位空 间 相 干 性 的 衍 化1、 初 始 入 射 波 的 形 状 不 影 响 自 再 现 模 的 形 成 ；2、 不 同 初 始 入 射 波 可 能 导 致 不 同 自 再 现 模 -横 模 的 形 成 。 孔 阑 处 可 放 置 透 镜 或 衰 减 片二 、 孔 阑 传 输 线 42 讨 论 ： 1.并

39、非 任 何 形 态 的 电 磁 场 都 能 在 开 腔 中 长 期 存 在 ， 只有 那 些 不 受 衍 射 影 响 的 场 分 布 才 能 最 终 稳 定 下 来 ；2.模 的 形 成 是 多 次 衍 射 的 结 果 , 其 他 形 状 初 始 入 射 波 也能 形 成 自 再 现 模 ， 只 是 得 到 的 最 终 稳 态 场 分 布 有 所 不相 同 ,这 就 预 示 了 开 腔 模 式 的 多 样 性 ；3.实 际 的 物 理 过 程 是 ： 开 腔 中 的 任 何 振 荡 都 是 从 自 发辐 射 开 始 的 ， 服 从 统 计 规 律 , 可 提 供 不 同 的 初 始 分 布 ，

40、衍 射 将 其 中 能 够 存 在 的 自 再 现 模 筛 选 出 来 ;4. ,在 无 源 开 腔 中 ,自 再 现 模 的 形 成 过 程 和 场 的 空 间 相干 性 的 增 强 过 程 , 伴 随 着 初 始 人 射 波 能 量 的 衰 减 。 在激 活 腔 中 ,情 况 就 不 同 了 。2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析 43 三 、 菲 涅 耳 基 尔 霍 夫 衍 射 积 分2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析 sdeyxuikyxu iks cos1,4,S曲 面 上 光 场 分 布 函 数 各 子 波 源 发出 的 球 面 波 倾 斜 因 子 sdeyxuikyxu i

41、k s jj cos1,4,1右 图 (2.3.3)左 图 44 以 对 称 开 腔 为 例 。 11( , ) ( , ) (1 cos )4 ikj jSik eu x y u x y ds 12 111j jj ju uu u 代 入 衍 射 表 达 式 ， 得 出 ： 即 为 模 式 再 现 概念 的 数 学 表 达 式 1 1( , ) ( , ) (1 cos )4( , ) ( , ) (1 cos )4 ikj jS ikj jSik eu x y u x y dsik eu x y u x y ds ( , )xy 2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析 四 、 自 再 现

42、模 所 应 满 足 的 积 分 方 程 式 为 与 坐 标 无 关的 复 常 数 ， 表示 自 再 现 模在 渡 越 一 次 时的 幅 度 衰 减 和相 位 滞 后 。求 解 上 面 方 程 得 自 再 现 模 的 方 程 ： 45 ( , ) ( , , , ) ( , ) (2.3.6)Sx y K x y x y x y ds ( , , , )( , , , ) (1 cos )4 ( , , , )ik x y x yik eK x y x y x y x y 其 中 称 为 积 分 方 程 的 核 一 般 地 说 , 应 为 复 函 数 ,它 的 模 描 述 镜面 上 场 的 振

43、幅 分 布 ,而 其 辐 角 描 述 镜 面 上 场的 相 位 分 布 。 ( , )xy ( , )xy arg ( , )u xy2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析 46 光 学 开 腔 的 腔 长 L通 常 远 大 于 反 射 镜 的 线 度 ,即 L a反 射 镜 为 曲 面 镜 的 情 况 下 ,其 曲 率 半 径 R也 往 往 满 足 R a(1 cos ); 2 L L ( , , , )( , ) ( , , , ) ( , ) (2.3.6)( , , , ) (2.3.7)S ik x y x yx y K x y x y x y dsiK x y x y eL 不 能

44、 用 L替 换 ， 为 什 么 ？ 至 此 我 们 将 寻 求 开 腔 模 的 问 题 ,归 结 为 求 解 积 分 方 程或 简 化 了 的 积 分 方 程 组 这 样 一 个 数 学 问 题 。 2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析 47 五 、 复 常 数 的 意 义 可 表 示 为 ： ie 则 1 1 ij j ju u e u e 可 见 ,e- 量 度 每 经 单 程 渡 越 时 自 再 现 模 的 振 幅 衰 减 ,愈 大 ,衰 减 愈 甚 , 0时 ,自 再 现 模 在 腔 内 能 无 损 耗 地 传播 。 表 示 每 经 一 次 渡 越 模 的 相 位 滞 后 。 自 再

45、 现 模 在 腔 内 经 单 程 渡 越 所 经 受 的 相 对 功 率 损 失 称为 模 的 单 程 损 耗 ,通 常 以 d表 示 ,它 代 表 的 是 总 损 耗 。 2 2 21 221 11 1j jd ju u eu 2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析 48 1 1arg arg argj ju u 自 再 现 模 在 腔 内 经 单 程 渡 越 的 总 相 移 定 义 为 : 在 腔 内 存 在 激 活 物 质 的 情 况 下 ,为 了 使 自 再 现 模 在 往返 传 播 过 程 中 能 形 成 稳 定 振 荡 ,还 必 须 满 足 多 光 束 相 长干 涉 条 件 :在

46、腔 内 一 次 往 返 的 总 相 移 等 于 2 的 整 数 倍 , 这 就 是 开 腔 自 再 现 模 的 谐 振 条 件 。结 论 ： 复 常 数 的 模 量 度 自 再 现 模 的 单 程 损 耗 ,它 的 辐 角量 度 自 再 现 模 的 单 程 相 移 ,从 而 也 决 定 模 的 谐 振 频 率 。q 2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析 49 六 、 自 再 现 模 方 程 的 求 解 分 离 变 量 法 2 2 2x x y y L 2 21 x x y yL L L ( , , , )( , , , ) ik x y x yiK x y x y eL 如 图 所 示 为

47、一 对 称 矩 形 平 面 镜 腔 ， 镜 的 边 长 为 2ax2b，腔 长 L， 且 ,则,L a b 2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分 析 2 2 4 4 2 21 1 1 1 11 2 2 8 8 4x x y y x x y y x x y yL L L L L L L 0 xy y yx, , yxb2a2 LI II 50 2 22 2 a L La b L Lb 和 ( , , , )( , , , ) ik x y x yiK x y x y eL 2 2 2 22 2 2 2( , , , ) x x y y x x y yikL ikL L L Lik xyx y i

48、kLe e e e 2 21 11 2 2x x y yL L L 代 入 表 达 式 得( , ) ( , , , ) ( , ) Sx y K x y x y x y ds 2 22 2( , ) ( , ) x x y yika b L LikL a bix y e x y e dxdyL 2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析 当 满 足 条 件 51 分 离 变 量 得 出 ： 2 222 22( ) ( , ) ( )( ) ( , ) ( )( , )( , ) ax xaby yb x x y yik L LikLx y yikikL Lyx yx K x x x dxy K

49、y y y dyiK x x e eLiK y y e eL 2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析 52 满 足 上 述 方 程 的 解 可 能 有 多 个 ， 假 设 xy方 向 的 第 m、n个 解 可 表 示 为 ： ( ) ( , ) ( )( ) ( , ) ( )am m x mabn n y nbx K x x x dxy K y y y dy mn m n (, ) () ( )mn m nxy x y 整 个 镜 上 的 自 再 现 场 分 布 函 数 为 ：相 应 的 复 常 数 为 ： 本 征 值 与 本 征 函 数 决 定 着 开 腔 自 再 现 模 的 全 部 特

50、征 ,包 括 场分 布 (镜 面 上 场 的 振 幅 和 相 位 分 布 )及 传 输 特 性 (如 模 的 衰 减 、 相移 、 谐 振 频 率 等 )。 2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析 本 征 函 数本 征 值 适 用 任 何 对 称 光 学 开 腔 （ 平 行 平 面 ， 共 焦 ， 一 般 球 面 镜 腔 ） 53 球 面 镜 腔 求 解 举 例 。反 射 镜 的 曲 率 半 径 为 R1和 R2腔 长 L。 1 2 1 2 1 1 2 2, , ,xyx y PP PP PP PP 2 2 1 2 2 2x x y yPP L L L根 据 已 知 2 2 2 21 1 1

51、2 2 21 2,2 2x y x yPP PPR R 由 几 何 关 系 1 22 2 2 2 2 21 22 2 2 2, , , 2 2 2 21 1 1 22 L LR Rx x y y x y x yxyx y L L L R RL x y x y xx yyL 2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析 aL P2(x,y)P1(x,y)P1 P2 21 54 2 2 2 21 21, , , 22xyx y L g x y g x y xx yyL 1 21 21 ; 1L LR Rg g 称 为 球 面 镜 腔 的 几 何 参 数 。 1. 在 对 称 开 腔 情 况 下 ， 代入

52、 上 式 ， 即 可 求 得 对 称 球 面 腔 的 值 , 即 得 出 一 般 对称 球 面 腔 自 再 现 模 所 满 足 的 积 分 方 程 的 具 体 形 式 。 2. 对 所 谓 对 称 共 焦 腔 , ，表 达 式 可 以 进 一 步 简 化 为 ： 当 反 射 镜 是 2ax2a的 方 形 镜 时 ， 则1 2 1 2 1 LRR R R g g ， 1 2 1 2 0R R R L g g ， 1, , ,xyxy L xx yyL 2( , ) ( , , , ) ( , ) ; ( , , , ) xx yya a ikikL La a ix y K x y x y x y

53、 dxdy K x y x y e eL 2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析 55 2.4 平行平面腔模的迭代解法 2.4 平 行 平 面 腔 模 的 迭 代 解 法第 一 台 激 光 器 梅 曼 (T.H.Maiman)的 红 宝 石 激 光 器 就 是 用 平 行 平 面 腔 做 成 的 。 平 行 平 面 腔 的 主 要 优 点 是 ,光 束 方 向 性 极 好 (发 散 角 小 )、 模 体 积 较 大 、 比 较 容 易 获 得 单 横 模 振 荡 等 。平 行 平 面 腔 主 要 缺 点 是 调 整 精 度 要 求 极 高 ,此 外 ,与 稳 定 腔 比 较 ,损 耗 也 较

54、大 ,因 而 对 小 增 益 器 件 不 大 适 用 。 56 1. 关 于 迭 代 法所 谓 迭 代 法 ,就 是 利 用 迭 代 公 式 ， 直 接 进 行 数 值 计 算 。1 11( , ) ( , ) (1 cos ) ( , )4 ikj j jS Sik eu xy u x y ds Ku x y ds ( , , , )( , , , ) (1 cos )4 ( , , , )ik x y x yik eK x y x y x y x y 其 中 首 先 ,假 设 在 某 一 镜 面 上 存 在 一 个 初 始 场 分 布 u1,将 它代 人 上 式 ,计 算 在 腔 内 经

55、第 一 次 渡 越 而 在 第 二 个 镜 面 上 生成 的 场 u 2,然 后 再 用 所 得 到 的 u2代 人 上 式 ,计 算 在 腔 内 经 第二 次 渡 越 后 而 在 第 一 j镜 上 生 成 的 场 U3 反 复 运 算 并 注 意经 过 足 够 多 次 以 后 ,在 腔 面 上 能 否 形 成 一 种 稳 态 场 分 布 。 2.4 平行平面腔模的迭代解法 57 如 果 j足 够 大 时 ， 场 分 布 出 现 12 111j jj ju uu u 如 果 直 接 数 值 计 算 得出 了 这 种 稳 定 的 场 分 布 ，则 可 认 为 找 到 了 腔 的 一 个自 再 现

56、 模 或 横 模 。 迭 代 法 的 重 要 意 义 在 于 , 用 逐 次 近 似 计 算 直 接 求 出 了 一 系 列 自 再 现 模 , 第 一 次 证 明 了 开 腔 模 式 的 存 在 性 ； 其 次 ,迭 代 法 数 学 运 算 过 程 ， 与 波 在 腔 中 往 返 传 播 形 成 自 再 现 模 这 一 物 理 过 程 相 应 ,而 且 运 算 结 果 使 我 们 具 体 地 、 形 象 地 认 识 了 模 的 各 种 特 征 ； 第 三 ,迭 代 法 虽 然 比 较 繁 础 却 具 有 普 遍 的 适 用 性 ,它 原 则 上 可 以 用 来 计 算 任 何 几 何 形 状

57、 附 中 的 自 再 现 模 ,而 且 还 可 以 计 算 诸 如 平 行 平 面 腔 中 腔 镜 的 倾 斜 、 镜 面 的 不 平 整 性 等 对 模 的 扰 动 。2.4 平行平面腔模的迭代解法 58 2.对 称 条 状 腔 中 自 再 现 模 的 迭 代 算 法 考 察 镜 的 宽 度 为 2a， 腔 长 为 L的 对 称 条 状 腔 ， 按 公式 该 条 状 腔 的 模 式 迭 代 方 程 应 为 ： 2 22 2( ) ( , ) ( )( , ) ax xa x x y yik L LikLxx K xx x dxiK xx e eL 2 222 123 2( ) ( )( )

58、( ) x xa ikikL La x xa ikikL Laiu x e e u x dxLiu x e e u x dxL 这 里 选 择 第 一 镜 面 的 初 始 入 射 波 为 单 位 平 面 波 ， 镜 面为 等 相 位 面 ， 且 初 始 相 位 为 0,即 ， 代 入 上 式 求 出1 1u 2u2 max 1u 得 同 样 的 方 法 求 出 3u 2.4 平行平面腔模的迭代解法 59 的 条 状 腔 用 迭 代 法 求 出 的 第一 次 及 第 300次 渡 越 后 得 到振 幅 和 相 位 分 布 如 图 所 示 。225 , 100 , 6.25aa L N L 在 经

59、 过 300次 渡 越 以 后 ,归 一 化 的 振 幅 曲 线 和 相 位曲 线 实 际 上 已 不 再 发 生 变化 ,这 样 我 们 就 得 到 了 一 个自 再 现 模 。 这 种 稳 态 场 分 布 的 特点 是 :在 镜 面 中 心 处 振 幅 最大 ,从 中 心 到 边 缘 振 幅 逐 渐降 落 ,整 个 镜 面 上 的 场 分 布具 有 偶 对 称 性 ， 具 有 这 种特 征 的 横 模 称 为 腔 的 最 低阶 偶 对 称 模 或 基 模 。2.4 平行平面腔模的迭代解法 60 2.5 方形镜共焦腔的自再现模 2.5 方 形 镜 共 焦 腔 的 自 再 现 模 对 称 共

60、焦 腔 ： 满 足 条 件 R1=R2=L的 谐 振 腔 ,这 时 腔 的 中 心即 为 两 个 镜 面 的 公 共 焦 点 。一 、 自 再 现 模 所 满 足 的 积 分 方 程 式 及 其 精 确 解 2, 2 L a a L La 前 提 条 件 ： 61 2.5 方形镜共焦腔的自再现模 2( , ) ( , , , ) ( , ) ;( , , , ) a aa a xx yyikikL Lx y K x y x y x y dxdyiK x y x y e eL 方 形 共 焦 腔 自 再 现 模 满 足 的 积 分 方 程 为 （ 2.3.28） ： 下 面 按 博 伊 德 和

61、戈 登 的 方 法 进 行 变 数 代 换 , 2 2, , 2 21( , ) , mn m m mn m nc c a kX x Y y c a L Na a Lx y F X G Y 令 2ikL c ciXX iYYm n m m m mc cieF X G Y F X e dX G Y e dY 博 伊 德 和 戈 登 已 解 此 方 程 ， c为 有 限 值 的 情 况 下 解 为 ： 62 2.5 方形镜共焦腔的自再现模 (1)(1)2 / ,1 ,2 / ,1 ,omonmm nn c i R c m=0,1,2c i R c n=0,1,2 其 中 mn m n(x,y)=F

62、 X G Y =Som(c,X c)Son(c,Y c) m,n=0,1,2,L ,Som(c,X c)=Som(c,xa)Son(c,Y c)=Son(c,y a)其 中 称 为 角 向 长 椭 球 函 数 。iKLm n m nie 称 为 径 向 长 椭 球 函 数 。 (1) (1),1 , ,1om onR c R c ( 1) (1) (1)24 ,1 ,1om oni kL m nm n Ne R c R c 可 以 看 出 ,对 任 一 给 定 的 C值 ,当 m ,n取 一 系 列 不 连 续 的整 数 时 ,即 得 出 一 系 列 本 征 函 数 ,它 们 描 述 共 焦

63、腔 镜 面 上 场 的振 幅 和 相 位 分 布 ,同 时 得 出 一 系 列 相 应 的 本 征 值 ,它 们 决 定 模的 相 移 和 损 耗 。 我 们 以 符 号 TEMmn表 示 共 焦 腔 自 再 现 模 。 63 2.5 方形镜共焦腔的自再现模 二 、 镜 面 上 场 的 振 幅 和 相 位 分 布 （ 共 焦 腔 ） 2 2 2 20 ( 1) !1 2 , 0,1,! 2 !mm km m kX Xm m kd mH X e e X mdX k m k 其 中 1.厄 米 特 高 斯 近 似 共 焦 腔 镜 面 中 心 或 者 时 的 整 个 镜 面 上 场 分布 函 数 可

64、 近 似 为 ： 2 22 22( )2 2 2 x yc x y Lamn mn m n mn m nc c(x,y)=C H x H y e C H x H y ea a L L 2 1c N 2.基 模 (TEM 00模 ) 2 200 00 x yL(x,y)=C e 基 模 在 镜 面 上 分 布 为 高 斯 型 64 2.5 方形镜共焦腔的自再现模 2 2 2 2000 00 00 sx yL r w(x,y)=C e C e 0s L 定 义 1： 镜 面 上 的 光 斑 半 径y 1/eE x( ) 2 2 2 202 22 200 00 00, sx y r wLI x y

65、C e C el p+- - = = 01 012 rIewrI rVewrV 000s00 000s00在 离 中 心 的 距 离 为 处 场 的 振 幅 降 为 中 心 处 的 。r L 1 e 65 2.5 方形镜共焦腔的自再现模 例 ： 一 台 使 用 共 焦 腔 的 二 氧 化 碳 激 光 器 ,若 L=1m, =10.6um,则 wos 1.84mm; 若 氦 氖 激 光 器 （ =0.6328um） 采 用 L=30cm的 共 焦 腔 ， 则 镜面 上 的 光 斑 尺 为 wos=0.25mm。结 论 ： 共 焦 腔 的 光 斑 半 径 通 常 是 很 小 的 ,远 比 实 际

66、上 使 用 的 反射 镜 的 横 向 尺 寸 小 得 多 ， 因 此 ,共 焦 腔 模 的 场 主 要 集 中 在 镜面 中 心 附 近 。定 义 2： 基 模 半 功 率 点 处 的 光 斑 半 径 ， 光 强 降 到 中 心 光 强 1/2处的 半 径 w0s ： 0 00.5889s s 021 rIwrI 000s00 2 202200 00, sr wI x y C e 66 67 67 20 2220 22 20 2220 22 20 2220 22 20 2220 22 1120111111 20220202202020 010010101 100101010 24,: 4224,: 22,: 22,: ss ss ss ss w yxw yxs w yxsw yxs w yxw yxs w yxw yxs xyeCexywCyxVTEM ewxCewxCyxVTEM yeCyewCyxVTEM xeCxewCyxVTEM 厄 米 多 项 式 的 零 点 决 定 场 的 节 线 3、 高 阶 横 模 （ m,n 不 同 时 为 0） 24,2,1 2210 XXHXXHX