31回归分析的基本思想及其初步应用

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1、导入新课 在 数 学 3 中 ， 我 们 对 两 个 具 有 线 性 相 关关 系 的 变 量 利 用 回 归 分 析 的 方 法 进 行 了 研 究 ，其 步 骤 为 :画散点图求回归直线方程用直线方程进行预报 函 数 关 系 是 一 种 确 定 性 关 系 ,而 相 关 关 系 是 一种 非 确 定 性 关 系 .那 么 ,这 节 课 我 们 就 学 习 对 具 有相 关 关 系 的 两 个 变 量 进 行 统 计 分 析 的 一 种 常 用 方法 回 归 分 析 . 提 问 ： “ 名 师 出 高 徒 ” 这 句 彦 语 的 意思 是 什 么 ？ 有 名 气 的 老 师 就 一 定 能

2、教 出 厉害 的 学 生 吗 ？ 这 两 者 之 间 是 否 有 关 ？ 1.1回归分析的基本思想及其初步应用 通 过 典 型 案 例 的 探 究 ， 进 一 步 了 解 回归 分 析 的 基 本 思 想 、 方 法 及 初 步 应 用 . 了 解 回 归 模 型 和 函 数 模 型 的 区 别 任何 模 型 只 能 近 似 描 述 实 际 问 题 了 解 残 差 分 析 和 指 标 的 含 义 .教学目标知识目标 能力目标具 有 初 步 应 用 回 归 分 析 的 能 力 .情感目标 通 过 对 回 归 分 析 的 基 本 思 想 的 学 习 ， 能够 在 现 实 生 活 中 应 用 此 思

3、 想 . 教学重难点重 点 （ 1） 了 解 线 性 回 归 模 型 与 函 数 模 型 的 差 异 ; （ 2） 了 解 判 断 刻 画 模 型 拟 合 效 果 的 方 法 相 关 指 数 和 残 差 分 析 .难 点 解 释 残 差 变 量 的 含 义 ， 了 解 偏 差 平方 和 分 解 的 思 想 . 探 究 对 于 一 组 具 有 线 性 相 关 关 系 的 数 据 (x1， y1)， (x2， y2)， ， (xn， yn)， 我 们 知 道 回 归 直 线 y=bx+a的 斜 率 和 截 距 的 最小 二 乘 估 计 分 别 为 n i ii=1 n 2ii=1(x - x)(y

4、 - y)b = ,(x - x)a = y -bx, 其 中 n ni ii=1 i=11 1x= x ,y = y ,(x,y)n n 称 为 样 本 点 的 中 心 ， 你 能 推 导 出 这 两 个计 算 公 式 吗 ？ 回归直线过样本点的中心 从 已 经 学 过 的 知 识 我 们 知 道 ， 斜 距 和 斜 率 分 别 是 使 ab i i i iQ(,)=y -y =y -(x +)取 最 小 时 的 值 .由 于,n 2 i ii=1Q(,)= y -x -(y-x)+(y-x)-n 2i i i ii=1 2y -x -(y-x) +2y -x -(y-x)(y-x)-+(y

5、-x)- n i ii=1 n i ii=1y -x -(y-x)(y-x-) =(y-x-) y -x -(y-x) 注意到n ni ii=1 i=1=(y-x-) y - x -n(y-x) =(y-x-)ny-nx-n(y-x)=0,n n2i i i ii=1 i=12= y -x -(y-x) +2 y -x -(y-x)(y-x-)+n(y-x-) , 继续 n 2 2i ii=1Q(,)= y -x -(y-x) +n(y-x-)，因此 2 2n n n2 2i i i ii=1 i=1 i=1= (x -x) -2 (x -x)(y -y)+ (y -y) +n(y-x-) 2

6、n n 22 i i i in2 i=1 i=1i n n 2 2i=1 i ii=1 i=12n ii=1 (x-x)(y -y) (x-x)(y -y)=n(y-x-) + (x-x) - -(x-x) (x-x) + (y -y) 继续 在 上 式 中 ， 后 两 项 和 无 关 ， 而 前 两项 为 非 负 数 ， 因 此 要 使 Q取 得 最 小 值 ， 当 且 仅当 前 两 项 的 值 均 为 0， 即 有n i ii=1 n 2 ii=1(x -x)(y -y) = (x -x)这正是我们所要推导的公式. , 从 某 大 学 中 随 机 选 取 8名 女 大 学 生 ， 其 身高

7、 和 体 重 数 据 如 下 表 所 示 ： 例题1编 号 1 2 3 4 5 6 7 8身 高 /cm 165 165 157 170 175 165 155 170体 重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59 求 根 据 一 名 女 大 学 生 的 身 高 预 报 她 的 体 重的 回 归 方 程 ， 并 预 报 一 名 身 高 为 172cm的 女 大学 生 的 体 重 . 解 答第 一 步 :画 散 点 图 第 二 步 ： 求 回 归 方 程第 三 步 :代 值 计 算 探 究 身 高 为172c 的 女 大学 生 的 体 重 一定 是 60.316kg吗 ？ 如 果

8、 不 是 ,其 原 因 是 什 么 ?计 算 器 得 ：故 线 性 回 归 方 程 ：当 x=172时 ，0.849.b -85.712,a 85.712.-0.849xy y 0.849 172-85.712 60.316(kg) 显 然 ， 身 高 172cm的 女 大 学 生 的 体 重 不 一定 是 60.316kg， 但 一 般 可 以 认 为 她 的 体 重 在60.316kg左 右 ， 下 图 中 的 样 本 点 和 回 归 直 线 的相 互 位 置 说 明 了 这 一 点 . 由 于 所 有 的 样 本 点 不 共 线 ， 而 只 是 散 布在 某 一 条 直 线 的 附 近

9、， 所 以 身 高 和 体 重 的 关系 可 用 线 性 回 归 模 型 y=bx+a+e 来 表 示 ， 这 里 a和 b为 模 型 的 未 知 参 数 ，e是 y与 bx+a之 间 的 误 差 .通 常 e为 随 机 变 量 ，称 为 随 机 误 差 .它 的 均 值 E(e)=0， 方 差D(e)=20， 这 样 线 性 回 归 的 完 整 表 达 式 为y=bx+a+eE(e)=0， D(e)= 2. 注 意存在误差的原因 （ 1） 随 机 误 差 ， 其 大 小 取 决 于 随 机 误 差 的 方差 . 在 线 性 回 归 模 型 中 ， 随 机 误 差 e的 方 差 2越小 ， 用

10、 bx+a预 报 真 实 值 y的 精 度 越 高 . （ 2） 和 为 斜 率 和 截 距 的 估 计 值 ， 它 们 与真 实 值 a和 b之 间 也 存 在 误 差 .b a要牢记！ 探 究 在 线 性 回 归 模 型 中 ， e是 用 bx+a预 报 真 实 值y的 随 机 误 差 ， 它 是 一 个 不 可 观 测 的 量 ， 那 么 应该 怎 样 研 究 随 机 误 差 呢 ？在 实 际 应 用 中 ， 我 们 用 回 归 方 程axby 中 的 估 计 bx+a. 由 于 随 机 误 差 e=y-(bx+a)，所 以 是 e的 估 计 值 . 对 于 样 本 点 (x 1， y1

11、)， (x2， y2)， ， (xn， yn)y y-ye 而 言 ， 它 们 的 随 机 误 差 为 ei=yi-bxi-a， i=1， 2， ， n，其 估 计 值 为 n,1，2，.，iaxbyyye iiii ie 称 为 相 应 于 点 (xi， yi)的 残 差 (residual). 要牢记！ 思 考 如 何 发 现 数 据 中 的 错 误 ？ 如 何 衡 量 模 型的 拟 合 效 果 ？ （ 1） 可 以 利 用 残 差 图 来 分 析 残 差 特 性 ； （ 2） 可 以 利 用 . n n2 2i i i2 i=1 i=1n n2 2i ii=1 i=1(y - y ) (

12、y - y)R = 1 - =(y - y) (y - y) 来 刻 画 回 归 的 效 果 . 何 为 残 差 图 ？ 残 差 图 作 图 时 纵坐 标 为 残 差 ，横 坐 标 可 以 选为 样 本 编 号 ，或 身 高 数 据 ，或 体 重 的 估 计值 等 ， 这 样 作出 的 图 形 称 为残 差 图 . 0 编 号1 2 3 4 5 6 71020304050607080-10-20-30-40-50-6090100要牢记！ 对 R2的 理 解（ 1） 在 含 有 一 个 解 释 变 量 的 线 性 模 型 中 ， R2恰好 等 于 相 关 系 数 r的 平 方 .（ 2） 对 于

13、 已 经 获 取 的 样 本 数 据 ， R2表 达 式 中 的 为 确 定 的 数 . 因 此 R2越 大 ， 意 味 着 残 差 平 方 和越 小 ， 即 模 型 的 拟 合 效 果 越 好 ； 反 之 ， 越 差 . n1i2i)y-(yn1i 2i )y-(y 要牢记！ 用 身 高 预 报 体 重 时 ， 需 要 注 意 以 下 问 题 （ 1） 回 归 方 程 只 适 用 于 我 们 所 研 究 的 样 本总 体 ； （ 2） 我 们 所 建 立 的 回 归 方 程 一 般 都 有 时 间性 ； （ 3） 样 本 取 值 的 范 围 会 影 响 回 归 方 程 的 适用 范 围 ；

14、（ 4） 不 能 期 望 回 归 方 程 得 到 的 预 报 值 就 是预 报 变 量 的 精 确 值 . 建 立 回 归 模 型 的 基 本 步 骤 : （ 1） 确 定 研 究 对 象 ， 明 确 哪 个 变 量 是 解 释 变量 ， 哪 个 变 量 是 预 报 变 量 ； （ 2） 画 出 解 释 变 量 和 预 报 变 量 的 散 点 图 ， 观察 它 们 之 间 的 关 系 ； （ 3） 由 经 验 确 定 回 归 方 程 的 类 型 ； （ 4） 按 一 定 规 则 估 计 回 归 方 程 中 的 参 数 ； （ 5） 得 出 结 果 后 分 析 残 差 图 是 否 有 异 常 ，

15、 若有 异 常 ， 检 查 数 据 是 否 有 误 ， 或 模 型 是 否 合 适 等 .要牢记！ 为 了 对 x、 Y两 个 变 量 进 行 统 计 分 析 ， 现有 以 下 两 种 线 性 模 型 和 试 比 较 哪 一 个 模 型 拟 合 的 效 果 更 好 .例题2关 于 X与 Y有 如 下 数 据 : x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70y=6.5x+17.5 y=7x+17 分 析 ： 既 可 分 别 求 出 两 种 模 型 下 的 总 偏 差平 方 和 、 残 差 平 方 和 、 回 归 平 方 和 ， 也 可 分 别求 出 两 种 模 型 下 的 相 关 指

16、数 ， 然 后 再 进 行 比 较 ，从 而 得 出 结 论 . 5 2 i i2 i=11 5 2ii=1(y -y ) 155R =1- =1- =0.8451000(y -y)2 2R =1- 5 2i ii=15 2ii=1(y -y) 180=1- =0.821000(y -y) ， 84.5% 82%， 所 以 甲 选 用 的 模 型 拟 合 效 果 较 好 .解 答 课堂小结 1.数 学 知 识 （ 1） 建 立 回 归 模 型 及 残 差 图 分 析 的 基 本 步 骤 ； （ 2） 不 同 模 型 拟 合 效 果 的 比 较 方 法 ； （ 3） 相 关 指 数 和 残 差

17、的 分 析 . 2. 数 学 思 想 数 形 结 合 的 思 想 ， 化 归 思 想 及 整 体 思 想 . 3.数 学 方 法 数 形 结 合 法 ， 转 化 法 ， 换 元 法 . 高考链接 1. （ 2007年 浙 江 ） 某 校 有 学 生 2000人 ， 其 中高 三 学 生 500人 ， 为 了 了 解 学 生 身 体 素 质 情 况 ，采 用 按 年 级 分 层 抽 样 的 方 法 ， 从 该 学 生 中 抽 取 一个 200人 的 样 本 ， 则 样 本 中 高 三 学 生 的 人 数 为_. 解 析 ： 本 题 考 查 抽 样 的 方 法 . 由 已 知 抽 样 比200/2

18、000=1/10， 故 样 本 中 高 三 学 生 数 为 500*（ 1/10） =50. 2.（ 2007年 广 东 ） 下 表 提 供 了 某 厂 节 能 降 耗 技术 改 造 后 生 产 甲 产 品 过 程 中 记 录 的 产 量 x（ 吨 ） 与相 应 的 生 产 能 耗 y（ 吨 标 准 煤 ） 的 几 组 对 照 数 据 .x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5（ 1） 请 画 出 上 表 数 据 的 散 点 图 ；（ 2） 请 根 据 上 表 提 供 的 数 据 ， 用 最 小 二 乘 法求 出 y关 于 x的 线 性 回 归 方 程 y=bx+a. （ 3） 已 知 该

19、 厂 技 改 前 100吨 甲 产 品 的 生 产 能耗 为 90吨 标 准 煤 试 根 据 （ 2） 求 出 的 线 性 回 归方 程 ， 预 测 生 产 100吨 甲 产 品 的 生 产 能 耗 比 技 改前 降 低 多 少 吨 标 准 煤 ？解 析 ： (1)如 下 图 66.54.5645342.53(2) yx in1i i 4.54 6543x 3.54 4.5432.5y 866543i 2222n1i 2x 266.5-4 4.5 3.5 66.5-63b= = =0.786-4 4.5 86-81 a=Y-bX=3.5-0.7 4.5=0.35 故 线 性 回 归 方 程 为

20、 y=0.7x+0.35. (3)根 据 回 归 方 程 的 预 测 ， 现 在 生 产 100吨 产 品消 耗 的 标 准 煤 的 数 量 为 0.7 100+0.35=70.35. 1.选择 课堂练习（ 1） 下 列 说 法 中 正 确 的 有 :（ ） 若 r0， 则 x增 大 时 ， y也 相 应 增 大 ; 若 r0， 表 示 两 个 相 关 变 量 正 相 关 ， x增 大时 ， y也 相 应 增 大 ， 故 正 确 . r0， 表 示 两 个 变量 负 相 关 ， x增 大 时 ， y也 相 应 减 小 ， 故 错 误 . |r|越 接 近 1， 表 示 两 个 变 量 相 关

21、性 越 高 ， |r|=1表示 两 个 变 量 有 确 定 的 关 系 （ 即 函 数 关 系 ） ， 故 正 确 . （ 2） 对 两 个 变 量 y与 x进 行 回 归 分 析 ， 分 别 选择 不 同 的 模 型 ， 它 们 的 相 关 系 数 r如 下 ， 其 中 拟 合效 果 最 好 的 模 型 是 （ ） A.模 型 的 相 关 系 数 r为 0.98 B.模 型 的 相 关 系 数 r为 0.80 C.模 型 的 相 关 系 数 r为 0.50 D.模 型 的 相 关 系 数 r为 0.25 解 析 :根 据 相 关 系 数 的 定 义 和 计 算 公 式 可 知 ，|r| 1，

22、 且 |r|越 接 近 于 1， 相 关 程 度 越 大 ， 拟 合 效 果越 好 ； |r|越 接 近 于 0， 相 关 程 度 越 小 ， 拟 合 效 果 越 弱 .A （ 3） 对 有 线 性 相 关 关 系 的 两 个 变 量 建 立 的 回归 直 线 方 程 中 ， 回 归 系 数 （ ） A.可 以 小 于 0 B.小 于 0 C.能 等 于 0 D.只 能 等 于 0axby b 解 析 : 时 ， 得 r=0， 这 时 不 具 有 线 性相 关 性 ， 但 能 大 于 0， 也 能 小 于 0.b 0b A 2.解答题 （ 1） 现 随 机 抽 取 了 我 校 10名 学 生

23、在 入 学 考试 中 的 数 学 成 绩 （ x） 与 入 学 后 的 第 一 次 考 试 中的 数 学 成 绩 （ y） ， 数 据 如 下 ： 学 生 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 试 问 这 10个 学 生 的 两 次 数 学 考 试 成 绩 是 否 具有 显 著 性 线 性 相 关 关 系 ？ 查 表 得 自 由 度 为 10-2=8相 应 的 相 关 关 系 临界 值 由 知 ， 两 次 数 学 考 试 成 绩有 显 著 性

24、的 线 性 相 关 关 系 . 101i 2i 116584x 101i 2i 47384y 107.8x68y 73796yx101i ii 易 得则 相 关 系 数 为解 答 2 273796 10 107.8 68r 0.7506 (116584 10 107.8 )(47384 10 68 ) 0.05r 0.6021 0.05r r （ 2） 观 察 两 相 关 量 得 如 下 数 据 :x -1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1y -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9求 两 变 量 间 的 回 归 方 程 . i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi

25、 -1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1yi -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9xiyi 9 14 15 12 5 5 15 12 14 9解 答列 表 : 10 10 1022i ii ii=1 i=1 i=1x = 0,y = 0,=110, = 330, =110.y yx x 10 i ii=110 2 2ii=1 -10 x y 110-10 0b= = =1110-10 0-10yxx x a=y-bx=0-b 0=0 y = x.所 求 回 归 直 线 方 程 为 习题解答1. 画散点图的目的是通过变量的散点图判断两个变量更近似于什么样的函数关系，以确定是否直接用线性回归模型来拟合原始数据.2. 分析残差可以帮助我们解决以下几个问题： （1）寻找异常点，就是残差特别大的点，考察相应的样本数据是否有错； （2）分析残差图可以发现模型选择是否合适.3.（1）解释变量和预报变量的关系是线性函数关系； （2）R 2=1.