二次函数与幂函数

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1、第五节二次函数与幂函数1五种常见幂函数的图像与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图像定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0减，(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)2二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)；(3)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)3二次函数的图像和性质a0a0，a0恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；1时，曲线下凸；01时，曲线上凸；0，m，nN*，且n1)负分数指

2、数幂：a(a0，m，nN*，且n1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的性质：arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图像与性质yaxa10a0时，y1；x0时，0y0时，0y1；x1过定点(0,1)在(，)上是增函数在(，)上是减函数1在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数2指数函数yax(a0，a1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a1或0a1.试一试1化简(2)6(1)0的结果为()A9B7C

3、10 D92若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_方法指导：1对可化为a2xbaxc0或a2xbaxc0(a2xbaxc0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决2指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0a1进行分类讨论练一练1函数y 的定义域为_2若函数f(x)ax1(a0，a1)的定义域和值域都是0,2，则实数a_.考点一：指数幂的化简与求值求值与化简：(1)022(0.01)0.5；(2)ab2(3ab1)(4ab3) ；(3)类题通法指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数

4、幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.考点二：指数函数的图像及应用典例(1)(2012四川高考)函数yax(a0，且a1)的图像可能是()(2)已知实数a，b满足等式ab，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0，a1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解针对训练1(

5、2014北京模拟)在同一坐标系中，函数y2x与yx的图像之间的关系是()A关于y轴对称B关于x轴对称C关于原点对称 D关于直线yx对称2方程2x2x的解的个数是_考点三：指数函数的性质及应用典例已知f(x)(axax)(a0，且a1)(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性在本例条件下，当x1,1时，f(x)b恒成立，求b的取值范围. 类题通法利用指数函数的性质解决问题的方法求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数

6、相关的问题加以解决针对训练已知函数f(x)ax24x3.(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值七节对数与对数函数1对数的定义如果axN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2对数的性质与运算及换底公式(1)对数的性质(a0且a1)：loga10；logaa1；alogaNN.(2)对数的换底公式基本公式：logab(a，c均大于0且不等于1，b0)(3)对数的运算法则：如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN，logalogaMlo

7、gaN，logaMnnlogaM(nR)3对数函数的图像与性质a10a1图像定义域(0，)值域R定点过点(1,0)单调性在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数函数值当0x1，y1时，y0；正负当0x0当x1时，y0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图像关于直线yx对称1在运算性质logaMnnlogaM中，易忽视M0.2解决与对数函数有关的问题时易漏两点：(1)函数的定义域；(2)对数底数的取值范围试一试1(2013重庆高考)函数y的定义域是()A(，2)B(2，) C(2,3)(3，) D(2,4)(4，)2(2013四川高考)lglg的值是_方法指导：1对数值

8、的大小比较的基本方法(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图像比较2明确对数函数图像的基本点(1)当a1时，对数函数的图像“上升”；当0a0，且a1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图像只在第一、四象限练一练1函数yloga(3x2)(a0，a1)的图像经过定点A，则A点坐标是()A. B.C(1,0) D(0,1)2(2013全国卷)设alog32，blog52，clog23，则()Aacb BbcaCcba Dcab考点一：对数式的化简与求值1.(2013陕西高考)设a，b，c均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒

9、成立的是()AlogablogcblogcaBlogablogcalogcbCloga(bc)logablogac Dloga(bc)logablogac2计算下列各题：(1)lglg 70lg 3；(2)lglglg 类题通法对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算考点二：对数函数的图像及应用典例(1)已知lg alg b0，则函数f(x)ax与函数g(x)logbx的图像可能是()(2)当0x时，

10、4x0；当x0时，yf(1x)为增函数，且y0且a1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性第八节函数与方程1函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点2二次函数yax2bxc(a0)的图像与零点的关系000二次函数yax2bxc (a0)的图像与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个3二分法对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法易误点：1函数y

11、f(x)的零点即方程f(x)0的实根，易误为函数点2由函数yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示所以f(a)f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件试一试1若函数f(x)axb有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是()A0,2B0，C0， D2，2函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)方法指导：1函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)

12、f(b)0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点2三个等价关系(三者相互转化)3用二分法求函数零点近似值的步骤第一步：确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；第二步：求区间(a，b)的中点c.第三步：计算f(c)；若f(c)0，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)第四步：判断是否达到精确度：即若|ab|0且a1，b0)对数函数模型f(x)blo

13、gaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)幂函数模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n0)2三种函数模型性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x值增大，图像与y轴接近平行随x值增大，图像与x轴接近平行随n值变化而不同易误点：1易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域2注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性试一试据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0

14、.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系是()Ay0.1x800(0x4 000)By0.1x1 200(0x4 000)Cy0.1x800(0x4 000)Dy0.1x1 200(0x4 000)方法指导：解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下： 练一练(2013陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个

15、面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A15,20B12,25C10,30 D20,30考点一：一次函数与二次函数模型1.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差()A10元B20元C30元 D.元2(2013北京西城区抽检)将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个()A115元 B105元C95元 D85元3为了

16、保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：yx2200x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 类题通法求解一次函数与二次函数模型问题的关注点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借

17、助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题考点二：分段函数模型典例提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求

18、出最大值(精确到1辆/小时) 类题通法应用分段函数模型的关注点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)针对训练某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图(一条折线)、图(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图是每件样品的销售利

19、润与上市时间的关系(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由考点三：指数函数模型典例一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？ 类题通法应用指数函数模型应注意的问题(1)指

20、数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型(3)ya(1x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解提醒：解指数不等式时，一定要化为同底，且注意对应函数的单调性针对训练(2013长春联合测试)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A略有盈利 B略有亏损C没有盈利也没有亏损 D无

21、法判断盈亏情况第十节变化率与导数、导数的计算1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数：称函数f(x)为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式(sin x)cos_x，(cos x)sin_x，(ax)axln_a，(ex)ex，(l

22、ogax)，(ln x).3导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)4复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积易误点：1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆2求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别试一试1(2013江西高考)设函数f(x)在(0，

23、)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.2函数yxcos xsin x的导数为_考点一：利用导数的定义求函数的导数利用导数的定义求函数的导数：(1)yx2，(2)f(x). 类题通法定义法求函数的导数的三个步骤一差：求函数的改变量yf(xx)f(x)二比：求平均变化率.三极限：取极限，得导数yf(x).考点二：导数的运算典例求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)y；(3)yln(2x5) 类题通法1求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错2有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先

24、化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量3复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导针对训练已知f(x)sin 2x，记fn1(x)fn(x)(nN*)，则f1f2f2 013f2 014_.考点三：导数的几何意义角度一求切线方程1(2014洛阳统考)已知函数f(x)3xcos 2xsin 2x，af，f(x)是f(x)的导函数，则过曲线yx3上一点P(a，b)的切线方程为()A3xy20B4x3y10C3xy20或3x4y10D3xy20或4x3y10角度二求切点坐标2(2013辽宁五校第二次联考)曲线y3ln xx2在点P0处的切线

25、方程为4xy10，则点P0的坐标是()A(0,1)B(1，1)C(1,3) D(1,0)角度三求参数的值3已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0时为增函数；f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f(x)0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围第二课时导数与函数极值、最值考点一运用导数解决函数的极值问题典例(2013福建高考节选)已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值解(1)由f(

26、x)x1，得f(x)1.又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，得f(1)0，即10，解得ae.(2)f(x)1，当a0时，f(x)0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得exa，即xln a.x(，ln a)，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故f(x)在xln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a 0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值若把本例中f(x)变为“f(x)xaln x(aR)”，试求函数的极值.解：由

27、f(x)1，x0知：(1)当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；(2)当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值类题通法求函数f(x)极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f

28、(x)在x0处取极小值针对训练设f(x)2x3ax2bx1的导数为f(x)，若函数yf(x)的图像关于直线x对称，且f(1)0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值解：(1)因为f(x)2x3ax2bx1，故f(x)6x22axb，从而f(x)62b，即yf(x)关于直线x对称从而由题设条件知，即a3.又由于f(1)0，即62ab0，得b12.(2)由(1)知f(x)2x33x212x1，所以f(x)6x26x126(x1)(x2)，令f(x)0，即6(x1)(x2)0，解得x2或x1，当x(，2)时，f(x)0，即f(x)在(，2)上单调递增；当x(2,1)时，f(x)0，即f

29、(x)在(1，)上单调递增从而函数f(x)在x2处取得极大值f(2)21，在x1处取得极小值f(1)6.考点二运用导数解决函数的最值问题典例已知函数f(x)ln xax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值解(1)f(x)a(x0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调增区间为(0，)当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0，故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)当1，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，f(x)的最小值是f(2)ln 22a.当2，即0a时，函数f(x)在区间1,2上是增

30、函数，f(x)的最小值是f(1)a.当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln 2a，当aln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a.综上可知，当0a0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切， (1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值解：(1)f(x)2bx，函数f(x)在x1处与直线y相切，解得(2)f(x)ln xx2，f(x)x，当xe时，令f(x)0得x1；令f(x)0，得10)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上

31、的最大值解(1)f(x)，令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点，且f(x)与g(x)符号相同又因为a0，所以3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.类题通法求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值针对训练已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线为

32、l：3xy10，若x时，yf(x)有极值(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解：(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.当x1时，切线l的斜率为3，可得2ab0，当x时，yf(x)有极值，则f0，可得4a3b40，由，解得a2，b4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)4.所以1abc4.所以c5.(2)由(1)，可得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，解之，得x12，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：x3(3，2)21f(x)00f(x)8134所以yf(x)在3,1上的最大值为13，最

33、小值为.第三课时导数与函数的综合问题考点一利用导数研究生活中的优化问题典例(2013重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh(元)，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大类题通法利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(