直线对称问题

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1、直线系对称问题（一） 主要知识及方法：点关于轴的对称点的坐标为 ；关于轴的对称点的坐标为 ； 关于的对称点的坐标为 ；关于的对称点的坐标为 .点关于直线的对称点的坐标的求法： 设所求的对称点的坐标为，则的中点一定在直线上.直线与直线的斜率互为负倒数，即直线关于直线的对称直线方程的求法： 到角相等； 在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程； 轨迹法(相关点法)； 待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，点关于定点的对称点为，曲线：关于定点的对称曲线方程为.直线系方程：直线（为常数，参数；为参数，位常数）.过定点的直

2、线系方程为及与直线平行的直线系方程为（）与直线垂直的直线系方程为过直线和的交点的直线系的方程为：（不含）典例分析（一）例1：已知3a+2b=1, 求证：直线ax+by+2(x-y)-1=0过定点,并求该定点坐标.思路一：由3a+2b=1得:b=(1-3a) 代入直线系方程ax+by+2(x-y)-1=0整理得(2x y-1)+a(x -y)=0 由, 得交点(1, )直线过定点(1, ).思路二：赋值法令a=0得b= 得L1: 2x - y-1=0令b=0得a= 得L2: x y=0由, 得交点(1, )把交点坐标代入原直线方程左边得: 左边=(3a+2b-1)3a+2b-1=0 左边=0 这

3、说明只要3a+2b-1=0 原直线过定点(1, ).例2:求证:无论为何值,直线(2+)x-(1+)y-2(3+2)=0与点P(-2,2)的距离d都小于4.证明：将直线方程按参数整理得 (2x-y-6)+(x-y-4)=0故该直线系恒过二直线2x-y-6=0和x-y-4=0的交点M易解得M(2,-2) 求得|PM|=4 所以d4而过点M垂直PM的直线方程为x-y-4=0, 又无论为何值,题设直线系方程都不可能表示直线x-y-4=0d4【注】此题若按常规思路,运用点距公式求解,则运算量很大,难算结果,运用直线系过定点巧妙获解.例题：例3、 （1）证明直线l过定点； （2）若直线l交x轴负半轴于A

4、，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S，求S的最小值，并求此时直线l的方程； （3）若直线不经过第四象限，求k的取值范围。 分析：（1）证直线系过定点，可用分离参数法。 （2）求AOB面积S的最小值，应先求出目标函数Sf(k)，再根据目标函数的结构特征选择最小值的求法。 （3）直线不经过第四象限的充要条件是：直线在x轴上的截距小于或等于-2，在y轴上的截距大于或等于1。或由直线经过定点（-2，1）知斜率大于或等于零。 解：（1）直线l的方程是： 无论k取何值，直线总经过定点（-2，1） （2）由l的方程，得： 解得：k0 解之得：k0 小结：本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法”，也是证

5、明曲线系过定点的一般方法。例4、已知P（1，3），直线l：x4y10（1）求过P且平行于l的直线l1的方程；（2）求过P且垂直于l的直线l2的方程策略：由l1l的斜率关系可得，由l2l的斜率关系得4，再利用点斜式方程可求出直线l1，l2的方程由平行直线系与垂直直线系可以求出l1，l2的方程解法一：（1）直线l的斜率为且l1l，直线l1的斜率k1又l1过P（1，3），l1的方程为y3(x1)，即x4y110(2)kl且l2l，直线l2的斜率为k24又l2过P(1，3)l2的方程为y34(x1)即4xy70解法二：（1）l1l且l方程为x4y10设l1的方程为x4yC0又P(1，3)在l1上143

6、C0解得C11l1的方程为x4y110(2)l2l设l2的方程为4xyC0又l2过P（1，3）413C0解得C7l2的方程为4xy70评注：一般地，利用平行直线系和垂直直线系求直线方程会给计算带来很大方便例5、求证：不论m为何实数，直线l：(m1)x(2m1)ym5恒过一定点，并求出此定点坐标策略：对于这类题目，只要找出两条相交的直线，然后解出交点坐标即可证法一：（特殊值法）当m1时，直线l的方程为y4；当m时，直线l的方程为x9；两直线的交点为（9，4），满足直线l的方程(m1)x(2m1)ym5不论m为何实数，直线l：(m1)x(2m1)ym5恒过一定点（9，4）证法二：（直线系法）将方程

7、(m1)x(2m1)ym5整理得m(x2y1)(xy5)0解方程组得不论m为何实数，定点(9，4)恒满足方程(m1)x(2m1)ym5即不论m为何实数，直线l：(m1)x(2m1)ym5恒过一定点（9，4）评注：求某直线过定点的题目，常用的两种方法特殊值法和直线系法例6、求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程策略：可以先解方程组求出交点P，再利用ll3求出斜率，用点斜式求l方程；求出P点后，用垂直直线系求l方程；先由过l1，l2的交点的直线系设出l方程，然后由l3l求系数解法一：解方程组得交点P（0，2）k3kl由点斜式得l：y2x即

8、4x3y60解法二：设所求直线l：4x3yC0由解法一知：P(0，2）代入方程，得C6l：4x3y60解法三：设所求直线l：(x2y4)(xy2)0整理得(1)x(2)y240ll33(1)4(2)011l的方程为：(x2y4)11(xy2)0即4x3y60评注：解法一是常规解法，解法二用待定系数法，解法三应用了经过两直线交点的直线系方程，省去了求两直线交点的解方程组的运算利用直线系解题一、直线系的定义1、 共点直线系方程经过两直线的交点的直线系方程为2、 平行直线系方程与直线3、 垂直直线系方程与直线二、利用直线系解题例题：(一)直接应用1、 求过点A(1，-4)且与直线平行直线方程。(课本

9、第45页例2) ()2、 求过点A(2,1)，且与直线垂直的直线方程。(课本第46页例4) ()3、 求经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程。(课本第54页第11题第1小题)( )4、 经过两条直线和的交点，且平行于直线的直线方程。(课本第54页第11题第2小题)( 5、 经过直线和的交点，且垂直于第一条直线的直线方程。(课本第54页第11题第3小题)( )6、 求平行于直线且与它的距离为的直线方程。(课本第87页第13题) (或 )(二)间接应用7、 当a为任意实数时，直线恒过的定点为_。解：直线的方程可以化为，由直线系的定义我们知道：直线过的点是方程组 的解，这样我们就可以知道直线

10、过点(-2,3)。8、已知圆C：及直线证明：无论m为任何实数，直线恒与圆C相交。分析：判断直线与圆的位置关系通常采用“法”，或“比 较d与r法“，特别是“法”运算量往往很大，当发现直线过定点，且此定点又在圆内部时，妙解应运而生。 证明：易证直线过定点M(3,2)，且4，即点M在圆C内，点M又在直线上，故不论m为任何实数，直线与圆C相交。9、a、b满足什么条件时，使得对于任意实数m,直线： 与曲线C：总有公共点。分析：本题虽然可以用“法”来解，但不仅运算量大(两次使用判别式)，而且还容易忽视对二次不等式系数的讨论而造成失解，如果利用直线过定点(0，b)，并使该点在椭圆C上或在其内部便可达到目的。

11、解：易知直线：过点M(0，b)，欲使与椭圆C恒有公共点，须使点在椭圆C上或在其内部，于是有即时，对于任意实数m,直线与椭圆C恒有公共点。对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一点；2. 求出这点关于中心或轴的对称点与之间的关系；3. 利用求出曲线。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考典例分析（二）： 例1 （1）求点关于直线的对称点（2）求关于直线的对称点（3）一张坐标纸，对折后，点A(0，4)与点B（8，0）重叠，若点C(6，8)与D（m，n）重叠，求m+n；例2：试求直线关于直线

12、对称的直线的方程。解法1：（动点转移法）在上任取点，设点P关于的对称点为，则又点P在上运动，所以，所以。即。所以直线的方程是。解法2：（到角公式法）解方程组所以直线的交点为A(1,0) 设所求直线的方程为，即,由题意知，到与到的角相等，则.所以直线的方程是。解法3：（取特殊点法）由解法2知，直线的交点为A(1,0)。在上取点P（2，1），设点P关于的对称点的坐标为，则而点A，Q在直线上，由两点式可求直线的方程是。解法4：（两点对称法）对解法3，在上取点P（2，1），设点P关于的对称点的坐标为Q，在上取点M（0，1），设点P关于的对称点的坐标为而N，Q在直线上，由两点式可求直线的方程是。解法5：

13、（角平分线法）由解法2知，直线的交点为A(1,0)，设所求直线的方程为：设所求直线的方程为,即.由题意知，为的角平分线，在上取点P（0，-3），则点P到的距离相等，由点到直线距离公式，有：时为直线，故。所以直线的方程是解法6（公式法）给出一个重要定理：曲线（或直线 ）关于直线的对称曲线（或直线 ）的方程为。 证：设是曲线上的任意一点，它关于的对称点为，则于是。M与M/关于直线l对称，,（3）代入（2），得，此即为曲线的方程。解析：定理知，直线关于直线的对称曲线的方程为：所以直线的方程是。练习： （1）求直线关于点A（1，2）对称的直线方程；（2）求直线关于直线x=3对称的直线方程；（3）求直线

14、关于直线对称的直线方程；例3 （1）已知，在直线上找一点P，使最小，并求最小值； （2 ）已知，在直线上找一点P，使最大，并求最大值； 例4 光线由点A(2，3)射到直线反射，反射光线经过点B（1，1）求反射光线所在直线方程。练习：1、 光线从射出，被x轴反射后经过点B（3，2），求入射光线所在直线方程；2、 光线沿着直线射向直线，求反射光线所在直线方程。3、 直线关于直线的对称直线方程是，求直线的倾斜角；4、 直线和直线关于直线对称，求直线的方程；5、一张坐标纸对折后，点A(0，2)与点B（4，0）重叠，若点C(2，3)与D（m，n）重叠，求m+n；6、求直线关于点A（2，3）对车的直线方程

15、7、与关于直线对称，求直线的方程；8（选）、入射光线沿直线射到x轴后反射，这时又沿着直线射到y轴，由y轴再反射沿着直线射出，求直线的方程；9（选）、直线，直线，求直线关于直线的对称直线方程。（三）课后作业： 方程表示的直线必经过点 直线关于点对称的直线方程是曲线关于直线对称的曲线方程是 ，仅有两个元素，则实数的范围是 求经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程已知的顶点为，的平分线所在直线的方程分别是：与：，求边所在直线的方程.已知直线，当变化时所得的直线都经过的定点为 求证：不论取何实数，直线总通过一定点求点关于直线：的对称点的坐标已知：与，是对称的两点，求对称轴的方程光线沿直线：射入，遇到直线：反射，求反射光线所在的直线的方程已知点，试在直线：上找一点，使 最小，并求出最小值.13根据下列条件，求直线的直线方程求通过两条直线和的交点，且到原点距离为；经过点，且与直线平行；经过点，且与直线垂直. 14已知方程有一正根而没有负根，求实数的范围若直线：与：的交点在第一象限，求的取值范围.14