高中数学圆的方程典型例题

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1、 高中数学圆的方程典型例题直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，判定方法有两种：代数法：直线：Ax+By+C=0，圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0，联立得方程组一元二次方程（2）几何法：直线:Ax+By+C=0，圆：(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心（a，b）到直线的距离为d=，则、圆和圆的位置关系：设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：|O1O2|r1+r2两圆外离；|O1O2|=r1+r2两圆外切；| r1-r2|O1O2| r1+r2两圆相交；| O1O2 |=| r1-r2|两圆内切；0| O1O2|1 Ck或k1 Dk

2、R 2. 方程x1所表示的曲线是 ( )A一个圆 B两个圆 C半个圆 D两个半圆类型二：直线与圆的位置关系(一） 相交1、（1）求直线被.圆所截得的弦的长度； （2）过点的直线与圆相交截得的弦长为，求直线的方程。2、圆心在直线上，与轴相切，且与直线相交所得弦长为，求该圆的方程. （二） 相切1、已知直线与圆相切，则的值为 .2已知圆，求过点及与圆相切的切线方程3、过圆外一点，作这个圆的两条切线、，切点分别是、，求直线的方程。（三） 相离（四）切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5线例6 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程练习：2、过坐标原点且与圆相切的直线的方程为 解：设直线方程为

3、，即.圆方程可化为，圆心为（2，-1），半径为.依题意有，解得或，直线方程为或.3、类型三：弦长、弧问题例9、直线截圆得的劣弧所对的圆心角为 例10、求两圆和的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线和圆，判断此直线与已知圆的位置关系.例12、若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.例13 圆上到直线的距离为1的点有几个？方法总结：到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断练习：2. 直线与圆没有公

4、共点，则的取值范围是 3、圆上到直线的距离为的点共有（ ）（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个4、过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点， 5已知圆的一条直径通过直线被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（ ）A B C D6曲线与直线有两个交点时，实数的取值范围是（ ）A B C D7设点（）在圆的外部，则直线与圆的位置关系是（ ）A相交 B相切 C 相离 D不确定8. 过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )A B C D9已知是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为 类型五：圆与圆的位置关系例14、判断圆

5、与圆的位置关系，例15：圆和圆的公切线共有 条。1：若圆与圆相切，则实数的取值集合是 .2：求与圆外切于点，且半径为的圆的方程.类型六：圆中的对称问题例16、圆关于直线对称的圆的方程是 例17一束光线从点A（1，1）出发经x轴反射到圆C：（x2）2（y3）21的最短路程是 思考：自点发出的光线射到轴上，被轴反射，反射光线所在的直线与圆相切（1）求光线和反射光线所在的直线方程（2）光线自到切点所经过的路程类型七：圆中的最值问题例18：圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 例19(1)已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值(2)已知圆，为圆上任一点求的最大、最小值，求的最大、最小值例20：已知

6、，点在圆上运动，则的最小值是 .1：已知点在圆上运动.（1）求的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值.2 设点是圆是任一点，求的取值范围3、已知点，点在圆上运动，求的最大值和最小值.类型八： 轨迹问题例21、已知 点与两个定点，的距离的比为，求点的轨迹方程.例22、已知线段的端点的坐标是（4，3），端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.例23、由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，=600，则动点的轨迹方程是 .例23 如图所示，已知圆与轴的正方向交于点，点在直线上运动，过做圆的切线，切点为，求垂心的轨迹所以即是所求轨迹方程说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识采取代入法求

7、轨迹方程做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法例24 已知圆的方程为，圆内有定点，圆周上有两个动点、，使，求矩形的顶点的轨迹方程分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解解法一：如图，在矩形中，连结，交于，显然，在直角三角形中，若设，则由，即，也即，这便是的轨迹方程解法二：设、，则，又，即又与的中点重合，故，即，有这就是所求的轨迹方程解法三：设、，由于为矩形，故与的中点重合，即有，又由有联立、消去、，即可得点的轨迹方程为说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入

8、困境之中本题给出三种解法其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系而解法二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法解法二涉及到了、四个参数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆的参数方程，只涉及到两个参数、，故只需列出三个方程便可上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解练习：1、由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，=600，则动点的轨迹方程是 .解：设.=600，=300.，化简得，动点的轨迹方程是.练习巩固：设为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值，求点的轨迹.解：设动点的坐标为.由，得，化简得.当时，化简得，整理得；当时

9、，化简得.所以当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；当时，点的轨迹是轴.2、已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于 解：设点的坐标是.由，得，化简得，点的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，所求面积为.4、已知定点，点在圆上运动，是线段上的一点，且，问点的轨迹是什么？例5、已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，则点的轨迹方程是 .练习巩固：已知直线与圆相交于、两点，以、为邻边作平行四边形，求点的轨迹方程.类型九：圆的综合应用例25、 已知圆与直线相交于、两点，为原点，且，求实数的值例26、已知对于圆上任一点，不等式恒成立，求实数的取值范围例27 有一种大型商品，、两地都有出售，且价格相同某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离地的运费是地的运费的3倍已知、两地距离为10公里，顾客选择地或地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低求、两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点 第 9 页 共 9 页