32简单的三角恒等变换1

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1、2021年 8月 20日 星 期 五简 单 的 三 角 恒 等 变 换 2021年 8月 20日 星 期 五两 角 和 与 差 的 正 弦 ：sin( ) sin cos cos sinsin( ) sin cos cos sin 两 角 和 与 差 的 正 切 ：tan tantan( ) 1 tan tantan tantan( ) 1 tan tan cos cos cos sin sin （ ）两 角 差 与 和 的 余 弦 公 式 ：cos cos cos sin sin （ ） 2021年 8月 20日 星 期 五 2 22 222 22 2 1 1 222 1sin sin co

2、scos cos sincos sintantan tan 二 倍 角 的 正 弦 ， 余 弦 ， 正 切 公 式 ： 2 22 1 2 1 22 21 21 2cos coscos sincostan cos 降 角 升 次升 角 降 次3倍 角 与 单 角 的 三 角 函 数 有 何 关 系 ？ 课 本 P138B组 T1 2021年 8月 20日 星 期 五 sin 2 2 2 2021年 8月 20日 星 期 五 例 1 .2tan,2cos,2sincos 222 表示试用解 .2的 二 倍 角是 ,2,2,sin212cos 2 代 替以代 替以中在 公 式 2sin21cos 2

3、 2cos12sin 2 ,2,2,1cos22cos 2 代 替以代 替以中在 公 式 12cos2cos 2 2cos12cos2 2021年 8月 20日 星 期 五 得 cos1 cos12tan2 .2 ,cos1 cos12tan 2cos12cos 2cos12sin :所 在 象 限 决 定由 符 号称 为 半 角 公 式可 表 示 为 2021年 8月 20日 星 期 五 例 2、 求 证 1 cos sin(1) tansin 1 cos 21 sin cos(2) tan1 sin cos 2 三 角 恒 等 式 的 证 明 :(1)从 一 边 开 始 ,证 得 它 等

4、于 另 一 边 ,一 般 从 繁 到 简 ;(2)左 右 归 一 ， 即 证 左 右 两 边 等 于 同 一 个 式 子 ；(3)分 析 法 ,从 结 论 出 发 ,推 理 之 后 即 证 一 个 显 然 成 立 的 式子 或 已 知 条 件 ；(4)也 可 证 左 /右 1或 左 右 0；(5)在 证 明 的 过 程 中 注 意 一 些 技 巧 的 应 用 :公 式 逆 用 ,变 用 ;角 的 变 化 ;常 值 代 换 (1=tan45 o=sin2x+cos2x);切 化 弦 。 2021年 8月 20日 星 期 五 例 3 求 证 .2cos2sin2sinsin2 ;sinsin21c

5、ossin1 解 (1) sin(+)和sin(-)是我们学过的知识，所以从右边着手sin(+) sincos+cossinsin(-) sincos-cossin两式相加,得sin(+) + sin(-) 2sincos sinsin21cossin 2021年 8月 20日 星 期 五 (2) 由(1)可得 sin(+) + sin(-) 2sincos 设 +=, -= 2,2 把,的值代入,即得.2cos2sin2sinsin 2021年 8月 20日 星 期 五例 3证 明 中 用 到 换 元 思 想 ， 式 是 积 化 和 差 的 形 式 ， 式 是 和 差 化 积 的 形 式 ；

6、在 后 面 的 练 习 142页 当 中 还 有 六 个 关 于 积 化 和差 、 和 差 化 积 的 公 式 思 考 在 例 3证 明 过 程 中 用 到 了 哪 些 数 学 思 想 方 法 ? 2021年 8月 20日 星 期 五1 的 值 是 （ ） 160cos80cos60cos40cos A 0 D 1B 23C 21 练 习 2021年 8月 20日 星 期 五 例 4 值的 周 期 ， 最 大 值 和 最 小求 函 数 xxy cos3sin 分 析 ： 利 用 三 角 恒 等 变 换 ， 先 把 函 数 式 化 简 ， 再 求 相应 的 值 .解 xxy cos3sin xx

7、 cos23sin212 3sincos3cossin2 xx 3sin2 x所 以 ,所 求 的 周 期 为 2,最 大 值 为 2,最 小 值 为 -2.点 评 ： 例 是 三 角恒 等 变 换 在 数 学 中应 用 的 举 例 ， 它 使三 角 函 数 中 对 函 数的 性 质 研 究 得 到 延伸 ， 体 现 了 三 角 变换 在 化 简 三 角 函 数式 中 的 作 用 . 2021年 8月 20日 星 期 五 如 何 把 形 如 y=asinx+bcosx的 函 数 转化 为 形 如 y=Asin(x+)的 函 数 ? 2021年 8月 20日 星 期 五 例 4 .?ABCD,

8、, COP . 31 并 求 出 最 大 面 积的 面 积 最 大矩 形取 何 值 时当 角 求记扇 形 的 内 接 矩 形， ， 是弧上的动点是扇形的扇形圆心角为是半径为如图，已知ABCD COPQ分 析 :要 求 当 角 取 何 值 时 ,矩 形 ABCD的 面 积S最 大 , 可 分 二 步 进 行 . 找 出 S与 之 间 的 函 数 关 系 ; 由 得 出 的 函 数 关 系 ,求 S的 最 大 值 . 2021年 8月 20日 星 期 五 解 在 Rt OBC中 ,OB=cos,BC=sin在 Rt OAD中 , 360tan OADA sin333333 BCDAOA sin33

9、cos OAOBAB设 矩 形 ABCD的 面 积 为 S,则BCABS sinsin33cos 2sin33cossin 2021年 8月 20日 星 期 五 2cos1632sin21 632cos632sin21 632cos212sin2331 6362sin31 ,6 ,262 ,30 时即所 以 当由 于 6363-31S 最 大 通 过 三 角 变 换 把 形 如y=asinx+bcosx的 函 数转 化 为 形 如 通 过 三 角变 换 把 形 如y=asinx+bcosx的 函 数转 化 为 形 如y=Asin(+)的 函 数 ,从 而 使 问 题 得 到 简 化 2021年

10、 8月 20日 星 期 五43 41 函 数 的 最 小 正 周 期 为 4 4 2 2sin cos sin cos( ) 2 sin2x x x xf x x 最 大 值 为 ， 最 小 值 为 分 析 ： 欲 求 最 小 正 周 期 主 最 大 最 小 值 ， 首 先 要 将 函 数 式 化 为 单 一 函 数 练 习 2021年 8月 20日 星 期 五 4 2 2 4 2 2sin 2sin cos cos sin cos( ) 2 2sin cosx x x x x xf x x x )cossin1(21 )cossin1(2 sin1 22 xx xx xxcox 212sin

11、41 x的 最 小 正 周 期 为 ， 最 大 值 为 ,最 小 值 为 。 )x(f 43 41 2021年 8月 20日 星 期 五3 设 ， ， 且 ，)2,0( ),2( 31cos 97)sin( 则 等 于 （ ） sin 271A 2723D31C 275B练 习 2021年 8月 20日 星 期 五4 若 ， 则 的 值 是 （ ） 2cos2sin2 12sin2)( 2 xf )12(f 36D 334A 34B34C练 习 2021年 8月 20日 星 期 五 52)tan( 41)4tan( )4tan( 5 ， ， 则 _ 2236 化 简 ： 23cos21cos 2sin21 21sin7 已 知 21)sin( ， ， 则 31)sin( cottan 5练 习 2021年 8月 20日 星 期 五 对 变 换 过 程 中 体 现 的 换 元 、 逆 向 使 用 公 式等 数 学 思 想 方 法 加 深 认 识 ， 学 会 灵 活 运 用 小 结