天津市十二区县高考数学一模试卷（理科）含答案解析

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1、2016年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分1已知全集U=0，1，2，3，4，5集合A=1，2，3，5，B=2，4，则（UA）B为（）A0，2，4B2，3，5C1，2，4D0，2，3，52设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A0B3C6D123如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（）Ay=x+1的图象上By=2x的图象上Cy=2x的图象上Dy=2x1的图象上4下列说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x1”B若a，bR，则“ab0”是“a0”的充分不必要条件C命题“x0R

2、，x02+x0+10”的否定是“xR，x2+x+10”D若“p且q”为假，则p，q全是假命题5已知双曲线C：=1（a0，b0）的离心率，点P是抛物线y2=4x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，x）的距离与到直线x=1的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（）A=1Bx2=1Cy2=1D=16在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为S，且6S=（a+b）2c2，则tanC等于（）A B C D7如图，PT切O于点T，PA交O于A，B两点，且与直径CT交于点D，CD=3，AD=4，BD=6，则PB=（）A6B8C10D148已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x

3、）=m（|x2|+|x4|），（m0），若函数y=ff（x）4m恰有4个零点，则实数m的取值范围（）A B C D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9i是虚数单位，复数=10在的二项展开式中，x2的系数为11已知曲线y=x1与直线x=1，x=3，x轴围成的封闭区域为A，直线x=1，x=3，y=0，y=1围成的封闭区域为B，在区域B内任取一点P，该点P落在区域A的概率为12一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为3的正方形，则该机器零件的体积为13直线l：（t为参数），圆C：=2cos（+）（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长

4、度相同），若圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为，则实数a的取值范围为14如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，若集合M=，N=则MN=三、解答题：本大题6小题，共80分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤15已知函数，xR（）求f（x）最小正周期；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值16某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A类题有4个不同的小题，B类题有6个不同的小题，某考生从中任抽取四道题解答（）求该考生至少抽取到2道B类题的概率；（）设所抽取的四道题中B类题的个数为X，求随机变量X的分布列与期望17

5、如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC=4，EF=2a，EBC=FCB=60，O为EF的中点（） 求证：AOBE；（） 求二面角FAEB的余弦值；（） 若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为，求实数a的值18设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（）求椭圆E的离心率e；（）PQ是圆C：（x+2）2+（y1）2=的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程19己知非单调数列an是公比为q的等比数列，且a1=，a2=16a4，记bn=（I）

6、求an的通项公式；（）若对任意正整数n，|m1|3bn都成立，求实数m的取值范围；（）设数列b2n，b2n1的前n项和分别为Sn，Tn证明：对任意的正整数n，都有2Sn2Tn+320已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax+b（1）若函数h（x）=f（x）g（x）在（0，+）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x22e2（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）2016年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷（理科

7、）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分1已知全集U=0，1，2，3，4，5集合A=1，2，3，5，B=2，4，则（UA）B为（）A0，2，4B2，3，5C1，2，4D0，2，3，5【考点】交、并、补集的混合运算【分析】由全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可【解答】解：全集U=0，1，2，3，4，5，集合A=1，2，3，5，UA=0，4，B=2，4，（UA）B=0，2，4故选A2设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A0B3C6D12【考点】简单线性规划【分析】由题意作平面区域，化目标函数z=x+2y为y=x+z，从而求得【解

8、答】解：由题意作平面区域如下，化目标函数z=x+2y为y=x+z，结合图象可得，过点A（0，3）时有最大值为z=0+6=6，故选：C3如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（）Ay=x+1的图象上By=2x的图象上Cy=2x的图象上Dy=2x1的图象上【考点】程序框图【分析】根据程序框图中的运算规律确定出所求函数解析式即可【解答】解：根据题意得：程序框图输出的所有点都在函数y=2x1的图象上，故选：D4下列说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x1”B若a，bR，则“ab0”是“a0”的充分不必要条件C命题“x0R，x02+x0+10”的否定是“xR，x2+x

9、+10”D若“p且q”为假，则p，q全是假命题【考点】命题的真假判断与应用【分析】A否命题是即否定条件又否定结论；B根据充分条件和必要条件的概念判定即可；C存在命题的否定：把存在改为任意，再否定结论；D且命题的概念判断即可【解答】A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x21，则x1”，故错误；B若a，bR，则“ab0”可推出a0且b0，但由a0推不出ab0，故是充分不必要条件，故正确；C命题“x0R，x02+x0+10”的否定是“xR，x2+x+10”，故错误；D若“p且q”为假，则p，q不全是真命题，故错误故选B5已知双曲线C：=1（a0，b0）的离心率，点P是抛物线y2=4x上的一动

10、点，P到双曲线C的上焦点F1（0，x）的距离与到直线x=1的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（）A=1Bx2=1Cy2=1D=1【考点】双曲线的简单性质【分析】确定抛物线的焦点坐标和准线方程，双曲线的离心率，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=1的距离之和的最小值为，可得FF1=，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线的方程为x=1，双曲线C：=1（a0，b0）的e=，由P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=1的距离之和的最小值为，由抛物线的定义可得P到准线的距离即为P到焦点的距离为|

11、PF|，可得|PF|+|PF1|的最小值为，当P，F，F1三点共线，可得最小值|FF1|=，即有c=，由c2=a2+b2，解得a=2，b=1，即有双曲线的方程为x2=1故选：B6在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为S，且6S=（a+b）2c2，则tanC等于（）A B C D【考点】余弦定理；正弦定理【分析】首先由三角形面积公式得到SABC=absinC，再由余弦定理，结合6S=（a+b）2c2，得出3sinC2cosC=2，然后通过（3sinC2cosC）2=4，求出结果即可【解答】解：ABC中，SABC=absinC，由余弦定理：c2=a2+b22abcosC

12、，且6S=（a+b）2c2，3absinC=（a+b）2（a2+b22abcosC），整理得3sinC2cosC=2，（3sinC2cosC）2=4=4，化简可得 5tan2C12tanC=0C（0，180），tanC=，故选：C7如图，PT切O于点T，PA交O于A，B两点，且与直径CT交于点D，CD=3，AD=4，BD=6，则PB=（）A6B8C10D14【考点】与圆有关的比例线段【分析】圆中的性质相交弦定理、切割线定理应用【解答】解：由相交弦定理得：ADBD=CDDT，即46=3DT，解得DT=8设PB=x，PT=y因为PT为切线，所以DTPT，在RtPDT中，PT2+DT2=PD2，即y

13、2+64=（6+x）2由切割线定理知，PT2=PBPA，即y2=x（x+10）联立得，x=14故选：D8已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=m（|x2|+|x4|），（m0），若函数y=ff（x）4m恰有4个零点，则实数m的取值范围（）A B C D【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质【分析】利用换元法将函数进行转化，利用数形结合以及分类讨论进行求解即可【解答】解：设f（x）=t，（t0）则由y=ff（x）4m=0得ff（x）=4m，即f（t）=4m，则m（|t2|+|t4|）=4m，则|t2|+|t4|=4，得t=5，或t=1，若t=1，则f（x）=m（|x2|+|x4|

14、）=1，即|x2|+|x4|=，若t=5，则f（x）=m（|x2|+|x4|）=5，即|x2|+|x4|=，设g（x）=|x2|+|x4|，（x0），函数f（x）是偶函数，要使函数y=ff（x）4m恰有4个零点，则等价为当x0时，函数y=ff（x）4m恰有2个零点，作出g（x）在0，+）上的图象如图：，即，即m，即，即0m，综上实数m的取值范围是，故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9i是虚数单位，复数=【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】将复数分母实数化，分子、分母同乘以（1+i），化简即可【解答】解： =；故答案为：10在的二项展开式

15、中，x2的系数为90【考点】二项式系数的性质【分析】写出二项展开式的通项，再由x的指数等于2求得r，则答案可求【解答】解：由，得=，由，得r=2x2的系数为故答案为：9011已知曲线y=x1与直线x=1，x=3，x轴围成的封闭区域为A，直线x=1，x=3，y=0，y=1围成的封闭区域为B，在区域B内任取一点P，该点P落在区域A的概率为【考点】几何概型【分析】根据积分的应用，求出区域的面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可【解答】解：作出曲线对应的平面区域，则区域B是边长分别为1，2的矩形，则面积SB=2，区域A的面积SA=dx=lnx=ln3ln1=ln3，则对应的概率P=，故答案为：12一

16、个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为3的正方形，则该机器零件的体积为【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是半球的一半、下面是正方体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、球体的体积公式求出几何体的体积【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是半球的一半、下面是正方体，且球的半径是，正方体的棱长是3，几何体的体积V=故答案为：13直线l：（t为参数），圆C：=2cos（+）（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为，则实数a的取值范围为，2【考点】参数方程化成普通方程【分析】求出直线l

17、与圆C的普通方程得出圆C的半径，利用点到直线的距离公式列出不等式解出a的范围【解答】解：直线l的普通方程为2x+aya=0=2cos（+），2=2cos2sin，圆C的直角坐标方程为：x2+y2=2x2y，即（x1）2+（y+1）2=2圆C的圆心为C（1，1），圆C的半径r=圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为，圆心C到直线l的距离0d即0解得故答案为：，214如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，若集合M=，N=则MN=，2【考点】平面向量数量积的运算【分析】用表示，根据的范围求出的范围，即M的范围，根据基本不等式求出N的

18、范围，得出MN【解答】解：，01=（）=（）（）=+=2M=0，2ab，ab=1，ab0，=2=N=x|x=，ab，ab=1=，+）MN=，2故答案为：三、解答题：本大题6小题，共80分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤15已知函数，xR（）求f（x）最小正周期；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=（1）由周期公式可得；（2）由x的范围和三角函数的最值可得【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x）=cos2x+cos2（x）=（1）函数f（x）的最小正周期；（2）函数f（x）在单调递增，在单调递

19、减，16某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A类题有4个不同的小题，B类题有6个不同的小题，某考生从中任抽取四道题解答（）求该考生至少抽取到2道B类题的概率；（）设所抽取的四道题中B类题的个数为X，求随机变量X的分布列与期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列【分析】（）设事件A：”该考生至少取到2道B类题”，利用对立事件概率计算公式能求出该考生至少抽取到2道B类题的概率（2）随机变量X的取值分别为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列与期望【解答】解：（）设事件A：”该考生至少取到2道B类题”，P（A）

20、=（2）随机变量X的取值分别为0，1，2，3，4，随机变量X的分布列为：X01234P随机变量X的期望为：17如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC=4，EF=2a，EBC=FCB=60，O为EF的中点（） 求证：AOBE；（） 求二面角FAEB的余弦值；（） 若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为，求实数a的值【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法【分析】（I）由等边三角形性质得出AOEF，利用面面垂直的性质得出AO平面EFCB，故AOBE；（II）以O为原点建立空间直角坐标系，则=（0，0，1）为平

21、面AEF的一个法向量，求出平面ABE的法向量，则cos与二面角的余弦值相等或相反（III）令|cos|=，列方程解出a【解答】证明：（）AEF为等边三角形，O为EF的中点，AOEF，又平面AEF平面EFCB，平面AEF平面EFCB=EF，AO平面AEF，AO平面EFCB，又BE平面EFCB，AOBE（）取CB的中点D，连接OD，则ODEF，以O为原点，分别以OE、OA、OD为坐标轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），E（a，0，0），F（a，0，0）， =（a，a，0），设平面AEB的一个法向量，则，令y=1，得=（，1，1）平面AEF的一个法向量为，=1，|=，|=1，由二面角FAEB为

22、钝二面角，二面角FAEB的余弦值为（），=4，|=，|=，cos，=，6a212a+16=10，解得a=118设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（）求椭圆E的离心率e；（）PQ是圆C：（x+2）2+（y1）2=的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（I）运用分点坐标公式可得M的坐标，再由直线的斜率公式和离心率公式，计算即可得到；（II）解法一、设出PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径，计算即可得到所求方程；解法二、设P（

23、x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程，作差，结合直线的斜率公式，可得PQ的斜率，求得PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式计算即可得到所求椭圆方程【解答】解：（I）A（a，0）B（0，b）点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|M，椭圆E的离心率e为；（II）解法一：由（I）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2（1），依题意，圆心C（2，1）是线段PQ的中点，且易知，PQ不与x轴垂直，设其直线方程为y=k（x+2）+1，代入（1）得（1+4k2）x2+8k（2k+1）x+4（2k+1）24b2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，由x1+x2=4，得，解得从而于

24、是，由，得，2b24=6，解得b2=5故椭圆 E的方程为解法二：由（I）知，椭圆 E的方程为x2+4y2=4b2（1），依题意点P、Q关于圆C（2，1）对称且，设P（x1，y1），Q（x2，y2）则，两式相减得4（x1x2）+8（y1y2）=0，易知PQ不与x轴垂直，则x1x2，PQ的斜率为，设其直线方程为，代入（1）得x2+4x+82b2=0x1+x2=4于是，由，得，2b24=6解得b2=5 故椭圆 E的方程为19己知非单调数列an是公比为q的等比数列，且a1=，a2=16a4，记bn=（I）求an的通项公式；（）若对任意正整数n，|m1|3bn都成立，求实数m的取值范围；（）设数列b2n

25、，b2n1的前n项和分别为Sn，Tn证明：对任意的正整数n，都有2Sn2Tn+3【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（）由a2=16a4，结合数列是非单调数列求出等比数列的公比，可得等比数列的通项公式；（）由bn=，得，分n为奇偶数求出bn的最大值，代入|m1|3bn，解得m2或m0；（）放缩得到，代入SnTn=（b2b1）+（b4b3）+（b2nb2n1）可得2Sn2Tn3，即2Sn2Tn+3【解答】（）解：数列an是公比为q的等比数列，且a1=，a2=16a4，解得q=，数列是非单调数列，q=，则；（）解：由bn=，得，当n为奇数时，；当n为偶数时，且bn为减函数，则|m1|3bn=1，

26、解得m2或m0；（）证明：=，SnTn=（b2b1）+（b4b3）+（b2nb2n1）=2Sn2Tn3，即2Sn2Tn+320已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax+b（1）若函数h（x）=f（x）g（x）在（0，+）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x22e2（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）把f（x）和g（x）代入h（x）

27、=f（x）g（x），求其导函数，结合h（x）在（0，+）上单调递增，可得对x0，都有h（x）0，得到，由得到a的取值范围；（2）设切点，写出切线方程，整理得到，令换元，可得a+b=（t）=lnt+t2t1，利用导数求其最小值；（3）由题意知，把a用含有x1，x2的代数式表示，得到，不妨令0x1x2，记，构造函数，由导数确定其单调性，从而得到，即，然后利用基本不等式放缩得到，令，再由导数确定G（x）在（0，+）上单调递增，然后结合又得到，即【解答】（1）解：h（x）=f（x）g（x）=，则，h（x）=f（x）g（x）在（0，+）上单调递增，对x0，都有，即对x0，都有，a0，故实数a的取值范围是（，0；（2）解：设切点，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得，令a+b=（t）=lnt+t2t1，则，当t（0，1）时，（t）0，（t）在（0，1）上单调递减；当t（1，+）时，（t）0，（t）在（1，+）上单调递增，a+b=（t）（1）=1，故a+b的最小值为1；（3）证明：由题意知，两式相加得，两式相减得，即，即，不妨令0x1x2，记，令，则，在（1，+）上单调递增，则，则，又，即，令，则x0时，G（x）在（0，+）上单调递增，又，则，即2016年7月21日第24页（共24页）