直线与平面垂直的判定定理的两种

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1、直线与平面垂直的判定定理的两种简证立体几何中关于直线与平面垂直的判定定理的证明，由于构思复杂，过程繁琐，给教学带来了一定的困难本文利用勾股定理及其逆定理给出该定理的两种简捷证明，供参考设g是内的任一直线，先证明l、g都通过O点的情况如图1，证法1：在直线m、n上分别取点A、B，使OA=OB，P是l上异于O的一点，连结PA、PB、AB因为lm，ln，所以PA2=PO2OA2=PO2OB2=PB2，因此，PAB、OAB都是以AB为底边的等腰三角形所以AB=2PAcosPAB=2OAcosOAB设AB与g交于C，连结PC，OC在PAC，OAC中，由余弦定理得：PC2=PA2AC22PAACcosPA

2、C=PA2AC2ACAB，OC2=OA2AC22OAACcosOAC=OA2AC2ACAB所以PC2=(PO2OA2)AC2ACAB=PO2(OA2AC2ACAB)=PO2OC2由勾股定理的逆定理知，POOC即lg证法2：过g上一点C在内作直线分别交m、n于A、B，使得AC=CBP是l上异于O的一点，连结PA、PB、PC因为lm，ln，所以PA2=PO2OA2，PB2=PO2OB2在PAB、OAB中，由中线定理得PA2PB2=2(PC2AC2)OA2OB2=2(OC2AC2)两式相减得(PA2OA2)(PB2OB2)=2(PC2OC2)所以PO2PO2=2(PC2OC2)PO2OC2=PC2由勾股定理的逆定理知，POOC即lg如果直线l、g中有一条或两条不经过点O，那么可过点O引它们的平行直线证得lg综上所述，结论成立