高等数学不定积分的计算教学ppt

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1、第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 1 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 概 念 第 二 节 不 定 积 分 的 计 算 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 2 第 一 节 不 定 积 分 的 概 念 一 .换 元 积 分 法 二 .分 部 积 分 法 本 节 主 要 内 容 : (一 ) 第 一 类 换 元 积 分 法 (二 ) 第 二 类 换 元 积 分 法 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 3 一 .换 元 积 分 法(一 ) 第 一 类 换 元 积 分 法 (凑

2、微 分 法 )cos10 sin10 xdx x C cos10 ?xdx 引 例 : 3 ?xe dx 3 3e ex xdx c 求导数验证结果求导数验证结果 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 4 1sin10 d sin10 d 1010 x x x x 解 决 方 法 利 用 复 合 函 数 的 中 间 变 量 , 进 行 换 元 .1 110 sin d cos10 10u x u u u C 令 1 cos10 .10u x C 回 代1 cos10 sin1010 x C x 说 明 结 果 正 确 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定

3、 积 分 的 计 算 5 3 31d d(3 )3x xe x e x 1 13 d3 3u uu x e u e C 令 313 xu e C回 代将 上 例 的 解 法 一 般 化 : 设 ),()( ufuF 则 .)()( CuFduuf如 果 )(xu （ 可 微 ） d d( ( ) ( )du x x x ( ) ( ) = ( ) ( ( )( ) ( ) ( ) ( ( )f x x dx f x d xu x f u du F u C F x C 令将 上 述 作 法 总 结 成 定 理 , 使 之 合 法 化 , 可 得 换 元 法 积 分 公 式 第 四 章 不 定 积

4、 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 6 定 理 4.2.1 设 f(u)具 有 原 函 数 F(u) , (u)是 连 续函 数 , 那 么 ( ) ( )d ( ) .f x x x F x C ( ) ( ) ( )d ( )d ( )( )d ( ) ( ) .g x dx f x x x f x xf u u F u C F x C 难 易 使 用 此 公 式 关 键 在 于 将 要 求 的 积 分转 化 为 ( )g x dx ( ) ( )f x x dx d ( )x 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 7例 2 计 算 5(2 3) d

5、 .x x 5 61d 6u u u C 解 : 原 式 5 1(2 3) d(2 3)2x x 51 (2 3) d(2 3)2 x x 我 们 总 结 出 凑 微 分 法 求 不 定 积 分 的 情 况 如 下 : . 被 积 函 数 是 一 个 复 合 函 数 与 公 式 作 对 比 , 公 式 中 自 变 量 x变 成 了 ax+b的 形 式 , 这 时 设 ax+b为 中 间 变 量 ， 1d d( )x ax ba 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 8 51=2 3 d2u x u u 令 6 61 1 1 (2 3) .2 6 12u C u x

6、 C 回 代 1( )d ( )d( ).f ax b x f ax b ax ba 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 9例 3 计 算 43 2 3 10(1) ; (2) ( 1) .xx e dx x x dx 4 1 1= 4 4u uu x e du e C 令 1. 被 积 函 数 中 含 有 两 个 多 项 式 , 其 中 一 个 多 项 式 的次 数 比 另 一 个 多 项 式 的 次 数 高 一 次 ， 设 高 一 次 的 多项 式 为 中 间 变 量 ， 目 的 是 约 去 另 一 个 因 式 . . 被积函数是两个函数乘积形式 e d e

7、 u uu C 41 ;4 xu e C回 代(1) 原 式 4 41 d4 xe x 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 10 例 3 计 算 43 2 3 10(1) ; (2) ( 1) .xx e dx x x dx 3 10 31 ( 1) d( 1)3 x x 3 10 111 1= 13 33u x u du u C 令 10 111d 11u u u C 3 111 ( 1) .33u x C 回 代 1 1( ) ( ) ( ).n n n nf x x dx f x d xn (2)原 式 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积

8、分 的 计 算 11 例 4 计 算 1 2ln xdxx2 被 积 函 数 中 , 其 中 一 部 分 函 数 “ 正 好 ” 是 另 一 部 分函 数 的 导 数 . 1d d(ln )x xx 例 5 计 算 6sin cos dx x x sin d d(cos )x x x 1(ln ) d (ln )d(ln ).f x x f x xx (cos )sin d (cos )d(cos ),(sin )cos d (sin )d(sin )f x x x f x xf x x x f x x 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 12 例 4 计 算

9、1 2ln xdxx原 式 1(1 2ln ) dx xx (1 2ln )d(ln )x x 2、 被 积 函 数 中 , 其 中 一 部 分 函 数 “ 正 好 ” 是 另 一 部分 函 数 的 导 数 。 1d d(ln )x xx 1=1-2ln d2u x u u 令1 (1 2ln )d(1 2ln )2 x x 2 21 1 12 2 4u C u C 21(1 2ln ) .4u x C 回 代1(ln ) d (ln )d(ln ).f x x f x xx 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 13 例 5 计 算 6sin cos dx x

10、x原 式 6 6cos d(cos ) dx x u u sin d d(cos )x x x 7 71 1cos .7 7u C x C (cos )sin d (cos )d(cos ),(sin )cos d (sin )d(sin )f x x x f x xf x x x f x x 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 14 例 6 计 算 22(2 arctan ) d .1 x xx 21 d d(arctan )1 x xx 21(arctan ) d (arctan )d(arctan )1f x x f x xx 第 四 章 不 定 积 分

11、第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 15 例 6 计 算 22(2 arctan ) d .1 x xx 2 21(2 arctan ) d1x xx 21 d d(arctan )1 x xx 2(2 arctan ) d(arctan )x x 21(arctan ) d (arctan )d(arctan )1f x x f x xx 2(2 arctan ) d(2 arctan )x x 31(2 arctan )3 x C 原 式 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 16 第 一 类 换 元 积 分 法 （ 凑 微 分 法 ） 是 一 种 非 常

12、 有 效的 积 分 法 。 首 先 ， 必 须 熟 悉 基 本 积 分 公 式 ， 对 积 分 公式 应 广 义 地 理 解 ， 如 对 公 式 ， 应 理 解为 ,其 中 u可 以 是 x的 任 一 可 微 函 数 ; 其次 ， 应 熟 悉 微 分 运 算 ， 针 对 具 体 的 积 分 要 选 准 某 个 基本 积 分 公 式 ， 凑 微 分 使 其 变 量 一 致 . 1d ln| |x x cx d1 ln| |u u cu 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 17 常 用 的 凑 微 分 形 式 有 : 1d d ;x ax ba d d( );x x

13、e x ecos d d(sin );x x x 2d d(arcsin );1 x xx 21 1d d( );xx x 21d d( );2x x x1 1d d( ln );x a x bx a 2sec d d(tan );x x x 2d d(arctan );1 x xx sec tan d d(sec );x x x x d 2d( );x xx sin d d(cos );x x x 2csc d d(cot );x x x1d d( );ax axe x eacsc cot d d(csc ).x x x x 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算

14、 18 例 7 计 算 2 22 2d d1 ( 0); 2 ;x xa a xa x （ ） （ ）22 2 arcsin ;1arctan ;x x Caa xdx x Ca x a a 2d例 7 计 算 3 tan d ;(4) cot d ;x x x x （ ） tan lncos ; cot lnsin ;xdx x Cxdx x C 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 19 例 7 计 算 2 22 2d d1 ( 0); 2 ;x xa a xa x （ ） （ ）2 2 2 2 d 1 d1 ( )1 d( )1 arcsin ; xa x

15、xxa a xaxax Ca 2 22 22d 1 d1 ( )1 1 d( )1 ( )1arctan ;xa x xxa a xxa aax Ca a 22 2 arcsin ;1arctan ;x x Caa xdx x Ca x a a 2d 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 20 例 7 计 算 3 tan d ; (4) cot d ;x x x x （ ）tansin dcosd(cos )coslncos ;xdxx xx xxx C cotcos dsind(sin )sinlnsin ;xdxx xx xxx C tan lncos ; c

16、ot lnsin ;xdx x Cxdx x C 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 21 例 7 计 算 5 sec d ;x x（ ）例 7 计 算 6 csc d ;x x（ ）sec lnsec tan ;csc lncsc cot .xdx x x Cxdx x x C 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 22 例 7 计 算 5 sec d ;x x（ ）解 法 一 2sec dsec (sec tan )dtan secsec sec tan dtan sec1 d(tan sec )tan sec lnsec ta

17、n ;x xx x x xx xx x x xx x x xx xx x C 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 23 例 7 计 算 5 sec d ;x x（ ）解 法 二 2 222sec d1 cos sincos cos 1 sin1 sin sin 1 1 sin( ) ln2 1 sin 1 sin 2 1 sin1 (1 sin )ln lnsec tan2 cosx x x d xdx dxx x xd x d x x Cx x xx C x x Cx 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 24 例 7 计 算 6

18、 csc d ;x x（ ） 2csc dcsc (csc cot )dcot csccsc csc cot dcot csc1 d(cot csc )cot csc lncsc cot ;x xx x x xx xx x x xx x x xx xx x C sec lnsec tan ;csc lncsc cot .xdx x x Cxdx x x C 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 25 例 8 计 算 2 211 ;dxx a（ ）例 8 计 算 22 ;6dxx x （ ）练 习 求 2 d .5 4xx x 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节

19、 不 定 积 分 的 计 算 26 例 8 计 算 23 .4 9dxx（ ）练 习 求 216 25dx x例 8 计 算 2 14 ;8 25dxx x （ ） 2 2 1arctandx x Ca x a a .54d2 xx x练 习 求 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 27 例 8 计 算 22 15 .4 5x dxx x （ ）例 8 计 算 106 16 .(2 1)x dxx （ ）例 8 计 算 7 d .1 x xx（ ）例 8 计 算 38 .(1 )x dxx（ ） 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算

20、 28 例 8 计 算 2 211 ;dxx a（ ）2 21 1 1 121 ( ) ( )21 ln ln21 ln ;2 dx dxx a a x a x ad x a d x aa x a x ax a x a Ca x a Ca x a 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 29 例 8 计 算 22 ;6dxx x （ ） 1 1 1 1( )( 3)( 2) 5 3 21 1 1 ( 3) ( 2)5 3 21 1 3(ln| 3| ln| 2|) ln| |5 5 2dx dxx x x xd x d xx x xx x c cx 练 习 求 2

21、d .5 4xx x 原 式 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 30 例 8 计 算 23 .4 9dxx（ ）练 习 求 216 25dx x 2 2 22 3( )1 1 1 1 23 3 34 9 4 41 ( ) 1 ( )2 2 21 2 1 3. ( )34 3 21 ( )21 3arctan6 2 d xdx dxx x xd xxx c 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 31 例 8 计 算 2 14 ;8 25dxx x （ ）1 4arctan .3 3x C 21( 4) 9dxx 2 2 1arcta

22、ndx x Ca x a a .54d2 xx x练 习 求 2 18 25dxx x 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 32 例 8 计 算 22 15 .4 5x dxx x （ ）练 习 求 2 11x dxx 2 22 2 22 222 1 2 4 3d d4 5 4 52 4 1d 3 d4 5 4 5d( 4 5) d( 2)34 5 1 ( 2)ln| 4 5| 3arctan( 2) .x xx xx x x xx x xx x x xx x xx x xx x x c 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 33

23、例 8 计 算 106 16 .(2 1)x dxx （ ） 10 106 1 3(2 1) 4(2 1) (2 1)x xdx dxx x 9 103 4( )(2 1) (2 1) dxx x 9 101 3d(2 1) 1 4d(2 1)2 (2 1) 2 (2 1)x xx x 8 93 1 1( ) (2 1) 2 ( ) (2 1)2 8 9x x C 8 93 1 2 .16 (2 1) 9(2 1) Cx x 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 34 例 8 计 算 7 d .1 x xx（ ） d1 x xx 1 1d1 x xx 11 d1

24、xx ln|1 | .x x C 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 35 例 8 计 算 38 .(1 )x dxx（ ） dxxx 3)1( dxxx 3)1( 11 )1()1( 1)1( 1 32 xdxx 221 )1(2 11 1 CxCx .)1(2 111 2 Cxx 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 36 ex 例 9 11 21 1x x xe dx dxe e （ ） ； （ ） ；2 13 ; 4 .1 x x x xe dx dxe e e （ ） （ ） 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定

25、 积 分 的 计 算 37 例 9 1 11 2 3 .1 1x x x x xe dx dx dxe e e e （ ） ； （ ） ； （ ）1 1 x xe dxe（ ） 1 (1 )1 xxd ee ln(1 )xe C 12 1 xdxe（ ） 1 d1 x xxe e xe 1 d1 x xe xe ln 1 ;xx e C 11 xxd ex e 13 x xdxe e （ ） 21 x xe dxe 2( )1 ( )xxd ee arctan .xe C 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 38 例 9 24 .1 x xe dxe（ ） 2

26、2d1 1 ( )arctanx xx xxe edxe ee c 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 39 例 10 21 sin ;xdx（ ）例 10 32 cos ;xdx（ ） 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 40 例 10 2 53 sin cos .x xdx（ ）例 10 44 cos .xdx（ ）例 10 5 sin3 cos2 .x xdx（ ）例 10 16 .1 cos dxx（ ） 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 411 1 d cos2 d(2 )2 2x x

27、x 1 1( sin2 )2 2x x C 1 1sin22 4x x C 例 10 21 sin ;xdx（ ） 2 11 sin d (1 cos2 )d2x x x x （ ） 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 42 例 10 32 cos ;xdx（ ） 32 cos dx x（ ） 2cos cos dx x x 2cos d(sin )x x 2(1 sin )d(sin )x x 31sin sin3x x C 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 43 例 10 2 53 sin cos .x xdx（ ） 2 5

28、sin cos dx x x 2 4sin cos d(sin )x x x 2 2 2sin (1 sin ) d(sin )x x x 2 4 6(sin 2sin sin )d(sin )x x x x .sin71sin52sin31 753 Cxxx 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 44 例 10 44 cos .xdx（ ） 4cos xdx 21 (1 2cos2 cos 2 )d4 x x x 2 2cos x dx（ ） 21 1 cos2 2 x dx （ ）1 3 1( 2cos2 cos4 )d4 2 2x x x 1 3 1( si

29、n2 sin4 )4 2 8x x x C 3 1 1sin2 sin48 4 32x x x C 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 45 例 10 5 sin3 cos2 .x xdx（ ） 1 (sin5 sin )d2 x x x 1 1sin5 sin d2 2xdx x x 1 1sin5 d 5 sin d10 2x x x x （ ）1 1cos5 cos .10 2x x C 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 46 例 10 16 .1 cos dxx（ ） dxxcos1 1 dxxx xcos1cos1 c

30、os1 dxxx2cos1 cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin1 22 xdxdxx .sin1cot Cxx 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 47 例 11 计 算 213 .4 x dxx例 12 2 2 1sec (3 )tan( 1)1 2x xdx dxxx （ ） ； （ ） 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 48 例 11 计 算 213 .4 x dxx 2 2 222 213 134 4 41 (4 )13arcsin2 2 413arcsin 4 .2x dx x dxx x x

31、x d xxx x C 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 49 例 12 2 2 1sec (3 )tan( 1)1 2x xdx dxxx （ ） ； （ ）tan( 1)1 x dxx （ ）2 tan( 1) ( 1)x d x 2ln cos( 1)x C 2 2 1sec (3 )2 x dxx （ ） 2 1 1sec (3 ) (3 )dx x 1tan(3 ) Cx 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 50 第 一 类 换 元 积 分 法 在 积 分 中 是 经 常 使 用 的 方 法 , 不 过 如 何 适 当

32、 地 选 取 代 换 却 没 有 一 般 的 规 律 可 循 ，只 能 具 体 问 题 具 体 分 析 . 要 掌 握 好 这 种 方 法 ， 需 要熟 记 一 些 函 数 的 微 分 公 式 ， 并 善 于 根 据 这 些 微 分 公式 对 被 积 表 达 式 做 适 当 的 微 分 变 形 ， 拼 凑 出 合 适 的微 分 因 子 . 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 51 21 3x x dx（ ） 32 21(3 )3 x c 121(3) xe dxxcos4 xdxx（ ） 2ln| 5|x x c 1xe c 22 12 5x dxx x （ ）

33、 2sin x c 5 sin4 cos3x xdx（ ） 1 1cos7 cos 14 2x x c 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 52 3436 1 x dxx（ ） 43ln14 x C 1(8) .2 3 2 1dxx x 219 .4 arcsin2dxxx（ ） 1 .x xe C 3 31 12 3 2 112 12x x C 1217 (1 ) .x xe dxx （ ） lnarcsin .2x C 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 53 (二 ) 第 二 类 换 元 积 分 法 定 理 4.2.2 函

34、数 x (t) 有 连 续 的 导 数 且 (t)0，又 f (t) (t) 有 原 函 数 F(t)， 则 其 中 t -1(x)是 x (t)的 反 函 数 . 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .f x dx f t t dt F t C F x C 不 一 样 先 凑 后 换 元这 与 第 一 类 换 元 法 代 换 元 ， 再 积 分 ， 最 后 回注 ： 第 二 类 换 元 法 是 先 )( 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 54 1. 根 式 代 换 .被 积 分 函 数 中 含 有 （ 根 号 里 是 一 次 式 ）类 型 -根 式 代

35、 换 法 ， 令 n ax b nt ax b 例 1 计 算 1 x dxx 例 2 计 算 1 .x dxx例 3 计 算 3(1 )dxx x 例 4 计 算 1xdxe 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 55 例 1 计 算 1 x dxx 22 1 12 2 21 1 11 tx t tdx tdt dt dtt t tx 212 1 2 2ln11t dt t t t Ct 令 则 于 是,x t 2, 2 ,x t dx tdt 2 2ln 1 2ln 1 .x x x x C 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算

36、56 例 2 计 算 1 .x dxx 2 22 21 2 1 1d d 2 d1 1x t tx t tx t t 212 (1 ) 2( arctan )1 dt t t Ct 令 则 于 是 1 ,x t 2 1,d 2 d ,x t x t t 2( 1 arctan 1) .x x C 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 57 例 3 计 算 3(1 )dxx x 5 2 22 3 2 23d 6 1 1d 6 d 6 d(1 ) 1 1(1 )x t t tt t tt t t tx x 216 (1 )d 6( arctan )1 t t t ct

37、 令 则 于 是 6 ,x t 6 5,d 6 d ,x t x t t 6 66( arctan )x x c 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 58 例 4 计 算 1xdxe 1xdxe 2 21 2 2 1. d d 2 d1 1 ( 1)( 1)t t t tt t t t t 令 则 于 是 1 ,xe t 2 22ln( 1),d d ,1tx t x tt 1 1( )d1 1 tt t 1 1d( 1) d( 1)1 1t tt t 1ln 1 ln 1 ln| |1tt t c ct 1 1ln 1 1xxe ce 第 四 章 不 定 积

38、分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 59 11 1 3 dxx （ ） 2( 3 ln|1 3 |)x x c 4 42 4 4ln( 1) .x x x C 412 d .xx x（ ） 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 60 2. 三角代换 . 被 积 分 函 数 中 含 有 类 型 -三 角 代 换 法 2 2 2 2x a a x 、例 5 计 算 2 2 ( 0)a x dx a 例 6 计 算 2 2 ( 0).dx ax a 例 7 计 算 2 2 ( 0).dx ax a 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计

39、算 61 例 5 计 算 2 2 ( 0)a x dx a 2 2 2 2(1 sin ) cos , cos ,a x a t a t dx a tdt 2 2 2 2d cos cos d cos da x x a t a t t a t t 令 则sin ( ),2 2x a t t 2 (1 cos2 )d2a t t 2 1( sin2 )2 2a t t C 2 ( sin cos )2a t t t C 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 62,arcsin a xt 因 为 2 2cos ,a xt a 22 xa xat 把 变 量 t 换 为

40、 x . 为 简 便 起 见 , ,sin axt 根 据 画 一 个 直 角 三 角形 ， 称 它 为 辅 助 三 角 形 ， 如 图 . xxa d22 Cttta )cossin(22 Ca xaaxaxa 222 arcsin2 .2arcsin2 222 Cxaxaxa 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 63 例 6 计 算 2 2 ( 0).dx ax a 2 2 2sec ,d sec d ,x a a t x a t t 2 12 2 sec sec ln sec tansecdx a t tdt t t Ca tx a 令 则tan ( ),

41、2 2x a t t 根 据 作 辅 助 三 角 形 , 如 图 .tan xt a a xt 22 ax 2 2sec ,x at a 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 64 122 |tansec|lnd Cttax x 122ln Ca axax aCaxx ln)ln( 122 ，Caxx )ln( 22其中 C = C1 - lna . 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 65 例 7 计 算 2 2 ( 0).dx ax a 2 2 tan ,d sec tan d ,x a a t x a t t t 12 2 s

42、ec lnsec tandx tdt t t Cx a 令 则3sec (0 ),2 2x a t t t 或 根 据 作 辅 助 三 角 形 ，如 图 .sec ,xt a axt 22 ax 2 2tan ,x at a 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 66 22d ax x 1 |tansec|ln Ctt 122 ln Ca axax aCaxx ln |ln 122 2 2ln| | x x a C 其 中 C = C1 lna . 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 67 第 二 类 换 元 积 分 法 是 基 本

43、 积 分 方 法 之 一 , 使 用 第 二换 元 积 分 法 的 关 键 在 于 选 择 适 当 的 变 换 , 消 除 被 积 式中 的 根 号 , 最 常 见 的 形 式 有 : （ 1） 被 积 函 数 中 含 有 ： 设（ 2） 被 积 函 数 中 含 有 ： 设 , n为 n1、 n2 的 最 小 公 倍 数（ 3） 被 积 函 数 中 含 有 ： 设（ 4） 被 积 函 数 中 含 有 ： 设（ 5） 被 积 函 数 中 含 有 ： 设 在 作 三 角 替 换 时 , 可 以 利 用 直 角 三 角 形 的 边 角 关 系确 定 有 关 三 角 函 数 的 关 系 , 以 返 回

44、 原 积 分 变 量 . n ax b nt ax b 1 2n nx x、 nt x2 2a x sinx a t2 2x a tanx a t2 2x a secx a t 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 68 例 8 计 算 2d .1xx x解 法 一 三 角 代 换 法 令 x = tan t， 于 是 得 21d xx x ttt t dsectansec2 ttdcsc则 dx = sec2 tdt， . |cotcsc|ln Ctt 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 69 根据 tan t = x， 作 辅

45、助 三角 形 ，得 21d xx x = ln |csc t cot t | + CCxx x 11ln 2 .11ln 2 Cxx 1 xt 21 x 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 70 解 法 二 根 式 代 换 法 ，令 11 22 txtx ,d1d 2 tt tx 则于 是 有 21d xx x tttt t d11 22 tt d112 Ctt 11ln21 Cxx 2 22 )11(ln21.11ln 2 Cxx 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 71 3 21 4 .x x dx（ ） 3 52 24 14

46、 4 .3 5x x C 212 ( 0)1dx xx x （ ） 1arcsin Cx 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 72 设 函 数 u = u(x), v = v(x) 具 有 连 续 导 数 : u = u(x), v = v (x)， 根 据 乘 积 微 分 公 式于 是 有 ， dd uvvuuv即.dd uvuvvu d(uv) = udv + vdu，分 部 积 分 公 式 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 73.dd uvuvvu难 易 1. 分 部 积 分 法 适 合 求 两 个 不 同 类 型 函 数

47、 乘 积 的 积 分 .2. 用 法 ： 把 被 积 函 数 f (x) 分 解 为 两 部 分 因 式 相 乘 的 形 式 , 其 中 一 部 分 因 式 看 作 u , 另 一 部 分 因 式 看 作 v , 而 后套 用 公 式 , 把 求 不 定 积 分 的 问 题 转 化 为 求 不定 积 分 的 问 题 . duv x vdxu3. 关 键 : u , v 选 择 要 得 当 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 74 例 1 计 算 cos dx x x cos dx x x u v d(sin )x x交 换 ,vu xxxx dsinsin u

48、v .cossin Cxxx cos dx x x uv 21 sin d( )2 x x 2 21 1cos sin2 2x x x xdx u v交 换 ,vu 比 更 难 求cosx xdx 失 败 ！可 见 运 用 分 部 积 分 公 式 的 关 键 是 恰 当 选 择 u， v . 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 75 当 被 积 函 数 是 两 种 不 同 类 型 函 数 的 乘 积 时 ， 我们 可 以 按 照 “ 反 、 对 、 幂 、 指 、 三 ” （ 即 反 三 角 函数 、 对 数 函 数 、 幂 函 数 、 指 数 函 数 、 三

49、角 函 数 ） 的顺 序 ， 选 择 排 列 次 序 在 前 的 函 数 作 为 u， 而 将 排 在后 的 另 一 个 函 数 选 作 v. 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 76 例 3 计 算 dxx e x 22 dxx e xu v 2d( )xx e交 换 ,vu 2 2e e dx xx x u v2e 2 e dx xx x x u v 2 2 dx xx e x e 2 2 dx x xx e xe e x u v 2 2 2 .xx x e C 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 77 例 4 计 算 2 a

50、rctan d .x x x例 5 计 算 ln dx x 例 6 计 算 arcsin dx x例 7 计 算 3ln dx x x 例 8 计 算 sin dxe x x例 9 计 算 3sec d .x x 例 10 计 算 arctan d .x x例 11 计 算 ln(1 )d .x xx例 12 计 算 sin(ln )d .x x 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 78 例 4 计 算 2 arctan d .x x x2 arctan dx x x 2arctan d( )x x2 2arctan d(arctan )x x x x 22 2

51、arctan d1 xx x xx 2 21arctan 1 d1x x xx 2arctan arctan .x x x x C 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 79 例 5 计 算 ln dx x 1ln d ln dln ln dx x x x x x x x x xx ln (ln 1)x x x C x x C 练 习 求 2ln dx x 2ln 2 ln 2x x x x x C 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 80 例 6 计 算 arcsin dx x arcsin darcsinx x x x 2arc

52、sin d1xx x xx 2arcsin 1x x x C 221 (1 )arcsin d2 1d xx x xx arcsin dx x 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 81 例 7 计 算 3ln dx x x4 41 1ln d4 4x x x xx 4 41ln .4 16x x x C 4 31ln d4 4x x x x 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 82 例 8 计 算 sin dxe x xsin d sin d sin dsinx x x xe x x x e e x e x 2sin cos d

53、sin cos dx x xe x e x x e x x e sin cos dcosx x xe x e x e x (sin cos ) sin d x xe x x e x x 移 项 , 两 边 除 以 2 , 并 加 积 分 常 数 , 得 Cxxexdxe xx )cos(sin2sin 当 两 次 应 用 分 部 积 分 法 后 又 出 现 了 原 积 分 时 , 我 们是 用 解 方 程 的 方 法 求 出 积 分 结 果 的 . 注 意 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 83 例 9 计 算 3sec d .x x xxdsec3 xxx

54、dsecsec 2 )tand(sec xx )secd(tantansec xxxx xxxxx dsectantansec 2 xxxxx dsec)1(sectansec 2 xxxxxx dsecdsectansec 3 ，|tansec|lndsectansec 3 xxxxxx . |tansec|ln21tansec21dsec3 Cxxxxxx 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 84 例 10 计 算 arctan d .x x 2arcsin d arctan 2 d arctan d( )x x t t t t t 22 2 2 2arct

55、an darctan arctan d1tt t t t t t tt 2 22 1arctan 1 d1arctan arctant t ttt t t t C 1 arctan .x x x C 令 则 于 是( 0),x t t 2, 2 ,x t dx tdt 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 85 例 11 计 算 ln(1 )d .x xx xx x d)1ln( xx d)1ln(2 )1ln(d2)1ln(2 xxxx .d12)1ln(2 xxxxx求 上 式 右 端 的 不 定 积 分 ,d1 xxx 用 第 二 换 元 法 . 第 四 章

56、 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 86 , 2txtx 令 则 dx = 2tdt , 于 是 有 xxx d1 ttt d12 22 tt d1 112 2= 2(t arctan t) + C ， 1)arctan(2 Cxx 代 入 , 得 xx x d)1ln( .)arctan(4)1ln(2 Cxxxx 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 87 dxx)sin(ln dxx)sin(ln .)cos(ln)sin(ln2 Cxxx 例 12 计 算 sin(ln )d .x x令 lnx=t ,则 x=et ,dx=etdt

57、, 于 是sin dtt e t sin d tt esin dsint te t e t sin cos dt te t e t t sin cos dt te t t e sin cos dcost t te t e t e t sin cos sin dt t te t e t e t t 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 88 31 e d .x x（ ） 32 13 33( 2 2)e .xx x C 21 1arctan ln ln(1 )2x x x Cx 212 arctan dx xx（ ） 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 89 内 容 小 结 : 1.换 元 积 分 法 2.分 部 积 分 法 xxf d)( 第 一 类 换 元 法 tttf d)()( 第 二 类 换 元 法(注 意 常 见 的 换 元 积 分 类 型 ) (代 换 : )(tx vuxvu d xvu d 第 四 章 不 定 积 分 第 一 节 不 定 积 分 的 计 算 若 有 不 当 之 处 ， 请 指 正 ， 谢 谢 ！