有限元平面问题2

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1、即： （由i,j,k轮换性知）同理可证：（作业：证明：）因此 （2-12）即形函数在自己节点上为1，在其余节点上为0。2. 在单元上任意一点，三个形函数之和为1，即。证明： （2-13）由此可见，三个形函数中只有2个是独立的，即第三个可由其余两个表示。3. ij边上的形函数与节点k的坐标无关（i，j, k轮换），即在ij边上有： （i，j, k轮换） （2-14）证明：设 节点i 坐标：,节点j 坐标：。 求：ij 边的直线方程。 在边上：由性质2 ：即在i ,j 边上有： （2-15）证毕。同理知：（轮换）在jk边上有： 在ki 边上有： 几何表示：五、三角形单元位移函数的收敛性（要点提示：

2、单元位移函数的三条收敛准则及意义）下面我们来验证所设的位移函数 满足收敛准则（三条）。1、 单元的位移函数解反映单元的刚体位移（包含有）由几何方程： 寻找物体发生刚体位移的条件。若物体发生刚体位移，则有： 由得： 等式两侧分别为x和y的函数，要使其相等只有：积分： 式中为积分常数故位移：即：（不难证明）以上两项是发生刚体位移的充要条件。因为这是的情形。故：事实上，将位移函数改变形式为：显然可看出： （其它系数意义后述）2、 单元位移函数解反映单元的常应变由： 可以得到： 显然：由此看出，但单元的各应变均为常量。故三角形单元在位移函数：下个典的各个应变量均为常量。故称为常应变单元。3、 单元的位

3、移函数在单元内部连续，在边界与相邻单元协调。显然，设 是单元内部的连续函数。下面考察下边界上协调（一致）的问题。由形函数的第3条性质，我们证明：对于相邻的两个单元为公共边界。ij边上的N: 分别写出两个单元在公共边上的位移表达式。对于单元，其位移函数为： （*）对于单元，其位移函数为： （*）Ij为单元，的公共边界。由形函数的性质3我们知道： 仅与节点 i 有关。因此，对于：对于： 与节点k,m无关，仅与i, j 节点坐标及有关。- 已知常数- 节点位移唯一边界上x唯一确定u,v由和比较及和比较知：在公共边界上各点，ij上位移u,v是唯一的。由上知：三角形单元的位移函数 满足收敛性条件。Not

4、e: 用三角形单元计算则位移是连续的。而应力、应变是阶梯的。位移法（假设位移）的结果位移要好（比应力准确）。2-5 三角形单元的刚度矩阵（单刚）提示：我们已经建立了三角形单元的位移函数；导出了三角形单元的形函数；并用形函数来表示其位移函数；最后，我们证明了三角形单元位移函数的收敛性。下面我们要推导三角形单元的单元刚度矩阵。在推导单刚前我们还有些准备工作要做。一、 三角形单元的应变矩阵B将位移函数写出来：其中： 把位移函数u,v代入几何方程：写成矩阵的形式就是：（单元上任一点的应变） （2-16）或 （2-17）式中： （2-18）或分块： （2-19）式（2-16）表示单元节点位移与单元应变的

5、关系。矩阵称为应变矩阵。式（2-18）表示应变矩阵为常数矩阵，再次证明三节点三角形单元为常应变单元。二、 三角形单元的应力矩阵由物理方程知： 用矩阵表示： （2-20）或缩写为：（2-21）其中： （2-22）称为弹性矩阵（仅与弹性常数有关）。把代入物理方程，得到：令 （2-23）则有： （2-24）式（2-24）表示应力与节点位移的关系。由式（2-23）给出，称为三角形单元的应力矩阵。显然，弹性矩阵及应变矩阵都是常量矩阵。故应力矩阵也是一个常量矩阵。因此三节点三角形单元的应变和应力都是常量。三、三角形单元的单刚建立了应力与节点位移的关系式（2-24），我们就可以推导单刚了。我们用虚功原理来推

6、导。一般来说，有限元的单刚最普通的方法是用变分原理来推导。求泛函的变分（functional 泛函的函数）。（在力学上就是最小泛解的变分原理）。由于我们尚未解除变分原理且对于弹力问题，用虚功原理推导就可以了。有人证明了用虚功原理推导和用最小泛解的变分原理来推导单刚，对于弹性力学的问题结果是一致的。下面我们用虚功原理来推导三节点三角形单元的单刚。1. 单刚的推导（单元是平衡的：对其应用虚功原理）如图所示，三角形单元的节点位移和节点力为：节点位移：节点力：给定一组虚位移：（每个单元都可能有虚位移）（虚位移是人为假设的任意位移，其唯一的条件就是约束所允许）产生虚应变： 则单元的外虚功为：（节点力）单

7、元的内力虚功为：由虚功原理知： 我们设法把等式右侧的应力和虚应变换成位移和虚位移表示：代入虚功方程右侧：及都与x,y无关。在有限元中当我们研究一个单元时单元内的任一点位移可由节点位移表示，是x,y及节点位移的函数节点位移我们认为是已知量。故有： 可能是x,y的函数令： （2-25）则： （2-26）式（2-25）为三角形单元的单刚。式（2-26）为三角形单元的单元刚度方程。由于均为常数矩阵。故有： （2-27）书上P72已将各项展开。（把）大家可看一下。2. 单刚的物理意义把单刚分块，则单元刚度方程可写成： （2-28）展开得： 显然：表示当时在i 节点产生的节点力 表示当时在i 节点产生的节

8、点力3. 单元的性质（与外力无关）1）是的对称矩阵，即 （互等定理）且主元非负，且02）是奇异矩阵：（最简单的想法，最笨的做法是证明|=0）是方阵，我们这样做： 把1）、3）、5）三个加在一起。（见P123）看第一列相加的结果： 同理可证： 是奇异的。3）的影响因素A. 单元的几何参数：大小（平缓过渡问题），厚度，方位（节点坐标差）B. 单元的材料特性：至此，我们已经推出了单刚，并对进行了讨论。有了单刚后我们就可以利用平衡条件建立总刚了。36 结构刚度矩阵总刚提示：推导出单元的刚度矩阵，就意味着我们有了单元上节点力与节点位移的关系。与一维的问题相同，我们下一步工作就是要找到结构的总刚度矩阵。建

9、立以结构节点位移为未知数的结构刚度方程。一、节点的平衡方程（内力与外力的平衡）我们仍然用一个简单的直观的例子来推导总刚度方程，然后不失一般性的推广到一般的结构。结构离散如图所示，取出节点3来研究节点的平衡。首先写出各单元的单元刚度方程。单元（1）单元（2）单元（3）单元（4）对节点3列出平衡方程外力：内力： 由平衡条件： 平衡方程二、总刚的形成（先写方程，再定义总刚）结构的总刚度矩阵可由结构全部节点的平衡方程写出。我们仅以例中的结构，第3 节点的平衡方程说明如何建立该结构的第三个方程（子块）按节点形式展开节点3 的平衡方程：注意到： 则（按节点重排）：把该结构的总刚中第3个子块写出：在总刚度方

10、程中，总刚矩阵的第3行（子块）的元素为第3 个节点全部相关单元的单刚中对应下标的元素（子块）之和。（相关节点若i,j 同属于e 则i ,j 为相关节点；相关单元与节点i 相连的单元为i 的相关单元）同理，由结构其余节点的平衡方程，可以得到总刚的全部内容：杆系结构的总刚中只解来自某一单刚。而平面问题可能来自两个单刚。更一般地，对于一个结构，若将其离散为m 个单元，n 节点则有：其子块 ； 或者写为：总刚形成方法：1.对角线子块为：节点i 相关单元（）的单刚中求和。即=2.非对角线子块:因此，通俗一点就是：实际上，程序是按单刚中对应下标求和进行的。三、总刚度矩阵的性质1. 总刚k为对称矩阵。（子块

11、）可由单刚对称性及总刚形成的方法看总刚是一个奇异矩阵明确的物理解释总刚是一个稀疏矩阵必然的有许多非相关节点有条件的：带状稀疏（节点编号满足螺旋法则）总刚度矩阵是奇异的，要进行约束处理（代入已知的边界条件）荷载是节点载荷，不具一般性约束处理结构总刚度方程中，是奇异的，无法直接求解，需要进行约束处理处理方法与一维问题相同载荷处理（载荷移置）等效节点载荷一、问题的提出在有限元法中，结构离散后，单元之间的联系及单元间力的传递都是通过节点实现的。在我们推导单元刚度方程及结构总刚方程时，我们也都隐含了一个假设，那就是：作用于单元上及结构上的载荷为节点载荷。那么到目前为止，对于一个弹性力学的平面问题，如果作

12、用于结构上的所有荷载都是节点载荷（集中力），我们已经可以用有限元法求解问题了。但是，在实际的工程问题中，作用一个结构上的载荷是多种多样的，也是比较复杂的。我们只有对任何种类的荷载都能用节点荷载来表示，有限元法才有生命力。对于一维杆系结构，它只是非常简单的一种情况，我们用求解单跨超静定梁的杆端力的办法，就可以进行荷载处理了。但二维以上的问题（弹力）就不能作类似的简单处理。例子如下（图）二、荷载移置的原则对于弹性力学问题而言，在处理荷载的移置时，必须满足如下的条件，才能保证计算结果达到较高的精度。 圣维南原理 载荷移置的唯一性（由位移函数唯一来保证）三、载荷移置的一般公式在进行荷载移置之前，我们首先对结构上各种的载荷进行分类载荷的种类：（） 非节点的集中力（单元上某一点）（） 体积力（单元内分布）（） 面力（单元边界上分布）以下逐步介绍载荷移置