专题六　数学与生活

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1、专题六数学与生活 类型一 方程与不等式模型题型特点数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题.主要步骤:在实际情境中,从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、求解结论、验证结果并改进模型,最终解决实际问题.从近几年的中考试题来看,命题者借助PISA测试的理念倡导培养学生重应用、多实践的科学素养,构建真实的情境,引导学生通过阅读,联研题型解易 系生活实际获取信息,从而构建正确的数学模型.这类试题一般在解答题中以应用题的形式呈现.由于这部分知识比较简单,中考命题时一般将方程(组)与不等式的应用结合在一起考查,可化为一元一次方程的分式方程模型有

2、时是单独考查,但更多的时候是和其他数学模型结合在一起进行考查.一元二次方程模型应用广泛,例如:增长(下降)率问题、市场营销问题、边框问题、道路问题、单循环问题、感冒传染问题、互赠贺卡问题、黄金分割问题等,这部分内容也常和其他数学模型结合在一起考查. 方法规律解决此类问题的首要任务是将生活与生产中的实际问题转化为数学问题,再用数学符号,通过方程、不等式转化为数学问题,最后结合实际情况考虑数学结果的合理性,进行取舍.试题评阅过程中发现不少学生不能灵活选择适当的数学模型解决问题. 1.构建方程(组)或不等式解决实际问题,一般需要注意以下步骤:审题、设未知数、列方程(组)或不等式、解、检验、答.按照这

3、样的步骤,可以避免出现失误.列方程时,要注意单位的统一. 2.解决这类问题的关键是从问题情境中找出等量关系和不等关系,其中不等关系有非常明显的标志语,如:大于,小于,不少于,不超过等. 3.对于运用不等式产生的方案问题,一般是取解集范围内的整数解,有几个整数解,就有几种可行方案. 解题策略典例1(2018宁波)某商场购进甲、乙两种商品,甲种商品共用了2 000元,乙种商品共用了2 400元.已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元,且购进的甲、乙两种商品件数相同.(1)求甲、乙两种商品每件的进价;(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售,甲种商品的销售单价为60元,乙种商品的销售单价为8

4、8元,销售过程中发现甲种商品销量不好,商场决定:甲种商品销售一定数量后,将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售;乙种商品销售单价保持不变.要使两种商品全部售完后共获利不少于2 460元,则甲种商品按原销售单价至少销售多少件? 思路点拨(1)找到表示量与量之间关系的句子作为列代数式或方程的依据:设甲种商品每件的进价为x元,根据“乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元”,可得乙种商品每件的进价为(x+8)元.根据“购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程求解.(2)对于此类问题,隐含着一个等量关系:利润=售价-进价.分别表示出甲、乙两种商品的利润是关键.设甲种商品按原销售单价销售a件,则由“两种商

5、品全部售完后共获利不少于2 460元”列出不等式. 开放解答解析(1)设甲种商品每件的进价为x元,则乙种商品每件的进价为(x+8)元.根据题意,得 = ,解得x=40.经检验,x=40是原方程的解.答:甲种商品每件的进价为40元,乙种商品每件的进价为48元.(2)甲、乙两种商品的销售量均为 =50件.设甲种商品按原销售单价销售a件,则(60-40)a+(600.7-40)(50-a)+(88-48)502 460,2 000 x 2 4008x 2 00040 解得a20.答:甲种商品按原销售单价至少销售20件. 高分秘籍1.找等量关系或不等关系是解决这类问题的关键.常见的表示两个量之间等量关

6、系的表述有“是的几倍(百分之几)”“比多(少)”“比提高(降低)”,这些表述可以用来列代数式或方程.常见不等量关系的表述有“至少(多)”“不超过”“在之内”,这些表述可以用来判断未知数的取值范围或列出不等式.2.找到等量关系或不等关系后,要将文字语言准确转化成符号语言. 3.常用的列方程的思路是找到题目中的三个基本量,往往题目中会有一个基本量是已知的,另一个量是未知数,则方程的等量关系就是由第三个量决定的. 4.此类问题来源于实际,所以涉及的数据往往不易计算,同种类型的数据单位也不统一,列方程或不等式时,要先将同类型量的数据单位统一,单位统一的目的是有利于计算,统一单位后数据不要有太多的零,若

7、有可以考虑用科学记数法表示;统一单位后数据尽量不要有小数,可以考虑统一成较小的单位. 5.此类考题往往涉及两个数学模型,比如上题先是方程模型,后是不等式模型,涉及多个未知数,所以设未知数时,要注意不同的未知数用不同的字母表示. 6.列方程求解之后要检验,一是检验是否使方程两边相等,一是检验是否符合实际.分式方程检验的过程一定要写在答题的过程里.不等式模型解得的解集,往往要根据实际问题,取解集中符合实际要求的数据. 当堂巩固1.(2018山西)在某市实施城中村改造的过程中,“旺鑫”拆迁工程队承包了一项10 000 m2的拆迁工程.由于准备工作充分,实际拆迁效率比原计划提高了25%,提前2天完成了

8、任务.请解答下列问题:(1)求“旺鑫”拆迁工程队实际平均每天拆迁多少m2;(2)为了尽量减少拆迁给市民带来的不便,在拆迁工作进行了2天后,“旺鑫”拆迁工程队的领导决定加快拆迁工作,将余下的拆迁任务在5天内完成.那么“旺鑫”拆迁工程队平均每天至少需再多拆迁多少m 2? 解析(1)设“旺鑫”拆迁工程队原计划每天拆迁x m2.由题意,得 - =2.解得x=1 000.经检验,x=1 000是原分式方程的解.(1+25%)1 000=1 250(m2).答:“旺鑫”拆迁工程队实际平均每天拆迁1 250 m 2.(2)设“旺鑫”拆迁工程队平均每天再多拆迁y m2.由题意得5(1 250+y)10 000

9、-21 250.10 000 x 10 000(1 25%)x 解得y250.答:“旺鑫”拆迁工程队平均每天至少需再多拆迁250 m2. 类型二 函数模型题型特点数学建模是数学学科核心素养之一,近几年山西中考加大了对模型思想即实际应用问题的考查.此类题型通常设计一个现实情境,学生需要将实际问题转化为数学问题,并借助函数模型与方程等其他模型综合来解决.结合山西中考命题的六个维度之一,借鉴PISA测试理念,近几年山西此类问题的现实性与综合性越来越强,情境新颖且紧贴实际生活. 方法规律在解决此类问题时,先根据实际情境,抽象出相应的函数模型,选取题中有用的数据与模型结合,解决问题,同时应注意,函数模型

10、中设计自变量的取值范围应与实际情境相结合. 解题策略典例2(2018泰安)文美书店决定用不多于20 000元购进甲、乙两种图书共1 200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元,甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍,若用1 680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1 400元购买乙种图书的本数少10本.则:(1)甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元?(2)书店为了让利读者,决定将甲种图书售价每本降低3元,乙种图书售价每本降低2元,问:书店应如何进货才能获得最大利润?(假设购进的两种图书全部销售完) 思路点拨(1)根据题意,列出分式方程即可;(2)先用进货量表示获得

11、的利润,然后根据函数性质求函数最大值即可. 解析(1)设乙种图书的售价为每本x元,则甲种图书的售价为每本1.4x元,由题意,得 - =10,解得x=20,经检验,x=20是原方程的解,甲种图书的售价为每本1.420=28元.答:甲种图书的售价为每本28元,乙种图书的售价为每本20元.(2)设甲种图书进货a本,总利润为W元,则W=(28-20-3)a+(20-14-2)(1 200-a)=a+4 800,1 400 x 1 6801.4x开放解答 又20a+14(1 200-a)20 000,解得a , W随a的增大而增大,当a最大时W最大,当a=533时,W最大.此时,乙种图书进货本数为1 2

12、00-533=667(本).答:甲种图书进货533本,乙种图书进货667本时利润最大.1 6003 高分秘籍分析题意,建立相应的函数模型,结合函数性质解决问题. 当堂巩固2.(2018曲靖)某公司计划购买A,B两种型号的电脑,已知购买一台A型电脑需0.6万元,购买一台B型电脑需0.4万元,该公司准备投入资金y万元,全部用于购进35台这两种型号的电脑,设购进A型电脑x台.(1)求y关于x的函数解析式;(2)若购进B型电脑的数量不超过A型电脑数量2倍,则该公司至少需要投入资金多少万元? 解析(1)由题意得,y=0.6x+0.4(35-x),整理得,y=0.2x+14(0 x0, y随x的增大而增大

13、,当x=12时,y有最小值,为16.4,353 答:该公司至少需要投入资金16.4万元. 类型三 与相似有关的几何模型题型特点这类问题常与实际问题相结合,题干语言表述较长,既有实际图片,还有抽象出的几何图形.方法规律针对图片在几何图形中把条件一一对应,抽象出常见的几何图形从而找到解题的突破口. 解题策略典例3刘徽(生于公元250年左右)是中国数学史上伟大的数学家,在世界数学史上,也占据着重要的地位,他的杰作九章算术注和海岛算经是我国宝贵的数学遗产.(1)其中一卷书研究的对象全是有关高与距离的测量,所使用的工具也都是利用垂直关系所连接起来的测杆与横棒,所有问题都是利用两次或多次测量所得的数据,来

14、推算可望而不可及的目标的高、深、广、远,此书收集于明成祖时编修的永乐大典中,现保存在英国剑桥大学图书馆,该卷书是 ;(2)在(1)中提到刘徽的杰作中,记载的第一个问题的大意是:在如图所示的示 意图中,要测量海岛上一座山峰的高度AH,立两根高3丈的标杆BC和DE,两杆之间的距离BD=1 000步,点D、B、H成一线,从B处退行123步到点F处,人的眼睛贴着地面观察点A,点A、C、F也成一线,从D处退行127步到点G处,人的眼睛贴着地面观察点A,点A,E,G也成一线,求AH有多少丈,HB有多少步.(这里1步=6尺,1丈=10尺) 思路点拨(1)根据历史常识可得到答案;(2)根据题意,得出FCBFA

15、H,EDGAHG,进而利用相似三角形的性质求解即可. 解析(1)海岛算经.(2)由题意,得,AH HG,CB HG, AHF=90, CBF=90, AHF= CBF, AFB= CFB,CBFAHF, =,同理得= , BF=123,BD=1 000,DG=127, HF=HB+123,HG=HB+1 000+127=HB+1 127, = ,= ,BCAH BFHF DEHA DGHG3HA 123123HB 3HA 1271 127HB开放解答 解得HB=30 750,HA=753.答:AH为753丈,HB为30 750步.高分秘籍此题主要考查了相似三角形的应用,找到图中的相似三角形并利

16、用对应边成比例列出方程是解题关键. 当堂巩固3.如图,在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD,它们都与地面垂直,为了测得电线杆的高度,一个小组的同学进行了如下测量:某一时刻,在太阳光照射下,旗杆落在围墙上的影子EF的长为2米,落在地面上的影子BF的长为10米,而电线杆落在围墙上的影子GH的长为3米,落在地面上的影子DH的长为5米,依据这些数据,该小组的同学计算出了电线杆的高度.(1)该小组的同学在这里利用的是与平行投影相关的知识进行计算的;(2)试计算出电线杆的高度,并写出计算的过程. 解析(2)过点E作EM AB于M,过点G作GN CD于N.则MB=E

17、F=2,ND=GH=3,ME=BF=10,NG=DH=5.所以AM=10-2=8,由平行投影可知, =,即= ,解得CD=7,即电线杆的高度为7米. AMME CNNG 810 35CD 类型四 与三角函数有关的几何模型题型特点这类问题常与实际问题相结合,题干语言表述较长,既有实际图片,还有抽象出的几何图形.方法规律针对图片在几何图形中把条件一一对应,抽象出常见的直角三角形,从而找到解题的突破口. 解题策略典例4如图,山坡上有一棵树AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为6米,山坡的坡角为30.小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高,点C到测角仪EF的水平距离CF=1米,从E处测得树顶部A的仰角为4

18、5,树底部B的仰角为20,求树AB的高度.(参考数值:sin 200.34,cos 200.94,tan 200.36) 3 思路点拨首先在直角三角形BDC中求得DC的长,然后求得DF的长,进而求得GE的长,然后在直角三角形BGE中即可求得BG的长,从而求得树高. 解析底部B点到山脚C点的距离BC为6米,山坡的坡角为30,在RtBDC中DC=BCcos 30=6 =9(米), CF=1米, DF=9+1=10(米), GE=10米, AEG=45,AGE为等腰直角三角形. AG=EG=10米,在直角三角形BGE中,BG=GEtan 20100.36=3.6(米), AB=AG-BG=10-3.

19、6=6.4(米).答:树高约为6.4米. 33 32开放解答 高分秘籍本题考查了解直角三角形的应用,构造直角三角形时尽量把已知的边和角构造为直角三角形的边和角,并结合图形利用三角函数解直角三角形. 当堂巩固4.如图,某翼装飞行员从离水平地面高AC=500 m的A处出发,沿着俯角为15的方向,直线滑行1 600 m到达D点,然后打开降落伞以75的俯角降落到地面上的B点.求他飞行的水平距离BC.(结果精确到1 m) 解析如图,过点D作DE AC于点E,过点D作DF BC于点F,由题意,可得 ADE=15, BDF=15,AD=1 600 m,AC=500 m. cos ADE=cos 15=0.9

20、7, 0.97,解得DE1 552 m,又sin 15=0.26,即0.26,解得AE416 m,DEAD1 600DE AEAD 1 600AE DF=EC=AC-AE=500-416=84(m), tan BDF=tan 15=0.27, 0.27,解得BF22.68 m, BC=CF+BF=ED+BF=1 552+22.68=1 574.681 575(m).答:飞行员飞行的水平距离约为1 575 m.BFDF84BF 类型五 概率与统计模型题型特点概率与统计模型在山西中考题中常常出现,它主要是培养学生利用所学知识对生活中的实际问题进行解答的能力,同时常涉及如何构成三角形、怎样形成轴对称

21、图形等.山西省近几年经常考查这方面的知识,可以预测该内容仍为中考重要内容.方法规律概率与统计和生活息息相关,因此试题接近生活.概率部分现阶段学习的都是等可能事件的概率,首先要理解概率计算公式,其次结合相关知识,如当两较 小边之和大于第三边时可以构成三角形、如果沿着某一条直线折叠两部分图形可以完全重合则是轴对称图形等,认真审题,提炼有用信息,根据概率的相关知识进行解答;统计主要是从生活情境中学会分析、整理和描述数据,分析数据主要是分析一组数据的统计量,各个统计量对于描述一种数据的侧重点不同,辨析清晰,正确选择. 典例5(2018四川绵阳)现有长分别为1,2,3,4,5的木条各一根,从这5根木条中

22、任取3根,能够构成三角形的概率是.思路点拨首先要分析选择三个数据为一组的结果有多少种,再根据三角形三边之间的关系从中找出能组成三角形的结果,进而利用概率公式进行求解.310解题策略 高分秘籍本题主要考查列表法与画树状图法,列表法(画树状图法)求概率的关键在于列举出所有可能的结果,但当一个事件涉及三个或更多元素时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用画树状图法. 当堂巩固5.(2018贵州遵义)某超市在端午节期间开展优惠活动,凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠,本次活动共有两种方式,方式一:转动转盘甲,指针指向A区域时,所购买物品享受9折优惠,指针指向其他区域无优惠;方式二:同时转动转盘甲和转盘乙,若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同,所购买物品享受8折优惠,其他情况无优惠.在每个转盘中,指针指向每个区域的可能性相同(若指针指向分界线,则重新转动转盘).(1)若顾客选择方式一,则享受9折优惠的概率为;14 (2)若顾客选择方式二,请用画树状图法或列表法列出所有可能,并求顾客享受8折优惠的概率. 解析(2)画树状图如下:由树状图可知共有12种等可能结果,两个指针指向同一个字母的只有两种:(A,A)、(B,B). P(顾客享受8折优惠)=. 212 16