【经济数学基础】计算题复习资料

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1、经济数学基础计算题复习资料一线性代数一）矩阵1运算法则：（1）m行n列的矩阵与p行q列的矩阵的矩阵在m =p, n =q的条件下可以相加减,加减法则：对应元素相加减.（2）数乘 （3）n行m列的矩阵与p行q列的矩阵的矩阵在m=p的条件下可以相乘，得n行q列的矩阵。乘法法则：行列相乘。如：（4）A的转置，是A的行列互换。注：A为对称矩阵的概念 （即A的元素关于A的主对角线对称） 如是对称矩阵 如不是对称矩阵（5）逆矩阵：矩阵A的逆矩阵用表示，满足。（其中I是相应于A的单位矩阵，即对角线上的数全为1，其余的数全为0的n阶矩阵）逆矩阵求法：A的元素与对应I的元素左右放置成n行2n列的矩阵（A I），

2、对矩阵(A I)进行初等行变换，变到左半部分为I时右半部分即为。初等行变换有三种：交换某二行 某一行乘非零常数 某一行每一元素都乘同一非零常数加到另一行（6）矩阵的秩：任一矩阵通过初等行变换转化为阶梯形矩阵后非零行的行数就是矩阵的秩，记为秩（A）或r(A)阶梯形矩阵满足：1.零行（一行中所有元素都是0）在最下面、 2.非零行中每行最前面0的个数比它前一行的最前面的0的个数多典型例题：说明：这部分考试时不必写，我只是写给你看看的，为了容易理解1矩阵，求。 下面求的逆矩阵 说明：此题每个箭头上方的文字考试时可以不写，我只是写给你看看的，容易理解（以下各题也一样）2分析：A是3行3列的矩阵，即3阶矩

3、阵，所以对应I为3阶单位矩阵，即这里解： 3设矩阵，是3阶单位矩阵，求解：由矩阵减法运算得利用初等行变换得即 方法总结：先从左到右变，使左下方元素变为0，再从右到左变，使右上方元素变为0且对角线元素为1。4设矩阵，求 解 所以， =5设矩阵，求解矩阵方程 分析： 即，所以本题还是求逆矩阵，即求解 因为 所以 且 说明：如果题目改为，则即 所以秩（A）3 （也可写成r（A）3）二）线性方程组 1齐次线性方程组（即方程右边常数项全为0）解法：第一步 写出系数矩阵A 第二步 对系数矩阵A进行初等行变换（同上面求逆矩阵），化为行简化阶梯形矩阵 第三步 根据行简化阶梯形矩阵写出方程组的一般解。 行简化阶

4、梯形矩阵是每一个非零行的第一个非零元素是1，且其上下都是0的阶梯形矩阵。 例1求线性方程组 的一般解说明：一般解中的系数就是方框中的数的相反数，如箭头所示。你考试时不必画框框和箭头 一般解为：（其中，是自由未知量） 2非齐次线性方程组（即方程右边常数项不全为0）解法：第一步 写出增广矩阵，即系数矩阵A再加上一列常数列 第二步 对增广矩阵进行初等行变换（同上面求逆矩阵），化为行简化阶梯形矩阵 第三步 根据行简阶梯形矩阵写出方程组的一般解。 例：求线性方程组的一般解 解：说明：一般解中的系数就是第一方框中的数的相反数，常数项就是第二方框内的数，如箭头所示。你考试时不必画框框和箭头于是方程组的一般解

5、是（是自由未知量） 3含参数的齐次方程组用方程组的系数矩阵A的秩（即通过初等行变换变为阶梯形后非零行的行数）小于未知量的个数时，方程组有非零解来确定参数的值，然后写出一般解。例：求当取何值时方程组有非零解？并求出非零解。解：将方程的系数矩阵化为阶梯形矩阵因为方程中末知数有3个，必须A的秩小于3，方程组才会有非零解，所以5时方程组有非零解此时 故一般解为4含参数的非齐次方程组用方程组系数矩阵与增广矩阵的秩相等（即两者通过初等行变换变为阶梯形矩阵后非零行的行数相等）时方程组有解来确定参数的值，然后求解。例：求当取何值时线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的一般解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形矩

6、阵由此可知当时，方程组有解此时得方程组的一般解为其中是自由未知量 二应用题1主要有两大类，求平均成本及平均成本最低，求总利润和总利润最高。2名字解释 总成本：固定成本加可变成本 边际成本：总成本的导数 总收益：生产的产品销售后得到的收入 边际收益：总收益的导数数 总利润：总收益减去总成本 边际利润：总收益的导数或边际收益减去边际成本3已知总成本求边际成本就是求总成本的导数，已知边际成本求总成本就是求边际成本的积分再加上固定成本；已知总收益（或总利润）求边际收益（ 或边际收益）就是求导数，已知边际收益（或边际利润）求总收益（或总利润）就是求边际的积分。如： 4解题方法求平均成本最低的方法：边际平

7、均成本即平均成本的导数等于零的产量对应的平均成本就是最低平均成本 求利润最高的方法：边际利润即利润的导数等于零的产量对就的利润就是最高利润。求总产量变化时成本、平均成本、收益或利润的增量时用相应的边际函数的定积分（见例2的第二小题）应用题中的导数与积分是比较简单的，以多项式为主，主要公式为：如： 5典型例题：例1 已知某产品的边际成本（万元/百台），为产量（百台），固定成本为18（万元），求该产品的平均成本最低平均成本解（1） 平均成本函数 （说明：若要求产量q=10时的总成本与平均成本，则只要把q=10代入就可以。即 （2），令，解得唯一驻点因为平均成本存在最小值，且驻点唯一，所以，当产量为

8、300台时，可使平均成本达到最低。最低平均成本为（万元/百台）例2 生产某产品的边际成本为 (万元/百台)，边际收入为（万元/百台），其中为产量，问（1）产量为多少时，利润最大？（2）从利润最大时的产量再生产百台，利润有什么变化？解： 令 得 （百台），可以验证是是的最大值点，即当产量为20（百台）即台时，利润最大从利润最大时的产量再生产2百台，利润变化为 即从利润最大时的产量再生产百台，利润将减少万元三微积分部分一）求导数：以复合函数求导为主。1记住常见函数的导数12求导的四则运算法则：(1)和差的导数 （2）乘积的导数 特例（3）商的导数 3复合函数求导方法：如：。 思路：把 解：（这实际

9、上就是上面公式 等等的应用）典型例题：1已知，求 分析：这首先是乘积的导数,然后求的导数时是复合函数的导数. 解： 2设，求 分析：这首先是差的导数,然后求的导数都是复合函数的导数.3 分析：这首先是商的导数，然后在求的导数时是复合函数的导数4 分析：这是复合函数的导数，但有两层复合。 解：说明：（1）若题目改为求dy，则只要在求出即可。 （2）若题目改为求，则只要在求出导数后如： 二）求积分1原函数定义 2积分的定义 3积分公式 4积分方法（1）直接法 直接利用公式计算 （而且用到公式）（2）凑微分法 ，如常用到： （3）分部积分法 （主要掌握以下几个题型即可） 5定积分 （1）即（要见求定积分实际上是先求不定积分再补是最后一步即可）如： (2)分部积分法 如：典型例题：1求 解：2计算 解：3计算 解：= 上面三题是凑微分法。3计算 4求 解： 5 解：以上三题是积分的分部积分法。复习课资料9（共9页）