中考复习专题：隐圆

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1、中考复习专题：隐型圆一、根据圆的定义作辅助圆例1 如图，四边形ABCD中，ABCD，ABACADp，BCq，求BD的长例2、如图，正方形ABCD的边长为2， 将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线长为_变式1: 在矩形ABCD中，已知AB=2cm，BC=3cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为_变式2：如图，在矩形A

2、BCD中，AB=2，AD=3，点E,F分别为AD,DC边上的点，且EF=2，G为 EF的中点，P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为_变式3：在平面直角坐标系中，点A的为坐标为（3，0），B为Y轴正半轴上的点，C是第一象限内的点，且AC=2，设tanBOC=m，则m的取值范围为_变式4：如图，在矩形ABCD中，AB4，AD6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将EBF沿EF所在直线折叠得到EBF，连接BD，则BD的小值是_式5：在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的

3、最小值是_变式6：如图，在ABC中，ACB=90，AB=5，BC=3,是AB边上的动点（不与点B重合），将BCP沿CP所在的直线翻折，得到BCP，连接BA，则BA长度的最小值是_变式7：如图，在平行四边形ABCD中，BCD=30，BC=4，CD=33,M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC，则AC长度的最小值是_练习：如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将ADM沿直线AM对折，得到ANM（1）当AN平分MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值2.

4、共端点两条线段为定长在ABC中，AC=4,AB=5,则ABC面积的最大值为_变式1：已知在四边形ABCD中，AD+DB+BC=16，则四边形ABCD面积的最大值为_ .变式2：在ABC中，AB=3，AC=3 当B最大，BC的长是_.3.共端点三条线段为定长引列 如图，已知AB=AC=AD, CBD=2BDC，BAC=44，则CAD的度数为_. 引列图 变式1图变式1：如图，在四边形ABCD中，DCAB，BC=1，AB=AC=AD=2，则BD=_. 变式2图 变式3图 变式2：如图，在等腰ABC中，AC=BC，C=70，点P在ABC的外部，且与点C均在AB的同侧.如果PC=BC，那么APC=_

5、.变式3：如图，在OAB中，OA=OB，AOB=15.在OCD中，OC=OD, COD=45，且点C在OA边上.连接CB，将线段OB绕着点O逆时针旋转一定角度得到线段OE，使得DE=OE,则BOC的度数为_.知识架构如图，点A(2,0),B(6,0),CBx轴于点AC，在y轴正半轴 求作点P,使APB=ACB.(尺规作图，保留作图痕迹) 归纳：当某条边与该边所对的角是定值时，该角的定点的轨迹是圆弧方法：见直角 找斜边（定长） 想直径 定外心 现“圆”形。引例 已知A,B两点在直线L的异侧，在L上求作点P，使PAB为直角三角形，（尺规作图，保留痕迹）变式1：如图，在等腰RtABC中，ACB=90

6、，AC=BC=4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CHBD于点H，连接AH，则AH的最小值为_.变式2：如图，在正方形ABCD中，AB=2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E，F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF,BE相交于点P，则线段DP的最小值为_.变式3：直线y=x+4分别与x轴，y轴相交于M，N,边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于P.若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0,2）长度的最小值是_.方法三：见定角找对边（定长）想周角转心角现“圆”形.问题提出 ：如图，已知线段AB，试在

7、平面内找到符合所有条件的点C，ACB=30（利用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法） 自主探索1：在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（-1.0），C是y轴上一动点.当BCA=45时，点C的坐标为_ . 自主探索1图 自主探索2图自主探索2：在平面直角坐标系中，已知点A（3,0），B（-1,0），C是y轴上一动点.当BCA=60时，点C的坐标为_. 自主探索3图 自主探索4图 自主探索3：在平面直角坐标系中，已知点A（3,0），B（-1,0），C是y轴上一动点.当BCA=120时，点C的坐标为_.自主探索4：在平面直角坐标系中，已知点A（3,0），B（-1,0），C是y轴上一动点.当

8、BCA=135时，点C的坐标为_.变式1：如图，B是线段AC的终点，过点C的直线l于AC成60角，在直线l上取一点P，使APB=30，则满足条件的点P的个数是_. 变式1图变式2：如图，在边长为23的等边ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE=CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为_. 变式3：如图，点A与点B的坐标分别是A（1,0），B（5,0），P是该平面直角坐标系内的一个动点.（1）使APB=30的点P有_个（2）若点P在y轴上，且APB=30，求满足条件的点P的坐标（3）当点P在y轴上移动时，APB是否存在最大值？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.变

9、式4:（1）请利用以上操作所获得的经验，在图的矩形ABCD内部用直尺于圆规作出一点P,使点P满足：BPC=BEC，且PB=PC。（要求:用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹） 图 图（2）如图，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B，坐标为（2，m），过点B作ABy轴，BCx轴，垂足分别为A，C若点P在线段AB上滑动（点P可以与A,B重合），发现使得OPC=45的位置有两个，则m的取值范围为_. 变式5：如图，已知抛物线y=ax+bx+c（a0）与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），连接AC，BC。（1）求抛物线的解析式；（2）若BC的垂直平分线交抛物线于D，E两点，

10、求直线DE的解析式；（3）若点P在抛物线的对称轴上，且CPB=CAB，求出所有满足条件的点P的坐标。二、结论类似于圆幂定理的形式时作辅助圆例 如图，在ABC中，ABAC，D是边BC上的一点，且AD，求BDDC的值三、探究动点对定线段所张的角时作辅助圆例1 如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，B90，设ABa，DCb，ADc，当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使APPD？ 例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，给定y轴正半轴上的两点A (0，8)、B(0，2)，试在x轴正半轴上求一点C，使ACB取得最大值。 例3 已知RtABC中，AC5，BC12，ACB90，P是边AB上

11、的动点，Q是边BC上的动点，且CPQ90，求线段CQ的取值范围四、四点共圆判断四点共圆的常用方法有（1）对角互补的四边形的四个顶点共圆；（2）同底同侧顶角相等的两个三角形的四个顶点共圆判断四点共圆后，就可以借助过这四点的辅助圆解题例1 如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交ABC的外角平分线于点F，求证：FEDE例2 如图等边PQR内接于正方形ABCD，其中点P、Q、R分别在边AD、AB、DC上，M是QR的中点，求证：不论等边PQR怎样运动，点M为不动点例3 如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989，P为正方形内的一点，且OPB45，PAPB514，求PB的长练习

12、1.在直角坐标系中，过A（-1,0）和B（3,0）的M上有点P.（1）若cosAPB= (APB是锐角)，求M的半径；（2）在y轴上，是否存在一点D，使得ADB=45？若存在，求出点D的坐标.2.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点（1）求直线及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标.3. 已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0）B（4,0）、，抛物线过点A、B顶点为C，点P（m，n）n0为抛物线上一点.（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当为钝角时，求的取值范

13、围. 4. 如图，已知点A（1，0），B（0，3），C（-3，0），动点P（x，y）在线段AB上，CP交y轴于点D，设BD的长为t.（1）求t关于动点P的横坐标x的函数表达式；（2）若SBCD：SAOB=2：1，求点P的坐标，并判断线段CD与线段AB的数量及位置关系，说明理由；（3）在（2）的条件下，若M为x轴上的点，且BMD最大，请求出点M的坐标.5.如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该平面直角坐标系内的一个动点（1）若点C平面直角坐标系内的一个点，且ABC是等边三角形，则点C的坐标是 ；（2）若点P在y轴上，且APB=30，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时APB最大的理由；若没有，也请说明理由6.如图，直线y=x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PCy轴于点C，点A关于y轴的对称点为A；求ABC的周长和sinBAC的值；对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sinBMC=14