角平分线性质复习

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1、角的平分线的性质（习题课2课时）教学目标:1:角平分线是过角的顶点，且在角的内部的一条射线，它把一个角分成两个相等的角，它与角的两边三线共点.(角的顶点)2:角平分线是到角两边距离相等的所有点的集合.关于这一点需从两个方面去说明：角平分线上的点到角两边的距离相等.到角两边距离相等的点在角平分线上.进而推广到一般，若要证明某一图形B是满足条件A的点的集合，要说明两点：图形B上的所有点满足条件A.满足条件A的所有点都在图形B上.3:关于命题“角平分线上的点到角两边距离相等”的证明，先要分清题目的题设部分及结论部分.依照命题准确作出图形，写出已知、求证，再利用相关知识进行证明，这也是证明一个命题(定

2、理)的几个基本步骤.4:角平分线性质定理及其逆定理(判定定理)的证明分别利用了全等三角形中“AAS”定理及“HL”公理.难点：是“角平分线是到角两边距离相等的点的集合”这一结论的理解及运用.教学过程:例1 ABC中，C=90，AD为角平分线，BC=64，BDDC=97,求D到AB的距离.(图3.9-1)图3.9-1分析 设DE为D到AB的距离，由角平分线性质CD=DE，再由已知可求CD、DE.解 作DEAB于E，C=90，DCAC，又AD为BAC平分线，DC=DE，BC=64，BDDC=97DC=64=28 DE=28例2 求证：三角形三条内角平分线交于一点.分析 此类命题证明需先作图，写出已

3、知、求证，再根据条件进行证明.证明三直线共点，常用方法之一为二直线的交点必在第三条直线上，此题中，可考虑如图3.9-2，设ABC与ACB的平分线交于O，再证AO平分BAC.图3.9-2已知：ABC中，AA，BB，CC为角平分线，求证AA，BB，CC交于一点.证 设BB，CC交于O，过O分别作ODBC于D，DEAC于E，OFAB于F，O在ABC平分线上，OD=OF.O在ACB平分线上，OE=OD OE=OF.O在BAC平分线上，即O在AA上，AA，BB，CC交于一点.注：该点称为三角形内心.例3 定理“末位数字为0的整数能被5整除”是否存在逆定理？请说明理由.分析 先写出逆命题：“能被5整除的整

4、数末位数字是0”，再说明逆命题的真假，显然这是一个假命题，我们只需举一反倒即可，例如15能被5整除，但末位数字为5，故逆命题为假命题，因此原定理没有逆定理例4 判断命题“两整数相加，和为整数”的逆命题的真假.解 逆命题为“和为整数，则两加数必为整数”，它是一个假命题，如“+=1，+=2”等，都能说明逆命题为假命题.【难题巧解点拨】例1 ABC的周长为41cm,边BC=17cm,角平分线AD将ABC分为面积比为35的两部分，且ABAC，求AB，AC.(图3.9-3)图3.9-3分析 设AB=x,AC=y,则有x+y+17=41，而SABDSADC=35,此条件不好利用，故考虑AD为角平分线，它到

5、两边的距离相等，即ABD中AB边上的高，ADC中AC边上的高相等，从得求出xy,进而求出x,y.解 作DEAB于E，DFAC于F.AD为角平分线DE=DF ABAC，SABDSADC=（DEAB）（DFAC）=ABAC=35x+y+17=41 xy=35 (xy)x=9,y=15 即AB=9cm, AC=15cm.例2 “三角形两内角平分线的交点到三角形三边距离相等”这一命题的逆命题是真命题还是假命题？图3.9-4分析 先要写出逆命题：到三角形三边距离相等的点是两内角平分线的交点.该命题是一个假命题.例如：图3.9-4，P为ABC的两外角MBC和NCB的角平分线交点.此时P到三边AB、AC、B

6、C的距离PD=PF=PE.而P不为ABC的内角平分线交点.注意：不要误以为过点向ABC三边的作垂线那么垂足一定都落在边上，也可落在边延长线上，从这里入手证明逆命题为一假命题.【同步达纲练习】一、判断（3分8=24分）( )1.P为AOB内一点，C在OA上，D在OB上，若PC=PD，则OP平分AOB.( )2.到角两边距离不相等的一点一定不在角平分线上.( )3.因为“三内角对应相等的两个三角形全等”是假命题，所以它的逆命题也是假命题.( )4.三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三顶点的距离相等.( )5.任何命题都有逆命题.( )6.任何定理都有逆定理.( )7.“三角形三条角平分线交点到

7、三边距离相等”这个命题的逆命题是真命题.( )8.有命题“若x=y，则x2=y2”的逆命题是个假命题.二、填空(4分8=32分)1.角平分线是到角的两边 相等的所有点的 .2.三角形三内角平分线 ，该点到三边的距离 .3.“对顶角相等”的逆命题是 ，它是一个 命题.4.P在MON的角平分线上，PAOM于A，PBON于B，PA+PB=12，则PA= ，PB= .5.一个定理的 是正确的时，我们称它为原定理的 .6.“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是 ，它是一个 命题.7.定理“同位角相等，两直线平行”的逆定理是 .三、选择(5分6=3分)1.下列说法正确的是( )A.每个命题都有逆命

8、题 B.每个定理都有逆定理C.真命题的逆命题也是真命题 D.假命题的逆命题是假命题2.P、Q为AOB内两点，且AOP=POQ=QOB=AOB，PMOA于M，QNOB于N，PQOP,则下面结论正确的是( )A.PMQM B.PM=QN C.PMQN D.PM=PQ3.下列关于三角形角平分线的说法错误的是( )A.两角平分线交点在三角形内 B.两角平分线交点在第三个角的平分线上C.两角平分线交点到三边距离相等 D.两角平分线交点到三顶点距离相等4.下列命题中，正确的命题有几个( )对顶角相等;相等的角是对顶角;不是对顶角的两个角就不相等;不相等的角不是对顶角A.1个 B.2个 C.3个 D.0个5

9、.设a,b为实数，下面四个命题.若ab, 则a2b2 若a2b2, 则ab若， 则a2b2 若a2b2 则其中正确的有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.下列命题真命题是( )A.同位角相等 B.同旁内角相等，两直线平行C.不相等的角不是内错角 D.同旁内角不互补，两直线不平行四、解答题(7分2=14分)1.如图3.9-6，P为AOB内一点，OA=OB，且OPA与OPB面积相等，求证AOP=BOP.2.ABC的外角CBD，BCE的角平分线交于点F，求证AF平分BAC.【素质优化训练】1.如图3.9-7，AB=AC，AD=AE，BD、CE交于O，求证AO平分BAC.图3.9-72.ABC中，AB=BC=CA，三内角平分线交于O，OPAB于P，OMBC于M，ONCA于N，AHBC于H.求证OP+OM+ON=AH.【生活实际运用】1.如图(3.9-8)，某铁路MN和公路PQ相交于点O，且交角为90,某仓库G在A区，到公路、铁路距离相等(即G在NOQ的平分线上)，且到公路与铁路的相交点O的距离为200m.(1)在图上标出仓库G的位置(比例尺110000,用圆规作图，保留作图痕迹，不写作法)：(2)求出仓库G到铁路的实际距离.