《数理方程与特殊函数5齐次弦振动方程的分离变量法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数理方程与特殊函数5齐次弦振动方程的分离变量法（16页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、数学物理方程第三章 1 齐 次 波 动 方 程 分 离 变 量 法固 有 值 和 固 有 函 数Fourier级 数 回 顾波 动 方 程 的 Fourier解 0,sin 0,0 )0,0(, 000 ttt xx xxtt uxu uu txuu 引 例 有 界 弦 的 振 动 问 题u(x, t) = cos t sin x 2/16解 u = f(x + t ) + g(x t )xxgxf sin)()( 0)()( xgxf xxgxf sin)()( Cxgxf )()(2f(x) = sin x + C2g(x) = sin x C )sin()sin(21 txtxu )()
2、,( 0,0 )0,0(, 000 2 xuxu uu tLxuau ttt Lxx xxtt 齐 次 波 动 方 程 分 离 变 量 方 法)(),( xx 其 中 是 已 知 函 数设 问 题 的 解 u( x, t )可 以 按 自 变 量 分 离u( x, t )=T(t)X(x)将 utt = T”X, uxx = T X” 代 入 波 动 方 程 3/16 utt = a2 uxx T”(t) X(x) = a2T(t) X”(x)XXTaT 2 XXTaT2 0 XX 02 TaT 常 微 分 方 程边 界 条 件 :固 有 值 问 题 : 0)(,0)0( 0,0 LXX Lx
3、XX X(0) = 0X(L) = 0T(t)X(0)=0T(t)X(L)=0 4/16 000分 三 种 情 形 : (1) ; (2) ; (3)解 的 二 次 方 程 : 02 1 2(1)通 解 : xx BeAeX 0 LL eeA A = B = 0时 固 有 值 问 题 只 有 零 解0 X(0) = 0X(L) = 0边 界 条 件 : 0 BA 0 LL BeAe 5/16 (2) 0)(,0)0( 0,0 LXX LxXX 0通 解 : X(x) = Ax + BX(0) = 0X(L) = 0 B = 0A L + B = 0 A = B = 00 时 特 征 值 问 题
4、 只 有 零 解(3) 0 02 i1 i2 6/16 0)(,0)0( 0,0 LXX LxXX 0通 解 : xBxAxX sincos)( X(0) = 0X(L) = 0 A = 0 0sin LB 0sin L nL ( n=1,2, )x LnBxX nn sin)( 2 22Lnn 7/16 02 TaT n2 22Lnn 代 入 方 程 LatnDLatnCtT nnn sincos)( 通 解 :弦 振 动 方 程 的 基 本 解 : 1 sin)sincos(),( n nn LxnLatnDLatnCtxu un(x, t) = Tn(t) Xn(x) LxnLatnDL
5、atnC nn sin)sincos( 8/16 otherxxx ,0 7/4,7/3,7sin)( 0),( 0,0 )0,10(, 00 10 ttt xx xxtt uxu uu txuu 1 )sin()0,( n n xnCxu 1 )sin()sin()cos(),( n nn xntnDtnCtxu 9/16 例 1 1 )sin()()0,( n nt xnDnxu )()sin(1 xxnCn n Dn = 0 10 )sin()(2 dxxnxCn 7/4 7/3 )7cos()7cos( dxxnxn Fourier级 数 : 设 f(x) 在 区 间 连 续, 10
6、sincos2)( n nn nxbnxaaxf dxnxxfb nxdxxfann sin)(1 cos)(1设 f(x) 在 上 连 续 (奇 延 拓 ),0 1 sin)( n n nxbxf dxnxxfbn 0 sin)(2 10/16 设 f(x) 在 0, L上 有 定 义 (奇 延 拓 ) 1 sin)( n n nzbzF 1 sin)( n n xLnbxf 0 sin)(2 nzdzzFbn Ln dxLxnxfLb 0 sin)(2 xLz ,0,0 L )()( zLfzF 11/16 1 sin)sincos(),( n nn LxnLatnDLatnCtxu 波
7、动 方 程 初 始 条 件)()0,( xxu )()0,( xxut 1 sin)( n n LxnCx 1 sin)( n n LxnLanDx dLnLC Ln sin)(2 0 dLnLanLD Ln sin)(2 0 12/16 1 sin)sincos(),( n nn LxnLatnDLatnCtxu 方 程 的 Fourier解 dLnLC Ln sin)(2 0 dLnanD Ln sin)(2 0 xuxu uu tLxuau ttt Lxx xxtt 000 2 , 0,0 0,0,结 论 : 13/16 0,1000 )10( 0,0 0,100, 00 100 2 t
8、tt xx xxtt uxxu uu txuau例 3 设 a2=10000解 : dLnLC Ln sin)(2 0 dn10sin)10(50001 100 )1(cos10250001 33 3 nn )cos1(5 2 33 nn 335 4n ( n为 奇 数 ) 14/16 1 sin)sincos(),( n nn LxnLatnDLatnCtxu 1 sincosn n LxnLatnC 0 33 10 )12(sin)12(10cos)12(5 4k xktkk 15/16 习 题 3.1 （ ） 2(1), 2(1,3) 思 考 题 偏 微 分 方 程 分 离 变 量 法 与 常 微 分 方 程 分 离 变 量 法有 何 不 同 ？ 比 较 固 有 值 问 题 与 矩 阵 特 征 值 问 题 偏 微 分 方 程 分 离 变 量 法 对 于 边 界 条 件 有 何 要 求 ？ 如 何 利 用 初 始 条 件 确 定 波 动 方 程 的 级 数 解 中 的 系数 Cn, Dn ?
数理方程与特殊函数5齐次弦振动方程的分离变量法
