立体几何空间角

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1、空 间 角专讲座题 及 其 求 法 教 材 地 位 分 析高 考 地 位 分 析（ 1） 立 体 几 何 板 块 主 要 有 两 大 类 型 （ 1） 判 断 、 推 理 型 （ 2） 有 关 的几 何 量 的 计 算 ， 其 中 包 括 空 间 角 、 空 间 距 离 、 体 积 的 计 算 。 空 间 角 及 其 求 法 是 是 立 体 几 何 包 括 的 重 要 组 成 部 分 ， 是 立 体 几 何板 块 的 一 个 重 点 ， 也 是 难 点 。（ 2）在 历 届 高 考 中 ， 空 间 角 及 其 求 法 是 每 年 必 考 的 内 容 ， 与 距 离 的 计 算 、 线面 位 置

2、 关 系 论 证 形 成 新 的 热 点 ， 该 部 分 的 分 值 约 6-16分 ， 属 于 中 等 难 度 。 立 体 几 何 高 考 分析 高 考 中 ， 立 体 几 何 板 块 往 往 有 4个 题 目 ： 2个 选 择 题 ， 一 个 填 空 题和 1个 大 题 。 在 大 题 中 ， 一 般 是 论 证 题 和 空 间 角 （ 距 离 ） 计 算 组 成 。在 选 择 题 中 有 时 有 一 个 题 考 查 空 间 角 的 求 法 。理 解 空 间 角 的 概 念 、 会 求 空 间 角 的 大 小 。 异 面 直 线 所 成 角 直 线 与 平 面 所 成 角 二 面 角图 形

3、定义表 示范 围要 点 用 什 么 度 量 ？2,0 ）（ 面 棱 面 l 0 ，2,0 （ 从 一 条 直 线 引 出 的 两个 半 平 面 所 组 成 的 图形 叫 做 二 面 角 。在 空 间 任 取 一 点 o， 分 别作 a， b的 平 行 线 ， 从 而形 成 的 的 锐 （ 直 ） 角异 面 直 线 a， b所 成 角 斜 线 与 它 在 平 面内 的 射 影 所 成 的锐 角 。线 a与 平 面 所 成 角找 适 当 点 、 找 射 影 、 二 足作 平 行 线 相 连 1.作 出 所 求 的 空 间 角 2.证 明 所 作 的 角 符 合 定 义 3.构 造 三 角 形 并

4、求 出 所 要 求 角 简 言 之 ， 空 间 角 的 求 解 步 骤 为 ： “一 作 ”“二 证 ”“三 算 ”“一 作 ” “二 证 ” “三 算 ” 过 D1作 D1E/AM， 再 过 N作 NG/D1E， 显 然 为 异 面直 线 AM与 CN所 成 角 。 通 过 解 即 可 。 过 D1作 D1E/AM， 作 D1F/CN， 显 然 为 异 面 直 线 AM与 CN所 成 角 。 通 过 解 即 可 。A B CD1A 1B 1C1DNE FM EFD1EFD1 A B CD1A 1B 1C1DNE M途 径 一 途 径 二G途 径 一途 径 二 NGCNGC 如 图 ， 正 方

5、 体 ， M、 N分 别 为 ， 的中 点 ， 求 直 线 AM与 CN所 成 角 。 1111 DCBAABCD 1DD 11DA例 1. 方 法 提 炼 例 1. 如 图 棱 长 是 1的 正 方 体 ， P、 Q 分 别 是 棱 AB、 CC1上 的 内分 点 ， 满 足 21 QCCQPBAP. （ 1） 求 证 ： A1P 平 面 AQ D；（ 2） 求 直 线 PQ与 平 面 AQD所 成 角 的 正 弦 值 . RP QAA1 CD BD1 C1B1 方 法 提 炼（ 1） 易 证 ， 略（ 2） 如 何 作 出 线 面 角 ？过 Q作 QR平 行 AD， 交 BB1与 R， 连

6、接 AR， 易 知 面 ADQR即 为 面 AQD 由 （ 1） 知 A1P 面 AQD， 设A1P交 AR与 S， 连 接 SQ即 可 。由 以 上 的 作 法 可 知 即 为 所 求 角 。SQP S解 析 只 需 解 QSP即 可 。 在 四 棱 锥 P-ABCD中 ， 已 知 ABCD为 矩 形 ， PA 平 面ABCD， 设 PA=AB=a， BC=2a， 求 二 面 角 B-PC-D的 大 小 。例 2. DPB CA EF解 析 1 定 义 法 过 D作 DE PC于 E， 过 E作 EF PC于 F，连 接 FD， 由 二 面 角 的 平 面 角 的 定 义 可 知 是 所 求

7、 二 面 角 B-PC-D的 平 面 角 。 求 解 二 面 角 B-PC-D的 大 小 只 需 解 DEF即 可 。 SQP 解 析 2P B CA DNM Q 垂 面 法 易 证 面 PAB 面 PBC， 过 A作 AM BP于 M， 显 然 AM 面 PBC， 从 而 有 AM PC， 同 法 可 得 AN PC， 再 由 AM与 AN相交 与 A得 PC 面 AMN。 设 面 AMN交 PC于 Q，则 为 二 面 角 B-PC-D的 平 面 角 ； 再 利用 三 面 角 公 式 可 解 。MQN 跳 转 易 证 面 PEDA PDC， 过 E作 EF PD于 F， 显然 PF 面 PD

8、C， 在 面 PCE内 ， 过 E作 EG PC于 G，连 接 GF， 由 三 垂 线 得 GF PC 即 角 EGF为 二 面 角 E-PC-D的 平 面 角 ， 只 需 解 EFG即 可 。 由 解 析 3的 分 析 过 程 知 ， PFC为 PEC在 面 PDC上 的 射 影 ， 由 射 影 面 积 公 式 得 sin ， 余 下 的 问 题 比 较 容 易 解 决 ！ 在 四 棱 锥 P-ABCD中 ， 已 知 ABCD为 矩 形 ， PA 平 面 ABCD， 设PA=AB=a， BC=2a， 求 二 面 角 B-PC-D的 大 小 。PB CA DEF PB CA D解 析 3例 2

9、. E利 用 三 垂 线 求 解 FG 把 四 棱 锥 P-ABCD补 成 如 图 的 直 三 棱 柱PAB-EDC， 显 然 二 面 角 E-PC-D与 二 面 角 D-PC-B互 补 ， 转 化 为 求 二 面 角 E-PC-D。EGF 解 析 4射 影 面 积 法105 跳 转 在 四 棱 锥 P-ABCD中 ， 已 知 ABCD为 矩 形 ， PA 平 面ABCD， 设 PA=AB=a， BC=2a， 求 二 面 角 B-PC-D的 大 小 。 DB CAP解 析 5例 3.利 用 空 间 余 弦 定 理 求 解 在 面 PDC内 ， 分 别 过 D、 B作 DE PC于E， BF P

10、C于 F， 连 接 EF即 可 。 EF 利 用 平 面 知 识 求 BF、 EF、 DE的 长 度 ，再 利 用 空 间 余 弦 定 理 求 出 即 可 。 复 习 方 法 提 炼 针 对 训 练 1 已 知 二 面 角 l ， A为 面 内 一 点 ， A到 的距 离 为 2 ， 到 l 的 距 离 为 4。 求 二 面 角 l 的 大 小 。A .O lD OA BP CE E OP针 对 训 练 2 如 图 ， 三 棱 锥 P-ABC的 顶 点 P在 底 面 ABC上 的 射 影 是底 面 Rt ABC斜 边 AC的 中 点 O， 若 PB=AB=1， BC= ， 求 二 面角 P-A

11、B-C的 正 切 值 。 2KEY: 22 KEY: 6 撤 消 针 对 训 练 3 如 图 P为 二 面 角 内 一 点 ， PA , PB ,且 PA=5，PB=8， AB=7， 求 这 二 面 角 的 度 数 。 B PA OKEY 120针 对 训 练 4 在 直 角 坐 标 系 中 ， 设 A （ 2 , 3 ） 、 B（ 3 ， 2 ） ， 沿 x轴 把直 角 坐 标 平 面 折 成 大 小 为 的 二 面 角 后 ， ， 则 的 值 为 。 24AB xyoA B y A B xo 本 专 题 主 要 复 习 空 间 角 （ 包 括 异 面 直 线 所 成 角 、 直 线 与 平

12、面 所 成 角 、 二 面 角 ） 的 定 义 、 求 法 ， 可 总 结 为 ：空 间问 题 技 巧 “ 移 ” 、 “ 补 ” 、 “ 换 ” 平 面问 题 线 线 角 ， 用 平 移 ， 妙 选 顶 点 ，线 面 角 ， 作 射 影 ， 二 足 相 连 。二 面 角 ， 求 法 多 ， 空 间 余 弦 ，用 定 义 ， 三 垂 线 ， 射 影 垂 面 。熟 化 归 ， 解 三 角 ， 算 准 结 果 ，作 证 求 ， 三 环 节 ， 环 环 相 扣 。 求 解 的 基 本 思 路 为 ： 本专题到此结束，各位领导、老师、朋友，请批评、指正！ 1.定 义 以 二 面 角 的 棱 上 任 意

13、 一 点 为 端 点 ， 在 两 个 面 上 分别 引 垂 直 于 棱 的 两 条 射 线 ， 这 两 条 射 线 所 成 的 角 叫 做二 面 角 的 平 面 角 。OO ABA B AOB BOA ? 等 角 定 理 ： 如 果 一 个 角 的 两 边 和 另一 个 角 的 两 边 分 别 平 行 ， 并 且 方 向 相同 ， 那 么 这 两 个 角 相 等 。l 二 面 角 的 平 面 角 必 须 满 足 ：（ 1） 角 的 顶 点 在 棱 上 。（ 2） 角 的 两 边 分 别 在 两 个 面 内 。（ 3） 角 的 边 都 要 垂 直 于 二 面 角 的 棱 。 返 回 求 两 条

14、异 面 直 线 所 成 的 角 关 键 在 于 妙 选 点 、 作 平 线 。常 选 中 点 或 线 端 点 ， 利 用 中 位 线 的 性 质 或 平 行 四 边 形 的 性 质 等 作出 符 合 要 求 的 平 行 线 。 返 回中 点方 法 提 炼 1 方 法 提 炼 1 求 两 条 异 面 直 线 所 成 的 角 关 键 在 于 妙 选 点 、 作平 行 线 。 常 选 中 点 或 线 端 点 ， 利 用 中 位 线 的 性 质 或 平 行 四 边 形 的性 质 等 作 出 符 合 要 求 的 平 行 线 。 返 回 求 直 线 和 平 面 所 成 角 要 领 “ 找 射 影 ， 二

15、足 相连 ” 。 由 于 平 面 的 一 条 斜 线 在 这 个 平 面 的 射 影 只 有 一 条 ， 所 以 关键 在 于 寻 该 斜 线 在 面 上 的 射 影 。方 法 提 炼 2 撤 消 求 二 面 角 的 方 法 比 较 多 ， 常 见 的 有（ 1） 定 义 法 在 棱 上 的 点 分 别 作 棱 的 垂 线 ， （ 3） 垂 面 法 在 棱 上 的 点 分 别 作 棱 的 垂 线 ， （ 2） 利 用 三 垂 线 求 解 在 棱 上 的 点 分 别 作 棱 的 垂 线 ，(1)定 义 法 （ 点 在 棱 上 ）(3) 垂 面 法 （ 点 在 空 间 内 ）oA B o AAo

16、B l ll(2) 三 垂 线 定 理 法（ 点 在 面 内 ）如 例 3解 析 1如 例 3解 析 2如 例 3解 析 3方 法 提 炼 3 （ 4） 射 影 面 积 法 利 用 射 影 面 积 与 斜 面 的 关 系 求 解如 图 所 示 ， 射 影 DBC、 斜 面 ABC与 两 面 所成 的 二 面 角 之 间 有 ： ABCDBCSS cos AB C DHM （ 5） 空 间 余 弦 定 理运 用 公 式 求 解 ， 如 例 3解 析 5 cos2 2222 mnnmdEF 返 回 方 法 提 炼 3（ 续 ） 推 广 E Fm ndC ln mc n mc推 广 2 2 2 2 2 2 2abcos EF2 2 2+d 2 2abcos 撤 消 cos22222 mnnmdEF 用 此 公 式 为 空 间 余 弦 定 理 ， 可 求 异 面 直 线 上 两 点 的 距 离 ， 异 面 直 线所 成 角 ， 还 可 求 二 面 角 的 平 面 角 。 如 图 ， CBF= 为 二 面 角 的 平 面 角 ， 在 CBF中 ，由 余 弦 定 理 可 求 得 CF cos2222 mnnmCF 再 由 RtECF可 得 E Fm ndABC lmd 返 回