初 等 矩 阵 的 应 用

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1、 编号 学 士 学 位 论 文 初 等 矩 阵 的 应 用 学生姓名： 阿依努尔.玉苏甫 学 号： 20060105009 系 部： 数学系 专 业： 信息与计算科学 年 级： 2006 年级 7 班 指导教师： 阿布都瓦克.玉奴司 完成日期： 2011 年 5 月 1 日 学 士 学 位 论 文 BACHELOR S THESIS 1 摘 要 本文主要是通过建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系和实际例子，进一步体 现出矩阵的初等变换与初等矩阵之间的密切关系，并且在这个基础上介绍初等矩阵 的六种应用. 关键词：矩阵；初等变换；初等矩阵；可逆矩阵 学 士 学 位 论 文 BACHELOR S TH

2、ESIS 2 目录 摘 要 .1 引言 .1 1.基本概念及基本定理 .1 1.2.1 互换两行或列 .2 1.2.2 以数 乘某行或列 .30k 1.2.3 以数 乘某行(列)加到另一行(列)上去 .3 2.主要结果 .4 2.1 初等矩阵在求逆阵的应用 .4 2.2 初等矩阵在求矩阵秩的应用 .6 2.3 初等矩阵求出 或 中的应用 .7-1AB-1 2.4 初等矩阵在解方程组中的应用 .9 2.5 初等矩阵在确定向量组的线性关系的应用 .10 2.6 初等矩阵在矩阵的三角分解( )中的应用 .10LU 总 结 .12 参考文献 .13 致 谢 .14 学 士 学 位 论 文 BACHEL

3、OR S THESIS 1 引言 初等矩阵与矩阵的初等变换密切相关.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本变换， 应用广泛，并且三种初等变换都有一个与之相应的初等矩阵，即互换两行或列， 以数 乘某行或列，以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去. 利用初等矩0kk 阵与矩阵的初等变换之间的关系，本文主要介绍初等矩阵的六种应用；1.初等矩 阵在求逆矩阵上的应用；2.初等矩阵在求矩阵秩的应用；3.初等矩阵求出 1AB-或 中的应用；.初等矩阵在解方程组中的应用；.初等矩阵在确定向量组的1BA- 线性关系中的应用；.初等矩阵在矩阵三角分解（LU）分解中的应用；通过举例 使得对初等矩阵的应用的认识更加深刻. 1

4、.基本概念及基本定理 定义 1.1 一个矩阵的行（列）初等变换是指对矩阵施行的下列变换 1）交换矩阵的某两行（列） ； 2）用一个非零的数乘矩阵的某一行（列） ，即用一个非零的数乘矩阵的某一 行（列）的每一个元素； 3）给矩阵的某一行（列）乘以一个数后加到另一行（列）上，即用某一个数 乘矩阵某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上. 把上述三种初等变换分别叫做矩阵的第一种，第二种和第三种行（列）初等 变换. 一个很自然的问题是，给定一个 矩阵 ，通过若干次初等变换可把mnA 化为一个什么样形状简单的矩阵呢?下述定理给我们一个完美的回答. A 定理 1.1 设 是 矩阵mn 通过行

5、初等变换和第一种列初等变换能把 化为如下形式A121212nmmnaa 学 士 学 位 论 文 BACHELOR S THESIS 2 ， 1,122,11000rnrrncB 进而再用若干次第三种列初等变换可化为如下形式 ， 10000D 这里 .0,rmn 定义 1.2 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.E 显然,初等矩阵都是方阵,每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵,即三种初等 变换对应着三种初等方阵. 1.2.1 互换两行或列 互换 中第 两行，即 ，得初等方阵E,ijijr 101, 1ij j第 行 i第 行r列 学 士 学 位 论 文 BACHELOR S T

6、HESIS 3 1.2.2 以数 乘某行或列0k 以数 乘 E 的第 行 ，得初等矩阵iirkEik 第 行 . 11ikk i 1.2.3 以数 乘某行(列)加到另一行(列)上去k 以 乘 的第 行加到第 行上 ，或以 乘 的第 列加到第 列上kEjiijrkkEji ，ijc . 11kEijkm 利用矩阵乘法的定义，立即可以得到 定理 1.2设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的AmnAA 左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘 以相应的 阶初等矩阵.n 不难看出初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵.事实上，变换 的逆变换是其ijr 本身，则 ；变

7、换 的逆变换为 ，则 1,Eijijirk1irk ；变换 的逆变换为 ，则 .1ikikij ij1()()Eijijk-=-i第 行 j第 行 学 士 学 位 论 文 BACHELOR S THESIS 4 定理 1.3 设 为可逆方阵，则存在几个初等方阵 ，使A12,lP . 12lAP 推论 矩阵 的充分必要条件是存在 阶可逆方阵 及可逆方阵 ，mnBmQ 使 .Q 2.主要结果 2.1初等矩阵在求逆阵的应用 当 时，由 ，有 ，及 ，|0A12lP 11lPAE 11lPEA 即对 1 11111l l lPE 2n 矩阵 施行初等行变换，当把 变成 时，原来的 就变 . 这种计算格

8、式也可以用来判断某个矩阵是否可逆，当我们将 化为行阶梯形矩A 阵时，若其中的非零的行数等于 时，则 可逆，否则不可逆.nA 例 2.1 设 ，求 . 0124A1 解 213012rE 123020r 1 1003r 12320r 学 士 学 位 论 文 BACHELOR S THESIS 5 ；123 10204r02143 .1 2143A 有时要求，把任意一个 阶可逆矩阵 化为若干个初等矩阵的乘积.下面看一个nA 有关的例子。 例 2.2 把下列可逆阵分解为初等阵的乘积. 1203 解 对 进行如下初等变换 A 120312()c 12038r 031813()r 018 .23(,)c

9、 013823()c 31()810r 01 写出每一次变换所对应的初等矩阵，并将行变换所对应的初等矩阵用 表示，列iQ 变换所对应的初等矩阵用 表示，并同时写出它们的逆矩阵jS ；11 20 20,S S 110, 0QQ ；2 23 3 学 士 学 位 论 文 BACHELOR S THESIS 6 13 310 0, 88QQ ；12 2 10 0,S S ；13 301, 0 于是， 11232AQS00120301018 2.2 初等矩阵在求矩阵秩的应用 一般格式 将 矩阵 经过一系列初等行变换变成阶梯形矩阵，即mnA 相当于从 左边有限次乘以对应的初等矩阵 行阶梯形 （其中 的秩是

10、矩阵AB 的非零行数，即 ）.()rB= 定理 2.1 初等矩阵乘以一个矩阵不改变矩阵的秩. 证明 若 中 是可逆矩阵, 任意矩阵，从定理 1.3 可逆矩阵可表示为一些初CAC 矩阵的乘积，从而矩阵 乘一个可逆矩阵 相当于左乘一些初等矩阵.据定理 1.2 这些相当于对矩阵 作一些列初等行变换，由初等行变换不改变矩阵的秩，这就 证明了 。=()(rr 同理 右乘可逆矩阵 则有 ，两者合在一起有 ，B=()(rr =()(rACBr ， .()(rACr()rC)AB= 例 2.3 求矩阵 的秩. 321327058 学 士 学 位 论 文 BACHELOR S THESIS 7 解 321327

11、0581234137058r-21 323r r-749321-471950- 由于 中有两个非零行，所以 .Br()=A 2.3初等矩阵求出 或 中的应用-B-1 定理 2.2 设 是 级可逆矩阵，那么An 1()()EAB-ML 证明 而11 1l lPEP- -=QL 1()l lPPEB .()EB 同理可得，如果求 ，则可对矩阵作初等列变换1YB- B1A- 例 2.4 求矩阵 ，使 ，其中 ， .XA1234A2534 解：若 可逆，则 是 的唯一解.1BX 21312534rAB 123325096r ；1325 0259r 231401r（ ） 0231 . 31X 例 2.5

12、 设 ， 123A ，则求 . 120C1YCA 学 士 学 位 论 文 BACHELOR S THESIS 8 解 132() 321-0cAC 1230-52-0c 1331 24 10-0324-14cc 23(1)4-105-62c . 012-351-2123152YCA 也可改为对 作初等行变换， ，即得,TAC,TTACEAC行 变 换 ，即可求得 .11TTYY 学 士 学 位 论 文 BACHELOR S THESIS 9 2.4 初等矩阵在解方程组中的应用 定理2.3.1 （1） （可以写成 ） ，若（1）中 可逆， 11nnaxxb+=LAXB=A 那么它有唯一解 .-1

13、XAB 分析：经过有限次行初等变换 后，所得的就是这唯一解1()()E-ML ，也是我们以前的Gauss消元法的来的解。-1= 定理2.3.2 方程组 中，若 ,那么 有解。*()()RArNAXB (1) 时有唯一解。rn (2) 时有无穷多解。 证明 级子式 0,不妨设 位于 的左上角，则 ()RAr$rr = 与 （2） 同解， （2）可以写成 1111r nrrrrraxxbaxax+=-LL 是（1）的一般解， 从而rrAXB=-rrAB=QL12rsAP ， 12rsrPL2rxX=QM 从而可以得出 ，若 ，则 是唯一解； 111.()rnrrrxdcxcxa+ *= Lrn=1

14、2rrdXM 若 ，则 中 为自由未知量，故方程组 有无穷多解。 rn()*1,.,rnxx AB 例2.6 求解非齐次线性方程组 1234123413580 xx+-=- 学 士 学 位 论 文 BACHELOR S THESIS 10 解 35101324137714024598 0B -= （ 为在数域 的 任意常数） 12234354710 xXc-=+21,cP 2.5 初等矩阵在确定向量组的线性关系的应用 一般格式 设向量组为 ，以 为列构成矩阵 ，对 施12,.,na12,.,naA 行初等行变换，将它化成阶梯形矩阵从而求出其秩 ，若 ，则()rA()r= 线性无关，若 ，则 线

15、性相关.12,.,na()rAm12,n 例 2.7 已知 , , ,讨论 的线性1,Ta=20,5=a36aT=123,a 相关性。 解 计算以向量组成的矩阵的秩 23213 1,510002565rr - 向量个数，于是所给向量组是线性相关的。()rA= 2.6 初等矩阵在矩阵的三角分解( )中的应用LU 把一个 n 阶矩阵 分解成单位下三角方阵 与上三角方阵 乘积，即A 仅用行初等变换就把矩阵 化为上三角方阵 ，一般的当一个 n 阶矩阵仅=LU 用行初等变换就能化为上三角方阵 U 时，存在若干个第三种初等矩阵 使得 .12,.,SP-1-12.SPP= 类似的，每一个可逆单位下三角方阵的

16、逆矩阵仍是单位下三角方阵；两个单位 学 士 学 位 论 文 BACHELOR S THESIS 11 下三角方阵的乘积仍是单位下三角方阵，由于第三种初等矩阵 都是(,)Pijkij 单位下三角方阵，设 则 也是单位下三角方阵，因此=-1-12.SLPL = 是 的三角分解。ALU 例 2.8 将三对角矩阵 012A 分解成主对角元为 1 的下三角矩阵 和上三角矩阵 的乘积，即 = .LUALU 解 由于第三类初等矩阵及其逆矩阵都是主对角元为 1 的同类型三角阵，因此 通过倍加行变换将 的主对角线一下元素消为 O（此时倍加行变换对应的初等矩阵A 是主对元为 1 的下三角矩阵，而 将化成上三角矩阵

17、） ，就可将将 分解为 ， 具体作法如下 201A=21 32() ()201rr rrAA+- +-= 43()21021033450120rAU , ,121P 2131P3134P 学 士 学 位 论 文 BACHELOR S THESIS 12 123LP112313412314 总 结 矩阵是现代科学技术不可缺少的数学工具，在本文中初等矩阵是研究逆矩阵， 矩阵秩，向量组的线性相关性，线性方程组求解和矩阵分解等的有力且不可替代 的工具，是本文讨论的主要对象，通过它的这种工具性可以揭出各种矩阵问题的 奥秘，初等矩阵的应用不仅限制在这些方面，还在数学的其他分支以及自然科学， 现代经济学，管

18、理学和工程技术领域等方面具有广泛的应用，总而言之，解决矩 阵问题中初等矩阵是我们有力的帮手。 学 士 学 位 论 文 BACHELOR S THESIS 13 参考文献 1 王朝瑞 编著 .线性代数学习指导 M. 北京：北京理工大学出版社 （1999.9）60-61 2 任卉主 编.线性代数全程导学及习题全解M. 北京：中国时代经济出版社 （2006.6）46-47 3 苏育才，姜翠波，张跃辉 编. 矩阵理论M.北京：科学出版社,2006.9-10 4 居余马等编 .线性代数M.北京：清华大学出版社,1994. 77-78 5 陈维新编著.线性代数简明教程M. 北京：科学出版社,2001.8.

19、103-109 6 朱玉清 主编. 线性代数M .北京：国防工业出版社,2007.8.77-79 7 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编 .高等代数M.北京： 高等教育出版社 （2003.9）187-190 8 刘仲奎等编. 高等代数 M. 北京：高等教育出版社,2003.6，73-74 学 士 学 位 论 文 BACHELOR S THESIS 14 致 谢 毕业论文是每个毕业生毕业之前的重要问题. 在喀什师范学院的教育下，经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到 了很大的提高. 在老师的指导下，我的毕业论文顺利通过.他帮助我批阅了好多次，提供这方 面的资料和很好的意见，所以非常感谢他的帮助.在老师耐心的指导下，我学会了 论文的三步：怎样开头，怎样继续，怎样结束. 非常感谢指导老师，也非常感谢我系的各位老师.在他们的教育下，使我在个 方面得到了很大的提高，为以后工作打下了良好的基础. 此致 敬礼 阿依努尔.玉苏甫 2011 年 4 月 25 日