221双曲线及其标准方程

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1、2.2.1 双 曲 线 及 其 标 准 方 程 花 瓶 北 京 摩 天 大 楼 法 拉 利 主 题 公 园 巴 西 利 亚 大 教 堂 教 学 目 标 ： 理 解 记 住 双 曲 线 的 定 义 ， 几 何 图 形 . 记 住 双 曲 线 的 标 准 方 程 ， 会 分 析 标 准 方程 的 推 导 过 程 . 会 利 用 双 曲 线 的 定 义 和 标 准 方 程 解 决 简单 的 应 用 问 题 . 问 题 1： 椭 圆 的 定 义 是 什 么 ？平 面 内 与 两 个 定 点 |F1F2|的 距 离 的 和 等 于 常 数 （ 大 于 |F1F2| ）的 点 的 轨 迹 叫 做 椭 圆

2、。问 题 2： 椭 圆 的 标 准 方 程 是 怎 样 的 ?)0(1)0(1 22222222 babxaybabyax 或 ， ， 关 系 如 何 ？a b c 222 cba 问 题 3： 如 果 把 椭 圆 定 义 中 “ 距 离 的 和 ” 改 为 “ 距 离 的 差 ”那 么 动 点 的 轨 迹 会 发 生 怎 样 的 变 化 ？ 平 面 内 与 两 个 定 点 F1， F2的 距 离 的 差 的 绝 对 值 等 于 常 数（ 小 于 |F1F2|， 且 不 等 于 0） 的 点 的 轨 迹 叫 做 双 曲 线 。这 两 个 定 点 叫 做 双 曲 线 的 焦 点 ， 两 焦 点

3、间 的 距 离 叫做 双 曲 线 的 焦 距 。通 常 情 况 下 ， 我 们 把 |F1F2|记 为 2c（ c0)； 常 数 记 为 2a(a0).问 题 4:定 义 中 为 什 么 强 调 常 数 要 小 于 |F 1F2|且 不 等 于 0（ 即 02a2c,则 轨 迹 是 什 么 ？ 若 2a=0,则 轨 迹 是 什 么 ？此 时 轨 迹 为 以 F1或 F2为 端 点 的 两 条 射 线此 时 轨 迹 不 存 在此 时 轨 迹 为 线 段 F1F2的 垂 直 平 分 线F1 F2F 1 F2 分 3种 情 况 来 看 ： 二 、 双 曲 线 标 准 方 程 的 推 导 建 系 1F

4、 2F使 轴 经 过 两 焦 点 ， 轴 为 线 段 的 垂 直 平 分 线 。x 21,FF 21,FFy xyO 设 点设 是 双 曲 线 上 任 一 点 ，),( yxM M 焦 距 为 ， 那 么 焦 点 又 设 |MF 1|与 |MF2| 的 差 的 绝 对 值 等 于 常 数 。)0(2 cc )0,(),0,( 21 cFcF a2 列 式 aMFMF 221 即 aycxycx 2)()( 2222 aycxycx 22222 将 上 述 方 程 化 为 ： aycxycx 22222 移 项 两 边 平 方 后 整 理 得 ： 222 ycxaacx 两 边 再 平 方 后

5、整 理 得 ： 22222222 acayaxac 由 双 曲 线 定 义 知 ： ac 22 即 ： ac 0 22 ac设 0222 bbac 代 入 上 式 整 理 得 ： 122 222 ac yax两 边 同 时 除 以 得 ： 222 aca )0,0(12222 babyax 化 简 这 个 方 程 叫 做 双 曲 线 的 标 准 方 程 ， 它 所 表 示 的 双 曲 线 的 焦点 在 x轴 上 ， 焦 点 是 F1(-c， 0)， F2(c， 0). 其 中 c2=a2+b2. 类 比 椭 圆 的 标 准 方 程 ， 请 思 考 焦 点 在 y轴 上 的 双曲 线 的 标 准

6、 方 程 是 什 么 ？ 1F2F xyO)0,0(12222 babxay 其 中 c2=a2+b2.这 个 方 程 叫 做 双 曲 线 的 标 准 方 程 ， 它 所 表 示 的 双 曲 线 的 焦点 在 y轴 上 ， 焦 点 是 F 1(0， -c)， F2(0， c). )0,0(12222 babxay)0,0(12222 babyax三 .双 曲 线 两 种 标 准 方 程 的 比 较 方 程 用 “ ” 号 连 接 。 分 母 是 但 大 小 不 定 。0,0, 22 baba ba, 。 222 bac 如 果 的 系 数 是 正 的 ， 则 焦 点 在 轴 上 ； 如 果 的

7、 系 数 是 正 的 ， 则焦 点 在 轴 上 。2x x 2yy OM F2F1 xyF2F1 M xOy 定 义 方 程 焦 点a.b.c的关系 F（ c， 0） F（ c， 0）a0， b0， 但 a不 一定 大 于 b， c 2=a2+b2ab0， a2=b2+c2 四 、 双 曲 线 与 椭 圆 之 间 的 区 别 与 联 系|MF1| |MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭 圆 双 曲 线F（ 0， c） F（ 0， c）2 22 2 1( 0)x y a ba b 2 2 2 2 1( 0)y x a ba b 2 22 2 1( 0, 0)x y a ba b 2

8、22 2 1( 0, 0)y x a ba b 判 断 下 列 方 程 是 否 表 示 双 曲 线 ？ 若 是 ， 求 出 及 焦 点 坐 标 。cba , )0,0(141243 12221241 2222 2222 nmnymxyx yxyx答 案 ： )0,6).(0,6(6,2,21 cba )0,2).(0,2(2,2,22 cba )6,0).(6,0(6,2,23 cba )0,).(0,(,4 nmnmnmcnbma 题 后 反 思 ：先 把 非 标 准 方 程化 成 标 准 方 程 ，再 判 断 焦 点 所 在的 坐 标 轴 。 变 式 训 练解 ： 因 为 双 曲 线 的

9、焦 点 在 x轴 上 ， 所 以 设 它 的 标 准 方 程 为)0,0(12222 babyax因 此 ， 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 .1916 22 yx 题 后 反 思 ：求标准方程要做到先定型，后定量。两 条 射 线轨 迹 不 存 在例 1、 已 知 双 曲 线 的 焦 点 F1(-5,0), F2(5,0)， 双 曲 线 上 一 点 P到 焦点 的 距 离 差 的 绝 对 值 等 于 8， 求 双 曲 线 的 标 准 方 程 。1.若 |PF1|-|PF2|=8呢 ？2.若 |PF1|-|PF2|=10呢 ？3.若 |PF1|-|PF2|=12呢 ？ )0.(1916 22

10、 xyx所 以 2c=10， 2a=8。 即 a=4， c=5那 么 b2=c2-a2=25-16=9根 据 已 知 条 件 ， |F1F2|=10. |PF1|-|PF2|=8， 求 适 合 下 列 条 件 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 。 焦 点 在 在 轴 上 ， ； 焦 点 在 在 轴 上 ， 经 过 点 .xx 3,4 ba )2,315(),3,2( 答 案 : 1916 22 yx )0,0(12222 babyax 设 双 曲 线 的 标 准 方 程 为代 入 点 得)2,315(),3,2( 1235 132 22 22 ba ba 令 22 1,1 bnam 则 12

11、35 132 nm nm解 得 311nm 故 所 求 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 .1322 yx 使 A、 B两 点 在 x轴 上 ， 并且 点 O与 线 段 AB的 中 点 重 合解 : 由 声 速 及 在 A地 听 到 炮 弹 爆 炸 声 比 在 B地 晚 2s,可 知 A地 与 爆 炸 点的 距 离 比 B地 与 爆 炸 点 的 距 离 远 680m .因 为 |AB|680m ,所 以 爆 炸 点的 轨 迹 是 以 A、 B为 焦 点 的 双 曲 线 在 靠 近 B处 的 一 支 上 . 例 2已 知 A,B两 地 相 距 800m ,在 A地 听 到 炮 弹 爆 炸 声

12、比 在 B地晚 2s,且 声 速 为 340m /s,求 炮 弹 爆 炸 点 的 轨 迹 方 程 .如 图 所 示 ， 建 立 直 角 坐 标 系 xOy,设 爆 炸 点 P的 坐 标 为 (x,y)，则 340 2 680PA PB 即 2a=680， a=340 800AB 800 680 0, 0PA PB x 1( 0)115600 44400 x y x 2 22 800, 400,c c xyo PBA因 此 炮 弹 爆 炸 点 的 轨 迹 方 程 为44400b c a 2 2 2 双 曲 线 的 定 义双 曲 线 的 标 准 方 程应 用54页 习 题 2.2 A组 1、 2题

13、 。 当 2a=| | MF1| |MF2| |=0时 ，轨 迹 是 线 段 F1F2的 垂 直 平 分 线 .(1) 定 义 中 强 调 在 平 面 内 ,否 则 轨 迹 不 是 双 曲 线 。几 点 说 明 ： OF1 F2M通 常 |F1F2|记 为 2c;距离的差的绝对值记 为 2a.| | MF1| |MF2| | =|F1F2 | 时 ,M点 一 定 在 上 图 中 的 F2F1P Q 当 2a=|F1F2|时（ 2） 定 义 中 为 什 么 0 2a |F1F2|？射线F1P,F2Q 上,此时点的轨迹为两条射线F1P,F2Q。 （ 1） 先 把 非 标 准 方 程 化 成 标 准 方 程 ， 再 判 断 焦 点 所 在 的 坐 标 轴 。（ 2） 是 否 表 示 双 曲 线 ？ )0(122 mnnymx 表 示 焦 点 在 轴 上 的 双 曲 线 ；x 00nm 表 示 焦 点 在 轴 上 的 双 曲 线 。y 00nm 表 示 双 曲 线 ， 求 的 范 围 。m112 22 mymx答 案 ： 。21 mm 或