机器人学第五章(机器人的运动特性)

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1、第五章机器人的运动特性5.1 机器人的雅可比（jacobians ）矩阵5.1.1 雅可比雅可比是一个导数的多维形式。 函数例如，假定我们有6个函数，每一个是6个独立变量的、1=fi(X1X2X3X4X5X6 )=f2(XiX2X3X4X5X6 )=f6 (XiX2X3X4X5X6 )(5-1)我们也可以用矢量符号把这些方程写为：(5-2)丫 = F（X）现在如果要计算yi的作为为的函数的微分，我们简单的应用复合微分定律来计算7276凸1只.ffi只X1x2.Xi Ef2只X1:x1x2X2X6冴2、-X6X6(5-3)XiX1TXT X2主X6X6它同样可以用矢量符号写得更简单些(5-4)J

2、。注意如果方程式是非线性的,；:FXcX（5-4）中的66偏导数矩阵就是我们称为雅可比的则偏导数为xi的函数。所以用下面的符号(5-5)X中的速度映射到 Y中(5-6)把两边除以时间元素的微分，我们可以把雅可比看作为把丫二 J X X在任一特定的瞬时，X具有一定的值，而 J X为一线性变换，在每一个新的瞬时，X变了，因此这个线性变换也变了，雅可比是随时间变化而变化的线性变换。在机器人学的领域内，我们一般谈的是关于关节速度机械手端部速度间关系的雅可比。 例如V=0J（0 0（ 5-7）其中，心为操作机的关节角矢量，而 V为直角坐标速度矢量。在（5-7）中我们对雅可比加上了一个前上标， 指明这个结

3、果的直角坐标速度是表示在那个标架中。有时当这个标架是很明显的或者它并不重要，这个标注可以去掉。 注意对于任何给定的操作机的构形，关节速度和端部速度之间的关系为线性的样子，这仅是一种瞬时关系， 因为在下一瞬时，雅可比要稍微变化一点。对于普通的情况，雅可比为6 6 , 为6 1，这个6 1直角坐标速度矢(5-8)量是把3 1线速度矢量和3 1回转速度矢量放在一起。%对于2杆机械手的情况，我们可以写出一个2 2雅可比，它表明关节速度对终端效应2杆机械手的雅可比。这个雅可比写器速度的关系。从例5-1的结果我们可以很容易地确定 在标架3中为：3J也J1C1I20【2(5-9)而这个雅可比写在标架0中为:

4、J, - 2 -佔2_ I1C11 2C12- I 2S12I2C12(5-10)它给出关节速度对终端效应器速度的关注意在两种情况中，我们都选择写一个方矩阵， 系。我们也可以考虑 3 2雅可比，它将把终端效应器的角速度也包括进去。考虑定义雅可比的（5-1）式到（5-5）式，我们看出雅可比也可以由直接对机构的运动 学方程求导来求得。但是，尽管对于线速度这个是简单的，没有一个导数的3 1的方位矢量。5.1.2 奇异点已知我们有一个有关关节速度的直角坐标速度的线性变换，很合理的要问一个问题： 这个矩阵是否可以求逆？也就是， 它是不是非奇异的？如果这个矩阵不是非奇异的，则可以对它求逆来计算给定直角坐标

5、速度的关节速度J _ J J V（ 5-11）这是一个重要的关系。 例如，我们打算让机器人的手以一定的矢量速度在直角坐标空间 运动。用（5-38）我们可以计算沿着轨迹的每个瞬时所需的关节速度。真正的可逆性问题是：雅可比是否对所有的 0值都可以求逆。如果否，在何处它不可以求逆？所有的操作机都有雅可比成为奇异的0值。这些位置被称为 机构的奇异点，或简称为奇异点。所有的操作机在它们的工作空间的边界处有奇异点，而大多数在它们的工作空间内有奇异点的轨迹。当操作机是处于奇异点的构形，它从直角坐标空间中看失去一个或几个自由度。这意味着在直角坐标系空间有某些方向（或子空间），无论取什么样的关节速度，机 器人的

6、手都不可能沿它们运动。显然这种情况会发生在机器人工作空间的边 界上。例5-1何处是图5-1中的简单2杆机械手的奇异点？什么是这些奇异点的物理意义？它们是工作空间边界奇异点还是内奇异点？ 为了求一个机构的奇异点，我们必修考察其雅可比的行列式。在行列式等于零的地方, 雅可比降秩，是奇异的。l1 S2I i C2l 20=Ill2 S2 0I1 2 2I2(5-12)显然，当二2为0或180日寸机构有一个奇异点。 从物理意义上说，当二2二0机械手伸直。 在这种情况下，终端效应器的运动仅可能沿一个直角坐标方向（垂直与机械手的方向）。因此此机构失去了一个自由度。类似地当-2 =180机械手完全折叠起来，

7、手的运动也只能在一个直角坐标方向， 而不是两个方向。 这些奇异点都是工作空间边界奇异点，因为它们位于操作机的工作空间的边界上。把雅可比写在标架0中，或其他任何标架中，都将导致相同的结果。在机器人控制系统中应用（5-11）的危险在于，在奇异点处雅可比矩阵的逆崩溃了！这 导致当接近这个奇异点时关节速度趋向无穷大。例5-2考虑我们的2杆机器人，如图5-1所示，它的终端效应器沿 ?轴以1.0米/秒的速度运 动。二2 = 0时，关节速度趋说明当远离奇异点时关节速度是合理的，但当接近一个奇异点 向无限大。我们从计算写在0中的雅可比的逆开始。1hl 2S21 2C12-I 1C1 - I 2C12l2 S1

8、2 I1 S| - I2S12(5-13)然后对沿 刃方向的1米/秒速度应用（5-13）,我们可以计算作为操作机构形的函数的关节速度C12I1S2C1I1S2C12I 1S2(5-14)显然，当机械手朝 匕=0伸出去时，两个关节速度趋向无穷大。5.1.3静力域中的雅可比矩阵一、力矩和等效关节力矩现在我们可以将坐标架之间的力和力矩进行变换。在这一节中将解决把作用在坐标架丁6上的力和力矩与等效关节力矩和力联系起来的问题。我们将再次运用作用在坐标架丁6上的力和力矩所作的虚功与各关节上所作的虚功相等的方法。也就是(5-15)式中.是广义关节力的列向量， 广义关节力对于转动关节而言是力矩，对于移动关节而

9、言是力。Q是关节虚位移的列向量，对于转动关节是转动，对于移动关节则是移动 ：.d。于是对于斯坦福操作手，关节虚运动所作的虚功给出为(5-16)F3T4T5式中T是关节力矩而F3是作用在移动关节 3上的力。回到公式5-15如果操作手处于平衡状态，则所作的虚功为零而将T6 D=T JQ代入得到这一公式与虚位移Q无关，于是或JeFJJeD = JQT6FtJQ = tqU(5-17)(5-18)(5-19)这是一个重要的关系。也就是已知在坐标架T6中的作用力和力矩，公式5-19给出为了保持平衡而必须施加于操作手关节上的扭矩和力。如果操作手在作用力和力矩的方向上自由运 动，则在公式5-19所确定的关节

10、力矩和力作用下将会在手部得到设定的力和力矩的作用。进一步注意到，对任何自由度数的操作手，公式5-19都是成立的。例5-3斯坦福操作手处于如下的位姿010201006.0T 6 0 0-10.00 0 1 一它相应于在下述表5-1中给出的正弦和余弦的关节坐标表5-1 操作手状态坐标数值正弦余弦001二29010da20in001901009010雅可比矩阵给出为_20.00.00.00.00.00.01-6.00.01.00.00.00.0占丁60.020.00.00.00.00.0创i0.01.00.00.01.00.00.00.00.01.00.00.0-1.00.00.00.00.01.0

11、 一计算产生力和力矩T6 F=00 1000-2001000 T所需的关节力和力矩。解：用公式5-19得到关节力矩和力为TJ_20-6000_10 T200201000F3010000100T40000100T500010020001000001 一1000 一5.2 机器人的奇异位形1引言奇异位形是串联机器人机构(见图5-2)的一个十分重要的运动学特性，机器人的运动受力、控制以及精度方面的性能都与此位形密切相关。对奇异位形的认识来源于6自由度机器人机构的速度公式：DjQl(5-20)其中J为雅可比矩阵，Q为关节广义速度向量，V为手部速度向量。对预定的手部运动可以求出所需控制的关节速度：(5-

12、21)Q jfVl但是如果雅可比矩阵J 奇异，即det(J)=0，则式(5-21)的运算不能成立。由此引起了对奇异位形的重视。从运动学角度讲，机器人运动到奇异位形时，手部将失去某个或某些 独立的运动分量，因而导致手部自由度的减少，这不仅影响手部完成预定的运动，也给机器 人的控制带来了困难。2奇异位形判别式设t (i =1,2,，n)为关节广义力，外力系f,m 作用于机器人手部，机器人静力平衡时满足平衡方程组：J T IF 丄 11(5-22)式中：F -丨f,m J , t - lt1, t2,., tn丨，奇异位形使机器人手部自由度减少这一事实，表明此位形对手部产生了某种约束，由理想约束的性

13、质可知，机器人机构各关节的约束反力在手部的虚位移中不做功。由虚位移原理，与该约束力系平衡的外力系f,m 1对上述位移的虚功之和为零，故有：f.v + m.w = 0(5-23)该方程即是：MTF=0(5-24)将式(5-20)代入式(5-24)，并注意到Q = 0 ,于是可得：J 1T F 1-0(5-25)由式(5-22)、(5-25)可得：t-0(5-26)由式(5-26)可见，方程组111=0在奇异位形必有非零解。由式(5-22)、(5-25)、(5-26)可以看出。当雅可比矩阵为非奇异时，对于给定的非零F 1向量，总有确定的关节广义驱动力向量t 1与之对应，使机器人机构处于平衡状态，即

14、是稳定的。当雅可比矩阵为奇异时， 对于给定的非零 F 1向量，对应的关节广义驱动力向量为零，即机器人机构的力系平衡条件 被破坏了，也就是此时机构的静力平衡不是由关节的广义驱动力来实现的，而是由关节的约束反力来实现的。 对于串联机器人机构有如下的静力递推公式：门i i +f i =i +R f i +ii -1. i. i.mi=iR mi 半+ h 羊 xfj(5-27) 百=讯Zi(转动关节)pi = fiT Zi (移动关节)在此令：Fi =1 Fi =0( = 1,2,.,6)(5-28)将式(5-28)代入式(5-27)中，并由式(5-26)可以得到6组方程，即6个奇异位形判别条 件。

15、在利用静力递推公式(5-27)求解广义驱动力向量时，将广义坐标、关节杆长、关节偏距 处理为符号量，将关节扭角处理为数值量。为了便于数字一符号处理，引入符号：Xj =si n(日 J，Y =cos ), Zi =0,人=ai，Dj =di(5-29)由数字一符号处理方法，通过数字一符号运算，我们可以的到数字一符号表示的奇异位形判别式。基于上述方法我们开发了机器人奇异位形判别式自动生成软件SARNS只需输入机器人各构件关节扭角:-i便可自动生成串联机器人机构的奇异位形判别式.3 PUMA机器人奇异位形分析实例图 5-3 为 UnimationPuma工业机器人的机构简图，该机构的结构参数为：0八0

16、、丄 1 二-2= -4= -5 =90；2=-6 =0以下是奇异位形分析结果：(1)令6F6 =1,0,0 T，对应的奇异位形判别式经整理如下:01(a5 +d6)sin*(a5“6)s in*t =e e +d4 +a5 +d6)si n(日 4 +塊) +d4 +a5 +d6)sin(日4 +塊)-a?sin(84 +06)cos03色 COS&2 +但3 +d4)COS(日 2 中日3)+5 +d6)COS(&2 +日3 +日5)一由上式可得对应的奇异位形存在条件为：-6 =0或二 基=0或二 6 =0或二a? cos(a3 d4de) cos(b 丁3)二 0或 a? cose 但3

17、 d4a5 -d6)cos( J2i) =0与该条件对应的奇异位形如图5-4a所示。由运动分析可得：在此奇异位形下机器人失去了沿X 6轴方向的移动自由度。令=6 -0,10 T，求得的奇异位形结果与 相同.令6F6 = b,01 T ,对应的奇异位形判别式经整理如下003 +d4)si n 日5=0a2 (cos日5 sin83 +sin 05 cosB3)+(a3 +d4)sin85由上式可得对应的奇异位形存在条件为：廷=0或二 *=0或:与该条件对应的奇异位形如图5-4b所示。由运动分析可得：在此奇异位形下机器人失去了沿Z 6轴方向的移动自由度。(4)令6M6 =10,0，对应的奇异位形判

18、别式经整理如下：_0sin% sin/sin (84 +06)sin (日4 +e6)(sin 日5 cos日3 +cos日5 sin03)sin日2 +(sin 05 sin 日3+cos日5 cos日3) cos日2由上式可得对应的奇异位形存在条件为：-6 -0 或二5 -0 或二 4 -0 或二sin :!2 sin 屯 cos 乙 cos 屯=0 即 比 九=二/2 或 v2 二3=二/2与该条件对应的奇异位形如图Puma机器人机构的奇异位形图 5-4Uni mation5-4c所示。由运动分析可得：在此奇异位形下机器人失 去了绕X 6轴的转动自由度。（5）令6M6二010 T，求得的

19、奇异位形结果与（4）相同. 令6M6 =0,01 T，对应的奇异位形判别式无解.以上三种奇异位形存在条件，对应的雅可比矩阵的行列式的值都为零，因此上述结论得以验证。4结论本文提出了一种新的机器人奇异位形判别式推导的数字一符号方法，该方法不需写出雅可比矩阵，而且推导过程全部由计算机完成。方法可适用于任意自由度带有移动关节和转动关节的机器人奇异位形分析。与现有方法相比，该方法简化了奇异位形的判别过程。并且在此基础上可以进一步发展成为机器人工作空间分析的数值一符号方法，该方法也可应用于并联机器人、变几何桁架机器人的奇异位形分析中。5.3 机器人的工作空间1概述机器人工作空间的研究可分为两类：（1）运

20、动副转角或移动无限制的理想机械手（2）运动副转角或移动有限制的实际机械手。对于每一类机械手其工作空间分析的方法有两种：数值求解方法和代数求解方法。 两种方法相比较，代数方法更精确更有效。在机器人工作空间的分析研究中，国内外学者做了不少有价值的研究工作。2、基本概念及定义机械手的可达工作空间是指将机械手手部当做一个点处理时，机械手在运动过程中，该手部参考点在空间中所能达到的全部点的集合形成的空间几何体。奇异曲面是指机械手的工作空间中手部参考点不能实现沿任意方向的微小移动或转动的点的集合形成的空间曲面。相应的机械手的每个位形称为奇异位形。奇异位形可分为位置奇异和姿态奇异。当机械手运动到奇异位置时，

21、由于可实现的微小移动的方向受限，对于某些要实现的速度Vp，相应的q值中的某个关节或某几个关节的角速度值为无穷大，引起机械手失控。 引起这种现象的原因有两种：一是矩阵Jp的秩小于3。我们称这时机械手处于第一类奇异位置，相应的奇异曲面称为第一类奇异曲面。二是尽管矩阵Jp的秩为3,但是由于某个或某些关节运动到了极限位置，机械手的空间自由度减少了，我们称这时机械手处于第二类奇异位置，相应的奇异曲面称为第二类奇异曲面。3、理想机械手的工作空间对于运动副转角无限制的理想机械手，其工作空间的边界曲面即为手部参考点的位置奇异曲面。工作空间的边界曲面方程为关节1和关节2关节转角的函数。其它n-2个关节转角可由上

22、述的机械手奇异位置分析求出。5、实际机械手的工作空间对于图5-2所示的n自由度串联机器人，坐标系按照D-H原则建立，各参数如图 5-2所示。令手部参考点 P在基础坐标系中的位置向量为R = （x, y,z）T则R可表示为n个广义坐标的函数:R 二R(qi,q2, ,qn)qimm qq i max (i =1,2，；n)(5-30)式中：qq?,q.为n个运动副的广义坐标，若运动副i为转动副，则q： -比；若运动副i为移动副，则qi = dj。而qimin和qimax分别为q：的最小极限值和最大极限值。由于工作空间的边界曲面即为机械手手部参考点的位置奇异曲面的最外层和最内层曲面，因此在此首先讨

23、论实际机械手的奇异位置分析问题。实际机械手的奇异位置分析问题可分为两种情况：(1) 所有n个广义坐标均未达到极限值.在该情况下，手部参考点的位置奇异曲面方程即为：R = R(qi,q?)Jqi min -qi -q i max (i ,2)(2) n个广义坐标中有 k个(1乞k乞n-2)广义坐标达到极限值.(5-31 )若有k个(1乞k乞n - 2 )广义坐标达到极限值， 且当手部参考点 P运动时，这k个广义坐标的运动趋势为超出转角或移动的限制区间之外的方向，那么这k个广义坐标在 P点运动时，保持恒定值，而不能再作为变量，此时机械手将失去k个自由度.对该n-k个自由度的机械手进行奇异位置分析，

24、由前述方法，可以求得n-k-2个关节的关节转角，于是机械手手部参考点P的位置奇异曲面方程可表示为剩下的两个关节转角(假定为i和j)的函数:R = R(qi,qj)i =1,2,., nj =1,2,., n i = j(5-32)q i min - q iq j min -q j -q j max因为k可分别取0, 1, 2, .,n-2，且每个广义坐标有两个极限值，因此奇异曲面方 程的个数最多为：n 2N 八(2k Cnk)(5-33)k =0工作空间的边界曲面应为全部位置奇异曲面的最外层与最内层曲面(如果有穴的话)。6、奇异曲面方程的自动生成机械手末端夹持器(参考点为P)相对于基础坐标系的

25、位姿Tn可表示为：(5-34)Tn =AAAn =A1(qJA2(q2)An(qn)将构件i和j的广义坐标处理为符号量，将其它关节的广义坐标、各构件的扭角 、各构件的杆长aj及各构件的偏距di处理为数值量，为了便于数字一符号处理，引入符号：Xi =si nq),Y 二cos(di), Zi - 3于是式(5-34)中的每一矩阵元素可表示为：mT =嘉 tk(sinqu)Suk(sin qv户(cosqu)Cuk (cosqv户 quQvW(5-35)k =s/kC ukCvkW ukWvkX v Yu Yv Zu Zv由前述的数值-符号处理方法，可以得到数值-符号表示的机械手手部参考点P相对于

26、基础坐标系表示的位置，即机械手奇异曲面及工作空间界限面的曲面方程。基于上述方法我们开发了机器人工作空间分析软件WSARNS。该软件采用 Delphi 6.0编程，只需输入机器人的结构参数及关节转角范围便可自动生成机器人奇异曲面及工作空间边界曲面的曲面 方程。7、数字实例Cincinnati_Milaecron 6R 机器人结构简图如图 5-5所示.其结构参数如下：图 5-5 Cincinnati Milarcron 6R 机器人机构图5-6工作空间边界曲面的截面曲线a 0, a a 400, a 80,6 0,90,一120,0,：1 _ i 4 - ： 5 = 90 , -：2 = ： 3

27、- ： 6 = 0 , a| = a5d6 =120, dj =0 (i =1,2,5)哥-120,120.乙-120,120,岂-30,210,入-240,240运行我们开发的 WSARNS软件，自动生成了其位置奇异曲面方程.并由此描绘出了其 位置奇异曲面的截面曲线图（如图5-6所示）.该机器人工作空间的边界曲面方程列写如下:宀-1200,1200飞-1200,00 = (40 +60cos日 3) cos(1) j y =(40 +6Ocos03) sin z = 60si n 日3x =100cos 日 2 cos9(2) y = 100cos日2 sin日Z = 100si 门巧x =

28、 20sin * cos 冇(3) y = 20sin)4sin 巧z = 100 sin 匕片-120,1200 出00,900齐-120,1200二4T20,12006-12O,12O0S 0,900x = 72111 cos2 +1389790)cos巧(4) y =72.111cos2 +1389790)si n z = 72111 si n(82 +138979) 0r 120 ,120 -1200,00y -1200,120000,900x = 34.64 cos 3 -30 )cosQ1(5) y = 34.64cos(r3 - 30)siz =40+34.64s in(日3 3

29、0)x =20cos _600)cos)1(6) * y =20cos(T2 -600) si z=20sin(日2 -600)J0 0“ -120 ,120 t -1200,1200x =2020si n(300 日4)cos6(7) y =20 20sin(300 -)sing z = 464 - 20cos(300 -日4)例如令关节 3、4达到极限（甘3 = -120,日4 =-120）,通过奇异位置分析得到 屯=0。门6任意，将R、二2处理为符号量，其它关节转角代入具体数值即可得到曲面方程6, 其截面曲线如图5-6中6段所示。8结论文中提出的根据位置分析的递推公式由计算机自动推导实际

30、机器人工作空间边界曲面及位置奇异曲面曲面方程的方法与数值求解方法相比具有精度高、效率高的优点；与其它代数求解方法相比更加简明，而且直接面向计算机。5.4 机器人的灵巧性分析一、 前言机器人机构的灵活性分析相当于一个空间闭链机构的可动性分析。由于结构尺寸、关节运动范围和机构的多种构形的影响，实用有限转动副操作手的灵活性分析是比较复杂的。Roth和Gupta， Kumax和Waldro n以及Ya ng和Lai先后研究了操作手的灵活性问题，提出 了一系列有用的新概念， 讨论了具有球铰链手腕的理想操作手灵活工作空间的确定，给出了灵活工作空间的确定，给出了灵活工作空间存在的充分条件。朱建敏和许有恒将具

31、有典型意义的常用机器人机构转化为在主平面（过基座关节轴J1与工作点P的平面）内的平面四杆图5-7服务球与服务区机构，通过几何关系的分析定量表示了各运动副运动限制对工作角可变范围的影响。但以上方法均不便于机器人灵活性优化综合。因为大多数实用的有限转动副工业机器人的灵活工作空间不存在或很小。本文给出了灵活性分析的“优化边界搜索法”，可以方便地用于机器人工作空间灵活性优化综合。如图5-7所示，点A为机器人可达工作空间内任一点，J6P=h为手部尺寸。以点 A为中心，h为半径的球面称为机器人在点A的服务球，记作 ss(A)Service Sphere。机器人末杆参考点P到达工作点A时，服务球上关节 J6

32、所在的点称为服务点。服务球上所有服务点的 集合称为在点 A的服务区，记作 SR(A)Service Region。服务区的大小(面积)反映了机器 人在工作点A作业的灵活度，记为 A(SR)。当末杆J6P能绕点A全方位转动时，A(SR)达到 最大值4 n h2,于是可将A(SR)标准化并称为服务系数Service Coefficient。(5-36)SC(A)二 A(SR)/4二 h2、灵活性分析的数学模型nxny nz OxOyOz0axayaz0PxPyPz1二 A(qJA(q2 An(qn)j00卫0100001000 h1(5-37)其中q Qi,i =1,2,n为广义关节变量， P畐U

33、, q=d且ai =0。A(qJ是连杆坐标系cossinq0.0-sin弓 cos icos cos isin ： i0Qi为q的取值范围。Ji为R副, i和i+1的变换矩阵sin 弓 sin ：冷cos sin ： icos i0a cosq I ai sindi1;Ji为(5-38)对于大多数实用操作手的手部形式，所示，U a =ax, ay, azT即机器人末杆轴线方位。设操作手末杆坐标系参考点P到D点距离即手部尺寸 h。若给定P点位置，则D点轨迹即服务球上的服务区。P在末杆轴线Zn 上，a.-0 ,n+1原点为如图5-7D,手部由图5-7知，D点坐标为Xd =Px hax(qi,q2,

34、q) * Xd =Py hay(qi,q2,qn) d =Pz hazGq,q)(5-39)其中，Px,Py,Pz,h已知，末杆轴线方位ax,ay,az由式(5-37)知Alay它满足约束条件az一010101一PJ0Pyh巳611 一AA2 AnqiQi，i = 1,2, n(5-40)(5-41)(5-42)确定式(5-40)表示的服务区边界，首先须判断球上任一点 T (Xt , yT ,zT)是否在边界线以内。建立优化搜索模型- 2 2 2Min (q), f (q) =% xj +(y。-yj +(z zj(a)“Subject to q(q)K0 i =1,2,，2n(b)(5-43

35、),hj(d)=0 j=1,2,m(c)目标函数(5-42)中的(XD,yD,ZD)按式(5-39)计算，约束式(5-42b)即关节运动范围(5-42)， (5-42c)即工作点约束式(5-41 )。由于跟踪点T(XT,yT,ZT)可变，令(5-43a)中f (q)二f (q,T)二d。选用某种优化方 法(由于同时有等式约束和不等式约束，可选混合罚函数法SUMT调用DEP)对以上模型进行优化计算，若结果是 d =f(q,T)=0，点T在服务区边界内；若 d = f(q,T) 0，点 T在服务区边界外。三、灵活性分析的计算步骤对实用操作手，可假设服务区无内边界(空穴)。参看图5-9，求服务区边界

36、线的“优化边界搜索法”的计算步骤如下：1 )任取一点T (xT0), yT0), zT0)位于服务区边界以内，它可由一组满足约束式(5-41)(5-42)的关节变量q(0)按式(5-40)( 5-39)得出，过可行初始目标点T)作截面X = xf与服务球相交所得圆的圆心oX(xT0),Py,Pz)，半径R；= .(Py-yT0)2 -(Pz_zT0)2，点 T 的方位角% - arctg(zT0) - Pz)/(yT)- Py)。给定搜索的转角步长厶，则第1步搜索的目 标点T1的坐标是(xy=xT0)，yj= PyR；cos( 1，zT = Pz + R； sin(% +1也)。从T。出发以步

37、长也沿O；圆逆时针方向搜索到边界线以1个边界点外。以边界内相邻两点Tk i和Tk所连圆弧为一维搜索区间，用两分法求得第R(x，y，z)。置 i =1, j =1。SR(P)ZSS(P)RhTllOX图5-9灵活性分析模型2) 给定服务区截面为一系列平行于yz坐标面的平面，相邻截面间距为 x。从求出的第i个边界点R(x,y(i),z(i)沿x轴负向跨一步得一新出发点To(xT(0),yT(0),zT(0)在过边界点R的xz坐标面的平行面与服务球截交圆上。圆心oy(R2，置点R_1 =过渡点Pl，j=1，转5)。(置两点相等即令两点 x,y,z坐标分别相等；j=2时极值点序数依次为m=1,2,M

38、)。 KJ=(-1)j,检验KJ值。若KJ0，则边界点R邻域的边界线与 yz坐标面近似平行，置过渡点Rd =边界点R ,置 * -x, 一,以(x(i),yTKM),zTKM)作为边界点 R , j=j+1，转 2)。,Rz)，半径Ry 二.(Px匚x(i)2(Pz二z)2，于是 T0 点坐标为 xT0X(-.-：x, y(0yi,z(0)二5) 判断曲线是否封闭，即检验：(5-44)仪x(1)(i)(1)、2(i)(1)、2 .(y - y ) (z 一 z )二；2其中；仆；2均为控制精度。“的选取满足 刁：Ax，目的是使(x(2),y(2),z)点不满足式(5-43)。花的选取满足4名2

39、兰名2 (尺)2 (人)2，其中So为两分法控制精度，可使所求 出的边界点适用(5-43)式的检验。若式(5-44)满足，转6)；否则转2)。6)记录所有边界点 P(X,y(i),Z),O：(xT0),Py,Pz) , i=1,2,N，得服务区边界曲线 数据库。7)去掉边界点p,r,，Pn中沿x轴方向的极值点代，氏,，pM，重新排序，得有效边界点P,P2,，PnjM ,求出有效边界点横坐标的最小值Xmin和最大值Xmax ,令 L =(Xmax-Xmi)/AX ,将 T；二 Xx - Xmn 作 L 等分，分点 Xxink x, 0,1/ 丄。zLx或l =0,1,2/ 丄。找出横坐标为X|的

40、有效边界点纵坐标yin , zjmin , yax , y(1)乙y乙 y(1) z V Z1 min 1 min 1 max 1 max 2min 2min 2max 2max ?用微分求和法可求出服务区面积：送 Ax RXlA(SR) =Z Ax RXiz-pz_ parctg 般 ；-arctg 穿 ；,/max 一匕z1mm- PZz(|) - Pz(|)_ Pz(|)- Parctg z(mrPZ -arctg 2：；arctg 管；y2max Py Z；min B yax Py zC-FZarctg 1minZ-arctg z()1min Zx = x,截面上图形连续,XX截面上图

41、形连续步长. sx -越小，S的计算越精确。本章参考文献1. 张玉茹机器人机构与闭环机构的运动特性研究：博士学位论文.北京：北京航空学院，19872. 孔宪文.多环空间连杆机构运动分析理论研究：博士学位论文.南京：东南大学，19953. 黄真.空间机构学.北京：机械工业出版社，19914. 范守文，徐礼钜.PUMA机器人奇异位形分析.电子科技大学学报国庆 50周年论文集，1999.9:256-2605. 李长友、李德锡 机器人操作手工作空间中的奇异曲面.机器人，1988,2(2):13-196. 李国栋、陈宁新 机器人工作空间的界限面及其位置奇异曲面的代数求解方法.机器人,1988,2(6):25-317. 陈宁新 Workspace Analysis of Robot Arm Using Differential Geometry.PartI .A GeneralTheory , ASME Paper,1986,86-DET-1648. 徐礼钜，范守文.机器人奇异曲面及工作空间界限面分析的数字-符号法.机械科学与技 术,2000,19(6):861-8639. 许有恒，郑凯东.工业机器人灵活性分析的数值法.第七届全国机构学学术讨论会论文集，1989:79-83