谈高中数学教学中普遍存在的十大问题

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1、谈高中数学教学中普遍存在的十大问题李 祎 教 授 博 导福 建 师 范 大 学 数 学 与 计 算 机 科 学 学 院 目 录一、不善于对教材进行深入挖掘和剖析二、不能有效揭示数学的本质特质和属性三、不能站在较高观点来认识和分析问题四、不善于对数学教材进行质疑和批判五、过于注重细枝末节而导致逐末舍本 目 录六、不能抓住教学中的重点和难点来组织教学七、不能有效稚化自己的思维引导学生展开探究八、不注重思想方法的提炼与数学文化的渗透九、不善于运用启发的策略来引导学生展开探究十、不会对数学课堂教学进行深入分析和评价 一、不善于对教材进行深入挖掘和剖析 数 学 教 师 要 形 成 和 具 备 较 高 的

2、 数 学 素 养 ， 就 必 须经 常 善 于 深 入 挖 掘 和 剖 析 教 材 ， 仔 细 揣 摩 ， 反 复琢 磨 ， 穷 根 究 底 ， 深 及 精 髓 ， 力 求 获 得 对 教 材 的透 彻 理 解 ， 形 成 对 所 教 内 容 的 深 刻 感 悟 。 只 有 钻 得 深 ， 才 能 站 得 高 ， 才 能 讲 得 透 。 浮 光 掠 影 ， 浅 尝 辄 止 ， 一 知 半 解 ， 不 求 甚 解 ， 这样 是 无 法 很 好 地 驾 驭 教 材 的 。 1、 对 某 些 规 定 的 深 入 认 识 为 什 么 零 不 能 作 分 母 ？ 为 什 么 分 数 相 加 时 首 先

3、要 通 分 ？ 为 什 么 要 规 定 ？ 在 指 数 函 数 中 ， 为 什 么 要 规 定 a0呢 ？ 在 对 数 函 数 中 ， 为 什 么 要 规 定 a不 等 于 1呢 ？ 为 什 么 在 反 函 数 中 ， 要 把 互 换 ？ 1( )x f y x y和xy a 0 1a 2、 对 数 学 推 证 的 深 入 探 求 （ 1） 等 差 数 列 求 和 公 式 的 推 导 配 对 求 和 （ 由 高 斯 求 和 引 出 ） 化 归 转 化 （ 先 求 Sn=1+2+n） 倒 序 相 加 面 积 法 an=a1+(n-1)d， 不 妨 设 ai0 (a1+a2)/2+ (a2+a3)

4、/2+ (an-1+an)/2 = (n-1)(a1+an)/2两 段 同 时 加 (a1+an)/2， 整 理 便 得 。 （ 2） 等 比 数 列 求 和 公 式 的 推 导 等 比 定 理 化 归 转 化 提 取 a1：3 2 321 2 1 1 2 1,n nn na a a a aa q qa a a a a a 得 1 11 1 1 1(1 )n nnS a a q a q a q q 归 纳 猜 想 错 位 相 消 透 视 “ 错 位 相 消 ” 的 实 质 求 和 的 实 质 2 322 1 1 3 1 111 11 1(1 ) , (1 ) ,1 11(1 ) ,1 nnn

5、q qS a q a S a q q aq qqS a q q a q 其 它 方 法 提 取 q： 数 学 美 的 启 示 ： 1 21 1 1 1 1 1 11 1 1 ( )( )n nn n n nS a a q a q a q a a q a qa qS a q S a 11 1 111 1 1 1 11 1 nn n n nnnS a a q a qa a q a q a q a qa qS a q （ 3） 二 项 式 定 理 的 证 明 能 否 严 格 进 行 推 导 和 证 明 ？ (1 ) 1n nn n nba b a a xa 设 0 1 2 2 0 1 2 20 1

6、2 2 3 11 11 11 , ,1 (1 ) , 1 1 .n n nn n n nn nn n n n n n nn n n n nn n n nn n nx C C x C x C xS C C x C x C xxS C x C x C x C xx S SS x S S x S x 只 需 证 明设于 是故 （ 4） 绝 对 值 不 等 式 的 理 解 动 静 转 换 数 形 结 合 , ,a b a b a by x b y x b y x b 二、不能有效揭示数学的本质特质和属性 “ 强 调 本 质 ， 注 意 适 度 形 式 化 ” ： 高 中 数 学 不 能只 限 于 形

7、式 化 的 表 达 ， 要 强 调 对 数 学 本 质 的 认 识 ，通 过 返 璞 归 真 ， 努 力 揭 示 数 学 概 念 、 法 则 、 结 论的 发 展 过 程 和 本 质 。 否 则 会 将 生 动 活 泼 的 数 学 思维 活 动 淹 没 在 形 式 化 的 海 洋 里 。 要 讲 逻 辑 推 理 ， 更 要 讲 道 理 ， 通 过 典 型 例 子 的 分析 和 学 生 的 探 索 活 动 ， 使 学 生 理 解 数 学 概 念 、 结论 形 成 的 过 程 ， 体 会 蕴 涵 在 其 中 的 思 想 方 法 。 数 学 本 质 揭 示 的 过 程 ， 也 就 是 概 念 的 形

8、 成 过 程 ，结 论 的 推 导 过 程 ， 方 法 的 思 考 过 程 ， 问 题 的 发 现过 程 ， 思 路 的 探 索 过 程 ， 规 律 的 概 括 过 程 等 。 1、 宏 观 上 对 学 科 本 质 的 把 握 （ 1） 代 数 的 结 构 代 数 的 本 质 是 用 符 号 表 示 数 和 未 知 数 参 与 运 算 。 代 数 主 要 研 究 ： 数 式 运 算 和 方 程 求 解 。 两 种 数 ； 三 种 式 ； 六 种 运 算 ； 四 类 方 程 。 进 一 步 发 展 ： 次 数 更 高 的 方 程 ， 未 知 数 更 多 的方 程 。 从 代 数 式 （ 符 号

9、代 表 数 ） ， 到 方 程 （ 符 号 代 表未 知 数 ） ， 到 函 数 （ 符 号 代 表 变 数 ） （ 函 数 实质 是 几 何 的 代 数 化 ） （ 2） 几 何 的 结 构 直 观 几 何 ： 对 平 面 图 形 、 立 体 图 形 的 认 识 ； 度 量 几 何 ： 求 长 度 、 角 度 、 面 积 、 体 积 等 问 题 ； 演 绎 几 何 ： 垂 直 、 平 行 、 全 等 、 相 似 运 动 几 何 ： 如 平 移 、 旋 转 和 对 称 等 ； 坐 标 几 何 。 （ 3） 解 析 几 何 的 本 质 （ 4） 微 积 分 的 本 质 2、 微 观 上 对 概

10、念 本 质 的 把 握 概 念 是 反 映 事 物 本 质 属 性 的 思 维 产 物 . 数 学 ： 空 间 形 式 和 数 量 关 系 . 数 学 概 念 ： 反 映 数 学 对 象 的 本 质 属 性 的 思 维 产 物 . 本 质 属 性 ： 共 有 性 ， 特 有 性 ， 整 体 性 。 示 例 1： 集 合 的 本 质 幼 儿 园 小 孩 子 学 集 合 示 例 2： 复 数 的 本 质 复 数 是 二 元 数 ,实 数 是 一 元 数 .与 把 一 元 的 实 数 看作 “ 单 纯 的 数 ” 相 比 ,二 元 的 复 数 不 仅 数 量 意 义 ,而 且 还 有 方 向 意 义

11、 ,它 是 一 种 “ 有 方 向 的 数 ” ，“ 数 量 加 方 向 ” 是 复 数 的 本 质 属 性 。 用 几 何 形 式 表 示 ： 它 的 意 义 是 一 个 向 量 ,其 本 质 特征 是 向 量 的 长 度 和 方 向 ; 用 三 角 形 式 表 示 ： 在 z= r(cos+isin)中 , r表 示复 数 向 量 的 长 度 ,表 示 复 数 向 量 的 方 向 . 用 代 数 形 式 表 示 ： 本 质 属 性 不 是 很 明 显 ,需 要 揭 示 。 示 例 3： 函 数 概 念 的 本 质 数 学 概 念 的 本 质 属 性 ， 是 指 一 类 特 定 数 学 对

12、象 在一 定 范 围 内 保 持 不 变 的 性 质 ， 而 可 变 的 性 质 则 是“ 非 本 质 属 性 ” 。 设 A、 B是 非 空 数 集 ， 如 果 按 照 某 种 确 定 的 对 应 关系 f， 使 对 于 集 合 A中 的 任 意 一 个 数 x， 在 B中 都 有唯 一 确 定 的 数 f（ x） 和 它 对 应 ， 则 称 f： A B为从 集 合 A到 集 合 B的 一 个 函 数 ， 记 作 y=f（ x） ，x A.其 中 x叫 做 自 变 量 ， x的 取 值 范 围 A叫 做 函 数的 定 义 域 ； 与 x的 值 相 对 应 的 y值 叫 做 函 数 值 ，

13、函数 值 的 集 合 f（ x） |x A叫 做 函 数 的 值 域 。 显然 ， 值 域 是 集 合 B的 子 集 。 “非 空 数 集 ” 是 否 为 函 数 的 本 质 属 性 ？ “ 单 值 对 应 ” 是 否 为 函 数 的 本 质 属 性 ？ “ 变 量 说 ” 的 局 限 性 ： “ 对 应 说 ” 的 局 限 性 ： “ 关 系 说 ” 定 义 函 数 ： 积 集 的 子集 函 数 究 竟 是 什 么 ？ Rxxxy ,cossin 22 2, 0,1 , 0,1y x x y x x 和 ( , ) ,X Y x y x X y Y 三、不能站在较高的观点来认识问题和分析问题

14、 占 领 制 高 点 ， 居 高 临 下 ， 深 入 浅 出 。 做 学 问 ， 先 学 “ 问 ” ， 教 做 学 问 ， 自 己 先 得 学 会“ 问 ” 。 重 要 的 是 自 己 问 自 己 。 问 的 为 什 么 越 多 ， 得 到 的 学 问 就 越 多 。 问 的 为 什么 越 深 ， 就 认 识 得 越 透 彻 、 越 深 入 。 从 多 方 面 来 发 问 ， 其 中 ， 善 于 问 “ 数 学 ” ， 学 会问 “ 数 学 ” ， 在 问 “ 数 学 ” 中 ， 便 能 求 得 进 步 。 示 例 1： 偶 数 、 奇 数 与 自 然 数 的 个 数 。 能 与 自 然 数

15、 集 建 立 一 一 对 应 的 集 合 ， 叫 可 数 集 。 全 体 正 偶 数 的 集 合 是 一 个 可 数 集 ， 全 体 正 奇 数 的集 合 也 是 可 数 集 。 可 数 集 可 以 含 有 可 数 的 真 子 集 ， 两 个 可 数 集 也 可以 并 成 一 个 可 数 集 。 整 数 集 与 有 理 数 集 都 是 可 数 集 。 按 照 基 数 概 念 ， 能 一 一 对 应 的 两 个 集 合 的 基 数 相同 ， 于 是 有 理 数 集 、 整 数 集 、 全 体 正 偶 数 集 等 ，与 自 然 数 集 有 相 同 的 基 数 。 因 而 这 些 集 合 所 含 元

16、素 “ 一 样 多 ” 。 但 这 些 集 合 又 是 一 个 包 含 另 一 个 作 为 真 子 集 ， 所以 又 不 同 于 有 限 集 元 素 的 “ 多 少 ” 概 念 。 并 非 所 有 的 无 穷 集 都 是 可 数 集 ， 实 数 集 就 不 是 可数 集 ， 这 样 ， 实 数 集 与 自 然 数 集 有 不 同 的 基 数 ，因 而 说 明 了 无 穷 集 所 含 元 素 数 量 的 多 少 还 有 某 种层 次 区 别 。 许 多 数 学 悖 论 都 与 “ 无 限 ” 有 关 ： 伽 利 略 悖 论 ： “ 正 整 数 和 偶 数 一 样 多 ” S=（ 1 1） （ 1

17、 1 ） （ 1 1 ） S= 1 （ 1 1 1 1 1 ） 示 例 2： 集 合 的 “ 三 性 ” S= ， 对 于 元 素 ， 重 复 数的 值 可 以 是 某 个 正 整 数 ， 也 可 以 是 0或 。 如 果 =0， 则 认 为 元 素 ； 如 果 ， 则 认 为 S中 有 无 穷 多 个 。 可 以 看 出 ， 一 般 集 合 就 是 只 能 取0或 1的 多 重 集 。1 1 2 2 , , , n nx x x ix i ix S i 示 例 3： 概 率 的 统 计 定 义 一 般 地 ， 在 大 量 重 复 试 验 中 ， 如 果 事 件 A发 生 的频 率 会 稳 定

18、 在 某 个 常 数 p附 近 ， 那 么 事 件 发 生 的概 率 P（ A） =p。 （ 九 年 级 上 册 ） 频 率 稳 定 于 概 率 ， 不 是 说 频 率 的 极 限 是 概 率 ， 稳 定 于 p不 能 写 成 ： n npnnn lim “ 稳 定 于 p”意 味 着 对 ， 有 即 是 说 只 要 n充 分 大 ， 那 么 频 率 充 分 接 近 概 率的 概 率 就 是 1。 大 数 定 律 以 严 格 的 数 学 形 式 表 达 了 频 率 的 稳 定性 。 就 是 说 当 n很 大 时 ， 事 件 发 生 的 频 率 与 概率 有 较 大 偏 差 的 可 能 性 很

19、小 。 实 验 目 的 在 于 体 验 用 大 数 次 实 验 的 频 率 来 估 计概 率 的 方 法 ， 而 不 在 于 验 证 可 能 性 相 等 。nn 0 1)(|lim pnP nn 四、不善于对数学教材进行质疑和批判 书 本 尤 其 是 教 材 如 同 “ 圣 经 ” ， 具 有 绝 对 至 上 的权 威 地 位 ， 有 些 教 师 通 常 不 敢 越 雷 池 于 一 步 。 对 书 本 顶 礼 膜 拜 的 结 果 ， 是 教 师 和 学 生 想 象 力 的贫 瘠 、 创 造 性 的 不 足 和 批 判 意 识 的 严 重 缺 失 。 书 本 并 非 完 美 无 暇 ， 出 现

20、错 误 也 在 所 难 免 ， 关 键是 师 生 不 能 拘 泥 于 各 种 “ 权 威 ” ， 对 课 本 应 该 用批 判 的 眼 光 审 视 它 ， 有 保 留 地 、 选 择 性 地 接 受 ，而 不 能 一 味 地 全 盘 照 搬 。 （ 三 角 形 内 角 和 定 理 的 证 明 ） 1、 函 数 单 调 性 的 定 义 ： “ 如 果 对 于 定 义 域 I内 某 个区 间 D上 的 任 意 两 个 自 变 量 的 值 ” 2、 函 数 的 定 义 ： “ 设 A、 B是 非 空 的 数 集 ， 。显 然 ， 值 域 是 集 合 B的 子 集 。 ” 变 更 ： （ 1） 设 A

21、是 非 空 的 数 集 ， 如 果 按 照 某 种 确 定的 对 应 关 系 ， 使 对 于 集 合 A中 的 任 意 一 个 数 ， 都有 唯 一 确 定 的 数 和 它 对 应 ， 那 么 就 称 为 定 义 在集 合 A上 的 一 个 函 数 。 （ 2） 在 现 行 定 义 中 ， 直 接 取 B为 函 数 的 值 域 ， 学 习映 射 后 ， 再 来 解 释 函 数 的 特 殊 性 (即 除 A、 B为 非 空数 集 外 ， 还 要 求 为 “ 满 射 ” )。 1 2,x xf xf( )f x 五、过于注重细枝末节而导致逐末舍本 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 （ 实 验

22、 ） ： 在 数 学 教学 中 ， 学 习 形 式 化 的 表 达 是 一 项 基 本 要 求 ， 但 是不 能 只 限 于 形 式 化 的 表 达 ， 要 强 调 对 数 学 本 质 的认 识 ， 否 则 会 将 生 动 活 泼 的 数 学 思 维 活 动 淹 没 在形 式 化 的 海 洋 里 。 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 （ 实 验 ） ： 应 删 减 繁琐 的 计 算 、 人 为 技 巧 化 的 难 题 和 过 分 强 调 细 枝 末节 的 内 容 ， 克 服 “ 双 基 异 化 ” 的 倾 向 。 示 例 1： 圆 的 对 称 轴 观 点 1： 认 为 “ 圆 的 直 径

23、 就 是 圆 的 对 称 轴 ” 是 错的 ， 因 为 圆 的 直 径 是 条 线 段 ， 而 圆 的 对 称 轴 应 是条 直 线 ， 应 该 说 “ 直 径 所 在 的 直 线 是 圆 的 对 称 轴 ”才 是 正 确 的 。 观 点 2： “ 圆 的 直 径 是 圆 的 对 称 轴 ” 是 正 确 的 ，原 因 是 直 径 具 备 对 称 轴 的 属 性 ， 即 ： 一 个 图 形 沿着 它 对 折 ， 两 边 的 图 形 能 够 完 全 重 合 。 三 角 形 中 ， 三 条 线 段 组 成 的 就 不 是 角 了 吗 ？ 示 例 2： y=sinx,x 0,10 是 周 期 函 数

24、吗 ？ 函 数 的 周 期 性 是 对 函 数 “ 周 而 复 始 ” 的 变 化 规律 的 数 学 刻 画 。 函 数 的 周 期 性 就 是 整 个 函 数 图形 是 否 可 以 通 过 沿 着 X轴 ， 平 移 一 段 距 离 ， 得到 的 函 数 图 象 与 原 来 的 函 数 图 象 可 以 完 全 重 合 。即 具 有 沿 着 X轴 的 平 移 不 变 的 性 质 。 f（ x+T） =f（ x） 。 在 该 定 义 中 ， 周 期 函 数 的定 义 域 只 须 没 有 上 界 或 没 有 下 界 就 可 以 ， 但 至少 要 有 一 个 是 无 界 的 ， 这 就 难 以 刻 画

25、 某 些 函 数“ 周 而 复 始 ” 的 特 点 。 一 般 地 ， 函 数 叫 做 指 数 函 数 。 一 般 地 ， 函 数 叫 做 对 数 函 数 。 思 考 ： 是 指 数 函 数 吗 ？ 是 对 数 函 数 吗 ？ 呢 ？ x=x是 不 是 方 程 ？ x/2x是 不 是 分 式 ？ 含 有 未 知 数 的 等 式 叫 做 方 程 ； 一 般 地 ， 如 果 A， B表 示 两 个 整 式 ， 并 且 B中 含 有字 母 ， 那 么 式 子 A/B叫 做 分 式 。( 0, 1)xy a a a log ( 0, 1)ay x a a 12 2xy 1222 2 22log log

26、 logy x x x 1log xay 反 思 ： 究 竟 看 实 质 ， 还 是 看 形 式 ？ 数 学 是 人 为 的 ， 也 是 为 人 的 ， 完 全 可 以 根 据 研究 问 题 的 需 要 ， 作 出 判 断 和 取 舍 。 其 实 ， 无 论 从 解 决 实 际 问 题 的 角 度 来 看 ， 还 是从 数 学 内 部 的 运 演 来 看 ， 以 上 争 议 都 没 有 太 大意 义 ， 都 是 教 条 主 义 和 八 股 化 的 具 体 表 现 。 要 “ 淡 化 形 式 ， 注 重 实 质 ” 。 过 分 地 热 衷 于 形 式 化 的 探 究 ， 过 分 地 钟 情 于

27、细 枝末 节 的 追 究 与 考 问 。 平 行 四 边 形 的 面 积 等 于 底 乘 以 高 。 等 式 两 边 同 时 加 上 或 者 减 去 一 个 数 ,所 得 的 结 果 仍然 是 等 式 。 我 们 把 解 方 程 的 过 程 叫 做 方 程 的 解 。 三 角 形 的 高 是 线 段 还 是 长 度 ？ x-x=3是 不 是 方 程 ？ 2x-x是 单 项 式 还 是 多 项 式 ？ 整 数 能 否 叫 做 分 数 ？ 六、不能抓住教学中的重点和难点来组织教学 高 水 平 教 师 与 普 通 教 师 的 差 别 在 哪 里 ？ （ 1） 教 学 生 学 “ 本 质 ” （ 2）

28、 教 学 生 学 “ 过 程 ” （ 3） 教 学 生 学 “ 思 想 ” （ 4） 教 学 生 学 “ 结 构 ” 数 学 教 学 的 “ 二 十 四 ” 字 方 针 精 力 内 容 ， 大 作 功 夫 ； 少 占 多 让 ， 少 扶 多 放 ； 绝 对 主 动 ， 相 对 自 主 。 示 例 1： 函 数 的 单 调 性 单 调 性 教 学 设 计 大 体 从 三 个 层 次 展 开 ： 首 先 ， 观 察 图 像 ， 描 述 变 化 规 律 ， 如 上 升 、 下 降 ，从 几 何 直 观 角 度 加 以 认 识 ； 其 次 ， 结 合 图 、 表 ， 用 自 然 语 言 描 述 ， 即

29、 因 变 量随 自 变 量 的 增 大 而 增 大 （ 或 减 小 ） ； 最 后 ， 用 数 学 符 号 语 言 描 述 变 化 规 律 ， 逐 步 实 现用 精 确 的 数 学 语 言 刻 画 函 数 的 变 化 规 律 。 教 学 的 困 惑 ： 从 图 像 上 不 难 获 得 图 像 “ 上 升 ” 或“ 下 降 ” 的 直 观 特 征 ， 但 为 什 么 还 要 进 一 步 来 研究 它 呢 ？ 解 释 和 说 明 ： “ 上 升 ” “ 下 降 ” 是 一 种 日 常 语 言 ，用 日 常 语 言 描 述 “ 单 调 增 ” “ 单 调 减 ” 这 样 的 数学 性 质 是 不 够

30、 准 确 的 。 能 否 用 数 学 语 言 来 描 述 函 数 的 这 种 特 点 呢 ？ 如 果可 以 的 话 ， 又 该 如 何 来 描 述 呢 ？ 这 时 结 合 图 像 的 特 点 ， 即 它 是 “ 函 数 ” 的 图 像 ，从 而 根 据 函 数 的 意 义 ， 自 然 过 渡 到 第 二 个 层 次 。 教 学 的 难 点 ： 如 何 用 符 号 化 的 数 学 语 言 来 描 述 递 增的 特 征 ， 这 其 中 有 两 个 难 点 ： 多 快 好 省 地 直 接 把 形 式 化 的 定 义 呈 现 出 来 ， 其 余 的更 多 时 间 ， 便 是 咬 文 嚼 字 式 的 强

31、 调 ， 细 枝 末 节 的 提示 ， 解 题 程 式 的 归 纳 ， 题 海 战 术 的 训 练 。 让 学 生 参 与 形 式 化 、 符 号 化 和 数 学 化 的 过 程 ： 由 图象 直 观 特 征 ， 到 自 然 语 言 描 述 ， 再 到 数 学 符 号 描 述 ；从 直 观 到 抽 象 、 从 文 字 到 符 号 、 从 粗 疏 到 严 密 的 建构 过 程 。 示 例 2： “ 二 分 法 ” 的 教 学 重 点 ： 方 程 解 的 问 题 ， 函 数 零 点 问 题 ， 逼 近 问 题 ，缩 小 区 间 问 题 ， 怎 样 缩 小 的 问 题 ， 二 分 法 问 题 。 牛

32、 顿 法 ； 弦 截 法 教 学 生 学 什 么 学 习 科 学 研 究 的 一 般 方 法 ； 教 学 生 怎 么 学 用 “ 从 无 到 有 ” 的 探 究 方 法 来进 行 学 习 。 重 点 没 凸 显 ， 难 点 没 突 破 ， 教 学 更 多 是 一 种 “ 告诉 ” 行 为 ， 教 案 中 的 重 点 和 难 点 成 了 文 字 摆 设 ，三 维 目 标 中 的 “ 过 程 与 方 法 ” 也 成 了 一 种 贴 标 签式 的 点 缀 。 七、不能有效稚化自己的思维引导学生展开探究 深 入 深 出 型 ， 自 己 的 知 识 很 丰 富 、 很 深 奥 ， 交 给学 生 的 知

33、识 也 很 深 奥 ， 学 生 听 得 不 明 所 以 然 。 浅 入 深 出 型 ， 自 己 的 知 识 很 贫 乏 ， 但 却 要 装 得 很有 学 问 ， 把 本 来 浅 显 的 问 题 讲 得 云 山 雾 罩 。 浅 入 浅 出 型 ， 自 己 懂 得 并 不 多 ， 但 能 用 通 俗 的 语言 教 给 学 生 ， 虽 说 学 生 不 会 有 太 多 提 高 ， 但 能 学到 一 些 知 识 。 深 入 浅 出 型 ， 自 己 的 学 问 很 深 ， 但 能 把 晦 涩 难 懂的 知 识 通 俗 化 ， 学 生 听 得 懂 、 学 得 会 。 教 师 的 责 任 在 于 把 写 在

34、教 科 书 上 的 冰 冷 的 学 术 形 态 ，恢 复 为 学 生 易 于 接 受 的 火 热 思 考 的 教 育 形 态 。 教 师 是 教 学 的 “ 主 导 ” ， “ 主 导 ” 务 必 立 足 于 “ 学为 主 体 ” 之 上 ， 教 师 绝 不 能 “ 喧 宾 夺 主 ” ； “ 主 导 ”重 在 “ 授 之 以 渔 ” ， 教 师 决 不 能 “ 越 俎 代 庖 ” 。 教 师 事 先 把 数 学 知 识 切 碎 、 嚼 烂 了 ， 再 通 过 简 单 的灌 输 方 式 喂 给 学 生 ， 把 数 学 知 识 的 主 动 建 构 “ 转 换 ”为 知 识 的 被 动 接 受 ，

35、 把 数 学 思 维 方 面 应 有 的 训 练“ 转 嫁 ” 给 “ 机 械 记 忆 ” 。 所 谓 稚 化 思 维 ， 就 是 教 师 把 自 己 的 外 在 权 威 隐 蔽起 来 ， 教 学 时 不 以 知 识 丰 富 的 教 师 自 居 ， 而 是 把自 己 的 思 维 降 格 到 学 生 的 思 维 水 平 ， 亲 近 学 生 ，接 近 学 生 ， 有 意 识 地 退 回 到 与 学 生 相 仿 的 思 维 状态 ， 设 身 处 地 地 揣 摩 学 生 的 学 习 水 平 、 状 态 等 ，有 意 识 地 生 发 一 种 陌 生 感 、 新 鲜 感 ， 以 与 学 生 同样 的 认

36、知 兴 趣 、 同 样 的 学 习 情 绪 、 同 样 的 思 维 情境 、 共 同 的 探 究 行 为 来 完 成 教 学 的 和 谐 共 创 。 示 例 1： 直 线 的 方 向 向 量 与 平 面 的 法 向 量 为 什 么 要 提 出 方 向 向 量 与 法 向 量 的 概 念 ？ 如 何 来 刻 画 直 线 与 平 面 的 方 向 ？ 为 什 么 要 用 方 向 向 量 来 刻 画 直 线 的 方 向 ？ 为 什 么 要 用 法 向 量 来 刻 画 平 面 的 方 向 ？ 示 例 2： 直 线 的 斜 率 为 什 么 有 了 倾 斜 角 已 能 确 定 直 线 方 向 的 前 提 下

37、 ，还 一 定 要 将 其 代 数 化 ？ 变 量 (x， y)与 作 为 不 变 量 的 倾 斜 角 ， 不 能 直 接 建立 起 关 系 ， 还 必 须 将 倾 斜 角 代 数 化 ， 变 量 (x， y)与 不 变 量 斜 率 k才 能 建 立 起 关 系 。 斜 率 公 式 反 映 出 斜 率 在 联 系 两 点 的 坐 标 与 直 线 倾斜 角 的 优 越 性 ； 斜 率 在 研 究 直 线 平 行 与 垂 直 上 的作 用 。 “ 率 ” ， 是 指 两 个 相 关 数 的 比 值 ， x变 化 单 位 长时 ， 看 y变 化 了 多 少 ， 实 质 是 对 x和 y变 化 的 快

38、 慢程 度 的 刻 画 。 角 越 大 ， 倾 斜 程 度 越 大 ， 该 特 定 比值 越 大 。 教 学 难 点 ： 建 立 直 线 方 程 的 过 程 ， 是 寻 求 其 不 变量 k， 建 立 变 量 (x， y)与 不 变 量 k的 数 量 关 系 的 过程 。 但 这 里 的 不 变 量 是 角 度 ， 而 不 是 距 离 。 比 之圆 、 椭 圆 、 双 曲 线 、 抛 物 线 几 种 曲 线 ， 尽 管 直 线是 非 常 简 单 的 图 形 ， 但 其 方 程 建 立 过 程 更 显 复 杂 。 为 什 么 要 用 正 切 ？ 首 先 与 “ 坡 度 ” 概 念 一 致 。 坡

39、 面 的 铅 直 高 度 和 水平 长 度 的 比 。 （ 垂 直 变 化 率 ） 其 次 ， 不 管 是 锐 角 变 化 ， 还 是 钝 角 变 化 ， 反 映 的都 是 倾 斜 角 越 大 ， 斜 率 越 大 。 第 三 ， 正 切 值 就 是 直 线 的 变 化 率 ， 这 样 ， 采 用 正切 值 与 导 数 保 持 了 一 致 性 。 八、不注重思想方法的提炼与数学文化的渗透 显 性 的 知 识 是 写 在 教 材 上 的 一 条 明 线 ， 隐 性 的 思 想是 潜 藏 其 中 的 一 条 暗 线 。 明 线 容 易 理 解 ， 暗 线 不 易 看 明 。 数 学 思 想 是 对

40、数 学 对 象 的 本 质 认 识 ， 是 对 具 体 的 数学 概 念 、 命 题 、 规 律 、 方 法 等 的 认 识 过 程 中 概 括 的基 本 观 点 。 数 学 方 法 是 指 数 学 活 动 中 所 采 用 的 途 径 、 方 式 、 手段 、 策 略 等 。 有 意 识 地 使 用 提 示 语 ， 使 思 想 方 法 显 性 化 ， 使 思 想方 法 的 学 习 和 掌 握 ， 从 自 发 走 向 自 觉 ， 从 无 意 识 默会 走 向 有 意 识 习 得 。 米 山 国 藏 ： 学 生 所 学 的 数 学 知 识 ， 在 进 入 社 会 后几 乎 没 有 什 么 机 会

41、应 用 ， 因 而 这 种 作 为 知 识 的 数学 ， 通 常 在 走 出 校 门 后 不 到 一 两 年 就 忘 掉 了 。 然而 不 管 他 们 从 事 什 么 工 作 ， 唯 有 深 深 铭 刻 于 头 脑中 的 数 学 思 想 和 方 法 等 随 时 地 发 生 作 用 ， 使 他 们受 益 终 身 。 示 例 1： 哲 学 辩 证 观 点 的 揭 示 加 与 减 ， 乘 与 除 ； 极 限 中 的 过 程 与 结 果 、 有 限 与无 限 、 近 似 与 精 确 ； 导 数 。 示 例 2： 各 种 函 数 性 质 的 研 究 通 过 图 像 研 究 函 数 的 性 质 数 形 结

42、 合 思 想 ； 通 过 具 体 函 数 的 性 质 归 纳 出 一 般 函 数 的 性 质 从 特 殊 到 一 般 的 归 纳 思 想 ； 区 分 情 况 来 讨 论 函 数 的 性 质 分 类 讨 论 思 想 ； 通 过 对 比 来 研 究 函 数 性 质 类 比 的 思 想 方 法 ； 函 数 性 质 应 用 实 例 数 学 模 型 思 想 方 法 。 例 如 :反 比 例 函 数 ， 单 调 性 ， 指 数 函 数 ， 对 数 函 数 示 例 3： 正 弦 定 理 的 各 种 证 明 方 法 证 法 1： 作 高 法 证 法 2： 面 积 法 证 法 3： 外 接 圆 法 证 法 4：

43、 角 平 分 线 法 数 学 中 究 竟 有 哪 些 思 想 方 法 ？ A.数 学 思 想 方 法 的 系 统 分 类 哲 学 的 视 角 ： 形 式 与 内 容 ； 运 动 与 静 止 ； 偶 然 与必 然 ； 现 象 与 本 质 ； 原 因 与 结 果 ； 整 体 与 局 部 ；有 限 与 无 限 ； 等 。 思 维 的 视 角 ： 观 察 与 实 验 ； 类 比 与 猜 想 ； 归 纳 与演 绎 ； 分 析 与 综 合 ； 抽 象 与 概 括 ； 特 殊 与 一 般 ；比 较 与 分 类 ； 等 。 数 学 的 视 角 ： 1、 全 局 性 的 方 法 ： 数 学 模 型 方 法 ；

44、关 系 映 射反 演 方 法 ； 公 理 化 方 法 ； 坐 标 方 法 ； 等 。 2、 技 巧 性 的 方 法 ： 解 题 策 略 层 面 ； 解 题 方 法层 面 ； 解 题 技 巧 层 面 。 高 考 考 试 大 纲 ： 函 数 与 方 程 思 想 ； 数 形 结 合 思想 ； 分 类 与 整 合 思 想 ； 化 归 与 转 化 思 想 ； 特 殊与 一 般 思 想 ； 有 限 与 无 限 思 想 ； 必 然 与 或 然 思想 。 B.数 学 抽 象 的 思 想 ； 数 学 推 理 的 思 想 ； 数 学 模型 的 思 想 。 数 学 抽 象 的 思 想 派 生 出 的 有 ： 分 类

45、 的 思 想 ； 集 合 的 思 想 ； 数 形 结 合 的 思 想 ； 变 中 有 不 变 的 思 想 ； 符 号 表 示 的 思 想 ； 对 称 的 思 想 ； 对 应 的 思 想 ； 有 限 与 无 限 的 思 想 等 。 数 学 推 理 的 思 想 派 生 出 的 有 ： 归 纳 的 思 想 ； 演 绎 的 思 想 ； 公 理 化 思 想 ； 转 换 与 化 归 的 思 想 ； 联 想 与 类 比 的 思 想 ； 逐 步 逼 近 的 思 想 ； 代 换 的 思 想 ； 特 殊 与 一 般 的 思 想 等 。 数 学 模 型 的 思 想 派 生 出 的 有 ： 简 化 的 思 想 ； 量

46、 化 的 思 想 ； 函 数 的 思 想 ； 方 程 的 思 想 ； 优 化 的 思 想 ； 随 机 的 思 想 ； 抽 样 统 计 的 思 想 等 。 九、不善于运用启发的策略来引导学生展开探究 1、 启 发 的 重 要 性 教 师 在 教 学 中 的 主 要 任 务 是 “ 引 导 ” ， 而 “ 启 发 ”则 是 教 师 引 导 学 生 学 习 的 基 本 方 法 。 孔 子 :“ 吾 有 知 乎 哉 ？ 无 知 也 。 有 鄙 夫 问 于 我 ，空 空 如 也 。 我 叩 其 两 端 而 竭 焉 。 ” 苏 格 拉 底 ： 从 来 都 没 有 教 给 别 人 什 么 ， 只 不 过 是

47、象 一 个 灵 魂 的 接 生 婆 那 样 ， 帮 助 人 们 产 生 自 己 的思 想 、 观 点 。 2、 二 重 启 发 原 理 解 析 从 内 容 的 角 度 来 看 ， 这 种 启 发 性 的 帮 助 应 由 易 到难 ， 以 符 合 认 知 规 律 ； 从 思 维 的 角 度 来 看 ， 这 种 启 发 性 的 帮 助 应 由 远 及近 ， 以 提 高 思 维 强 度 。 简 单 、 容 易 的 内 容 在 启 发 时 ， 距 离 目 标 的 起 点 可远 些 ， 以 提 高 思 维 强 度 ； 复 杂 、 困 难 的 内 容 在 启 发 时 ， 距 离 目 标 的 起 点 可近

48、些 ， 以 节 约 学 习 的 时 间 。 3、 启 发 的 适 度 性 策 略 分 析 不 能 过 于 直 白 ， 也 不 能 过 于 含 蓄 。 言 近 而 旨 远 ， 言 有 尽 而 意 无 穷 ， 话 里 有 话 或 弦 外有 音 ； 举 一 而 寓 三 ， 一 语 而 多 关 ， 或 迂 回 设 问 。 语 忌 直 ， 意 忌 浅 ， 脉 忌 露 ， 味 忌 短 。 启 发 的 主 要 作 用 在 于 给 学 生 以 暗 示 。 暗 示 不 成 再 明 讲 。 波 利 亚 ： “ 你 能 不 能 应 用 勾 股 定 理 啊 ？ ” a. 如 果 学 生 已 经 接 近 于 问 题 的

49、 解 答 ， 可 是 他 已 不需 要 这 项 帮 助 了 。 反 之 ， 他 就 很 可 能 完 全 不 明 白这 一 提 问 的 作 用 。 b. 它 把 所 有 的 奥 秘 都 显 露 出 来 ， 几 乎 没 有 留 下 什么 可 给 学 生 做 了 。 c. 即 使 学 生 能 应 用 它 来 解 决 手 头 的 这 个 题 目 ， 但对 以 后 会 碰 到 的 题 目 他 们 根 本 没 有 学 到 什 么 。 d. 就 算 学 生 懂 得 这 提 问 的 作 用 ， 可 是 他 很 难 体 会到 教 师 凭 什 么 会 想 到 它 的 。 4、 启 发 的 适 时 性 策 略 分

50、析 当 启 处 启 ， 当 发 处 发 ， “ 启 ” 在 关 键 处 ， “ 发 ”在 要 害 处 ， 防 止 超 前 启 发 和 滞 后 启 发 。 “ 首 先 是 不 是 该 呢 ？ ” ， “ 接 下 来 是 不是 呢 ？ ” ， “ 然 后 是 不 是 呢 ？ ” 启 发 的 时 间 等 待 理 论 。 示 例 ： “ 你 能 不 能 应 用 勾 股 定 理 啊 ？ ” 当 教 师 这 样 进 行 提 问 时 ， 对 学 生 的 帮 助 就 是 太 多了 。 它 有 以 下 几 点 坏 处 （ 大 意 ） ： a. 如 果 学 生 已 经 接 近 于 问 题 的 解 答 ， 他 当

51、然 明 白这 一 提 问 所 包 含 的 启 示 意 义 ， 可 是 他 已 不 需 要 这项 帮 助 了 。 反 之 ， 一 个 学 生 离 开 问 题 的 解 决 还 远得 很 的 时 候 ， 他 就 很 可 能 完 全 不 明 白 这 一 提 问 的作 用 。 因 此 这 一 提 问 并 不 能 帮 助 那 些 急 需 帮 助 的学 生 。 b. 如 果 这 一 提 问 的 启 示 意 义 是 被 了 解 了 ， 那 么 ，它 把 所 有 的 奥 秘 都 显 露 出 来 ， 几 乎 没 有 留 下 什 么可 给 学 生 做 了 。 c. 这 一 提 问 的 启 示 意 义 太 狭 隘 ，

52、 即 使 学 生 能 应 用它 来 解 决 手 头 的 这 个 题 目 ， 但 对 以 后 会 碰 到 的 题目 他 们 根 本 没 有 学 到 什 么 ， 这 一 提 问 太 不 具 有 启发 性 了 。 d. 就 算 学 生 懂 得 这 提 问 的 作 用 ， 可 是 他 很 难 体 会到 教 师 凭 什 么 会 想 到 它 的 ， 学 生 本 人 怎 样 才 能 够独 立 地 想 到 它 的 。 看 起 来 这 提 问 太 不 自 然 了 ， 这就 像 从 一 顶 帽 子 里 抓 出 一 只 兔 子 的 戏 法 一 样 令 人感 到 意 外 ， 它 根 本 就 不 具 有 什 么 启 发

53、 性 。 十、不会对数学课堂教学进行深入分析和评价 综 合 研 析 。 对 一 节 课 从 整 体 上 作 出 全 面 、 系 统 、综 合 性 评 价 。 先 分 析 后 综 合 。 单 项 研 析 。 选 择 一 个 体 会 最 深 、 感 触 最 大 、 认 识深 刻 的 角 度 或 侧 面 来 进 行 评 课 。 挖 掘 亮 点 。 寻 找 和 抓 住 被 观 察 者 的 教 学 特 点 或 教学 风 格 来 进 行 评 课 。 以 果 溯 因 。 透 过 表 面 现 象 ， 从 现 象 到 本 质 、 从 表象 到 规 律 ， 概 括 教 学 的 突 出 特 点 和 主 要 问 题

54、。 教 学 诊 断 。 诊 ： 发 现 和 提 出 问 题 ； 断 ： 分 析 问 题产 生 原 因 ； 治 ： 对 症 下 药 ， 提 出 改 进 意 见 。 （ 1） 常 规 评 课 视 角 教 学 的 目 标 与 效 果 ； 教 学 的 内 容 与 加 工 ； 教 学 的 重 点 与 难 点 ； 教 学 的 方 法 与 手 段 ； 教 学 的 过 程 与 结 构 ； 教 师 教 学 的 基 本 功 。 （ 2） 教 学 理 论 分 析 视 角 各 种 教 学 理 论 、 认 知 理 论 的 视 角 。 寻 找 和 开 拓 更 多 的 视 角 ： 知 识 意 义 的 生 成 视 角 ： 无

55、 知 ， 未 知 ， 有 知 ， 真 知 问 题 提 出 与 解 决 的 视 角 问 题 链 的 构 建 数 学 教 学 设 计 的 新 视 角 学 程 设 计 ， 弹 性 设 计 ，动 态 设 计 ， 意 义 设 计 数 学 课 堂 有 效 提 问 的 视 角 启 发 性 与 探 究 性 数 学 教 学 资 源 利 用 的 视 角 预 设 性 资 源 ， 携 带性 资 源 ， 生 成 性 资 源 （ 3） 学 科 理 论 分 析 视 角 “ 教 什 么 ” 始 终 是 课 堂 教 学 的 中 心 ； 当 “ 怎 么 教 ”凌 驾 于 “ 教 什 么 ” 之 上 时 ， 这 就 是 课 堂 “

56、 华 而 不实 ” 的 典 型 表 现 。 教 学 内 容 决 定 着 活 动 的 形 式 ， 活 动 的 形 式 服 务 于教 学 内 容 ， 教 学 内 容 的 核 心 是 数 学 本 质 ， 活 动 的最 终 目 的 是 揭 示 数 学 本 质 。 一 堂 好 课 主 要 的 标 志 是 教 学 内 容 正 确 并 使 学 生 有所 收 获 和 发 展 ， 在 此 前 提 下 ， 课 堂 组 织 散 漫 一 点 ，教 学 中 出 现 一 些 弯 路 插 曲 ， 都 是 常 态 ， 无 伤 大 雅 ，课 堂 教 学 形 态 应 该 走 向 相 对 地 宽 松 乃 至 有 节 制 的随 意 。 数 学 概 念 本 质 的 揭 示 水 平 数 学 命 题 实 质 的 理 解 水 平 数 学 过 程 形 态 的 展 现 水 平 数 学 思 想 实 质 的 领 悟 水 平 数 学 知 识 结 构 的 把 握 水 平 数 学 试 题 价 值 的 负 载 水 平 谢 谢电 话 ： 13459192429邮 箱 ：