尺规作图法简介

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1、一、尺规作图 在中学就知道，几何作图所使用的工具是严格限制的，只准用圆规和直尺，直尺不能有刻度，不能使用量角器及其他任何工具其实，这种限制自古希腊就有而且沿用至今为什么要加以这样的限制呢？比如说，要找出一个线段的中点来，就不可以先用(有刻度的)尺去量，看它的长度是多少，然后取这个长的一半，再用这一半去量就找出中点来了何必一定要用无刻度的直尺和圆规去寻求呢？是自己跟自己过不去吗？古希腊认为，所有的几何图形是由直线段和圆弧构成的，圆是最完美的，他们确信仅靠直尺和圆规就可绘出图形来古希腊人十分讲究理性思维，讲究精确、严谨他们认为依据从少数假定出发的、经由逻辑把握的东西最可靠例如前面所说的寻求一已知线

2、段AB的中点问题，作图的步骤是：1以A为圆心，以一适当长度为半径画弧；2又以B为圆心，以同样的长度为半径画弧；3这两弧相交于两点，作两点连线，此连线与已知直线之交点即为所求之中点然后，要根据已知几何命题来证明这个点必是中点人们认为，这不仅是最可靠地找到了中点，而且体现了一种完美的思路和做法正多边形的尺规作图是大家感兴趣的正三边形很好做；正四边形稍难一点；正六边形也很好做；正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法确实，有的困难一些，有的容易一些正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢？人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易；一直未找到这种作法，

3、也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来？数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来这个悬案一直悬而未决两千余年 17世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如Fi22i1的数费马的一个著名猜想是，当 n3时，不定方程xnynzn没有正整数解现在他又猜测Fi都是素数，对于i0，1，2，3，4时，容易算出来相应的Fi：F03，F15，F217，F3=257，F4=65 537验证一下，这五个数的确是素数F5=2

4、25+1是否素数呢？仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了！F5是两素数之积：F56416 700 417当然，这一事例多少也说明：判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事，不然，何以需要等近百年？何以需要欧拉这样的人来解决问题？更奇怪的是，不仅F5不是素数，F6，F7也不是素数，F8，F9，F10，F11等还不是素数，甚至，对于F14也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道至今，人们还只知F0，F1，F2，F3，F4这样5个数是素数由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如22i

5、1的素数只有有限个但对此也未能加以证明当然，形如Fi=22i+1的素数被称为费马素数由于素数分解的艰难，不仅对形如Fi=22i+1的数的一般结论很难做出，而且具体分解某个Fi也不是一件简单的事更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现F5不是素数之后的60多年，一位德国数学家高斯，在他仅20岁左右之时发现，当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的，他发现了更一般的结论：正n边形可尺规作图的充分且必要的条件是n=2k或 2kp1p2ps，其中，p1，p2，ps是费马素数正7边形可否尺规作图呢？否！因为7是素数，但不是费马素数倒是正17边形可尺规作图，高斯最初的一项成就就是作出了正17边形根据高斯的理

6、论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形就这样，一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决，而这一问题解决的过程是如此的蹊跷，它竟与一个没有猜对的猜想相关连正17边形被用最简单的圆规和直尺作出来了，而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分，那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了17等分，其图形更觉完美、好看高斯本人对此也颇为欣赏，由此引导他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过)，而且在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正17边形图案高斯把问题是解决得如此彻底，以致有了高斯的定理，我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形，还进而知道了它们为什么能用尺规作图，就因为3和5都是

7、费马素数(3=F0，5F1)；对于很久以来未找到办法来作出的正七边形，乃至于正11边形、正 13边形，现在我们能有把握地说，它们不可能由尺规作图，因为7、11、13都不是费马素数；对于正257边形、正65 537边形，即使我们不知道具体如何作，可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的；此外，为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢？因为422，因为 6= 2 3而 3=F0从古希腊流传下来的几何作图还有三大难题，一个是化圆为方问题，即求作一正方形，使其面积等于已知圆的面积；二是倍立方体问题，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的体积；三是将一任意角三等分某些特殊角的三等分并不困难，例如将90的角

8、、135的角三等分并不难，但是任意角就不一样了例如，60的角，你试试看，能否将它三等分？现在已有了结论，告诉你不要再试了，否则是白费时间了可以取单位圆作代表，其面积即为那么，化圆为方的问题相当能吗？古希腊人对化圆为方的问题有极大兴趣，许多人进行研究这一研究推动了圆面积的近似计算，促进了极限思想的萌生，但是并没有解决化圆为方的问题另外两大难题虽也没解决，但也促进了对另一些数学问题的研究尺规作图的实质在于限制只使用两种工具的条件下通过有限步骤完成作图长度为任一有理数平方根的线段来当然还可通过有限步骤作出长度为一有理数平方根的平方根的线段来我们把凡能用尺规经有限次步骤作出的线段或量叫做“可作几何量”

9、可以证明，“可作几何量”就是那些有理数经有限次+、和开方这类运算得到的量否则叫“不可作几何量”化圆为方的问题直至19世纪才得到答案：它是不可能的因为可作几何量”这一悬而未决、延宕两千多年的古老问题，最终得以解决属“不可作几何量”，所以，倍立方体问题的答案也明确了：不可能！再以60角为例来分析任意角的三等分问题为把60三等分，必然要用尺规作出量cos 20或sin 20以下三角恒等式是我们熟知的：cos 3x4cos3x3cos x，将x20代入，得将cos 20换写为y，即是三次代数方程：这个三次方程的一个正实根当为其所需之解，然而，它必会有有理数的立方根表示因而ycos 20也是一个“不可作

10、几何量”故三等分问题亦属不可能难怪古希腊人对这三个问题久久未找到答案，难怪这是真正的难题不是古希腊人不智，确实是当时的数学水平还难以使他们得出三大几何作图难题均以“不可能”为结局的结论来二、解析几何与微积分数学以两千多年的历史伴随人类文明从公元前到公元16世纪，几何与代数各自平行发展着，几何则以更大的魅力影响着人类文明但几何似乎仅是关于形的科学而与数无关；代数则似乎与形无关而仅是关于数的科学代数与几何难以被联系起来的原因是，人们心目中的数是一个个孤立的定数，因而难以从数想到由无穷多个点连成的线条等图形；而对于形，例如，线段和封闭图形，它们与数的联系似乎仅有由数刻画的长度和面积，因而难以从图形想

11、到数的其他表现能力把数与形密切联系起来的关键是变量概念的形成；另一个同等重要的问题是把图形如线条视为是由动点形成的只有变动的数与变动的点联系起来，才使数与形的密切关系被深刻地揭示出来了这里，决定性的工具是坐标，有了坐标，数就是点，点就是数，变动的点就是变动的数，变动的数就是变动的点，于是变数与图形结合在一块了真正的困难还在于，任何一个具体的图形都不带有一个坐标在身上，亦即，人们在现实生活中是不能直接看到坐标的当然，稍稍想一想，生活中也有根本感受不到的坐标存在着例如，在我们说东、南、西、北的时候，一般是确定的站在某一点来说，比如说“北京在东面”，这对站在兰州的人来讲是对的，对站在济南的人来讲是不

12、对的同样，站在郑州应当说“武汉在南面”，而站在广州，则只能说“武汉在北面”这实际上就是有了坐标原点的概念，有了坐标的思想可是，问题还没有那样简单，还需要有运动的观念，还需要有更精确的描述，才能借以刻画几何图形，才能实现数与形的有效融合数与形的充分结合才产生解析几何解析几何的主要创始人笛卡儿的有关工作也经历了一个发展过程，所以解析几何并不是瞬间的、偶然出现的产物让我们看一个实例首先，我们回顾一下已知两线段而由尺规作出比例中项的办法，如果两线段一样长，那它们本身就是比例中项如果不一样，那么，可在较长的线段AC上取一点B，使AB等于较短线段的长再以AC为直径画圆，然后过B作AC的垂线交圆于D，连接A

13、D，AD即为所求之比例中项在右图中，我们按以上方式作出了AB与AC的比例中项，即接着，我们容易作出E、F、G、H、使得如果设AB1，ADx，上式就变成了从线段看，AD=x时AF=x3，AFADDF，若记DF=a，我们得到x3=x+a反过来看，a作为已知数，容易作出一长度为a的线段DF，根据由以上分析所得之启示可作出AD，那么，AD实际上便是三次方程式x3=xa的根这就是笛卡儿在正式形成其明确的解析几何思想之前的一例，把代数方程与几何结合起来的一例他还曾利用几何方法探寻四次代数方程求根的方法这是把几何与代数问题结合的一个方面另一方面，笛卡儿对几何问题又运用了代数方法，例如，研究几何轨迹的问题解析

14、几何的精华在于把几何曲线用代数方程来表达，同时又利用代数的研究方法来研究几何从进一步的分析还可发现，这种方法其所以十分强有力，是因为形与数的联系比人们想象的要紧密得多，许多复杂的几何现象是通过解析的方法发现的，许多复杂的几何问题是通过解析方法解决的这不仅是一个手段问题，也是对世界本质的看法问题所以，笛卡儿的解析几何具有深远的意义我们从所熟知的内容来看看解析几何的意义例如，我们知道椭圆、双曲线、抛物线的标准方程是：y22px我们并不需要画出图形来而只要一看式子就知道它是个什么样子所谓标准方程，是从代数表达形式来看的，而从几何上看，则是其图形摆得方方正正，例如，标准椭圆方程实际上是其圆心摆在原点，

15、其长短半轴分别与平面的两条坐标轴重合但是，实际的情况并不总是以标准的形式呈现在我们面前的直线也有其标准形式，但一般形式是axbyc0；二次曲线的一般方程式是ax22bxycy2dxeyf0然后，我们可以通过解析的方法、代数的方法把它们化为标准形式，例如，对二次方程，我们可以通过以下的变换来做这件事情：通过这样的变换，就可以把一般方程化为标准方程这一过程，这种工作，从表面看来似与几何毫无关系，我们只是在做着代数的工作通过上面的变换，原来的方程就变为一个新的形式了，现在把它们并列写下来： ax22bxycy2dx+eyf0 ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0这成了两个不同的式子，却有3个

16、相等的式子：a+c=a+c，换句话说，在前述变换之下，有两个东西不变(对此，我们前面曾提到过)至此，我们对一般二次代数方程所作的叙述全是代数的，对方程进行代数变换(两种线性变换)，以及这种变换之下的不变量接下去我们还可以说明，一般二次方程能在变换之下化为标准方程下面将用全套的几何语言来叙述与以上相关的全套代数涵义，或说明全套代数语言的几何涵义：在给出了一般二次曲线之后，我们总可以通过平移和旋转，把它摆在标准位置上以椭圆为例，即把它的圆心移到原点来，把它的长短轴移至坐标轴上来，而二次曲线的原形是不变的可见，用几何的语言来说，也是很简单的那么，代数的讨论有什么实际的意义呢？在一般地给出了一个二次代

17、数方程后，你很难看出它会是怎样一条曲线，如果一点一点地描绘也不是件简单的事然而，代数的讨论告诉我们有几个不变式在那里，我们甚至不必最终化成标准表达式，就能由几个不变式看出曲线的类型和性质这是重要的定性分析此外，这种分析也使我们能把所有的二次曲线准确无误地详尽无遗地予以归类了从哲学上说，笛卡儿的解析几何可说是他理性主义的产物上面以二次曲线为例，表明代数方法与几何问题的结合，产生了最充分的理论说明笛卡儿们认为世界是十分有秩序有条理的，是可以用方程来表达的奇异就出在这种有序的世界和有序的运动里面在解析几何出现后不久，微积分被发现了微积分与解析几何不仅是伟大的数学发现，而且为近代科学开辟了道路；它们不

18、仅是17世纪的伟大发现，而且在人类文明史上写下了极其灿烂的一页；它们不仅为近代科学开辟了道路，而且它们本身就是划时代的成果在微积分产生之前，人们已比较普遍地接触这样几类问题：物理方面，求速度、求距离的问题；几何方面，求切线、求长度、求面积、求体积、求物体重心的问题；在各种实际问题中，求极大、极小的问题等因此，在微积分正式诞生之前，关于极限的思想，关于微分的思想，关于积分的思想，已经零星可见关于极限的思想在我国古代早已出现求速度，求切线，这就会接近微分；求距离，求长度和面积、体积，这就会接近积分古代中国的祖暅原理与近代西方的卡瓦列里原理说的是同一原理，前者先于后者约1100年左右这一原理当为一般

19、大学生所熟悉：当两立体介入两平行平面之间，又为平行于这两平面的任何一平行平面所截得之截面面积相等时，那么两立体之体积相等用符号来表达，用同一平面截得两立体之截面面积分别表示为f(x)dx和g(x)dx，原理说的是：当对于所有的x有f(x)dx=g(x)dx时，便有：作为一个著名例子，我们看看半球体积的计算这一计算，现在看来似乎是轻而易举的，但在没有微积分之前是十分困难的所以下面的计算方式在当时是很有意义的，它利用了祖暅卡瓦列里原理设半球的半径为r以半球的大圆为底面，球顶朝上作一平面与底面平行并与底面之距离为h这个平面截半球所得之截面为一圆，该(r2h2)再看看一个截面半径为r的圆柱，其高度也为

20、r其下底与上面所说的半球底面摆在一个平面现在将以此圆柱的上底为底、以下底圆的圆心为顶点作一圆锥这一圆锥完全含于圆柱，现在把这一圆锥挖去，并考虑被挖去一圆锥的圆柱所形成的立体当用一平行于底面的平面去截它时，其截面为一圆环，设这一平行于底面的平面距底面h，那么，这一圆环的面积也等于r2h2=(r2h2)可见，这一立体与半球被任何同一平行平面所截之截面面积相等根据祖暅原理，半球体积应与被挖去一圆锥的圆柱体积相等而被挖去一圆锥的圆柱体积是：尽管在牛顿和莱布尼茨之前，人们从不同的角度接触到了微分和积分，但是对于微分与积分的关系并没有真正弄清楚而真正的困难亦在此很容易明白，加法与减法是互逆的运算，也不难明

21、白，乘法与除法是互逆的运算开方作为乘方的逆运算，在技术上更困难了；作为指数运算逆运算的对数运算的产生并不容易逆运算常常带来一些新问题，程序性问题，多值性问题对于微分与积分之间的联系，认识上更有特殊的困难，这样两个似乎十分不同的两种运算竟然是互逆的，这正是使人惊讶不已的地方，也是使人感到其发现之特别不易的地方以具体问题来说，求一曲线所围成图形的面积运算怎么会与求这一曲线的切线的运算是互逆的运算呢？微积分的创立正是以发现微分与积分的互逆关系为标志的如今我们所说的牛顿莱布尼茨定理即微积分基本定理，讲的就是两者关系微积分基本定理可主要以微分的形式出现，亦可主要以积分的形式出现我们分别叙述如下：微分形式

22、 (x)在a，b上可微，且积分形式可微，且发现f(x)的积分的微分正是它自己(在一定条件下即可保证)只有在这一发现得到之后，才能说微积分产生了，因为这一定理奠定了微积分的理论基础牛顿的发现在莱布尼茨之前，但发表的时间在莱布尼茨之后，他们两人又确系各自独立的发现，而且背景也有所不同因此，虽然后来也曾出现过关于发现的优先权的争议，最终的看法却达成一致：牛顿和莱布尼茨共同创立了微积分的基本定理微积分的伟大意义可以从4个方面去看 1对数学自身的作用自从有了解析几何和微积分，就开辟了变量数学的时代，因而数学开始描述变化，描述运动微积分改变了整个数学世界的面貌牛顿、莱布尼茨17世纪创立的微积分还存在着明显

23、的逻辑缺陷，但是这种缺陷并未抑制它旺盛的生命力18世纪的数学家们在微积分提供的思维和工具的基础上阔步前进，迅速创立了许多数学分支，诸如微分方程，无穷级数，变分法等在进入19世纪之后，还有诸多与微积分直接相关的数学分支产生，原有的一些数学分支也开始利用微积分的方法，前者包括复变函数，微分几何等，后者包括数论，概率论等可以说，在有了微积分之后的两、三百年期间，数学获得了极大的发展，获得了空前的繁荣微积分的严密逻辑基础也在19世纪完善地建立起来微积分基本定理的表现形式在多维空间和一般拓扑空间中也获得了拓广，在更广阔的领域中延伸，进一步显示了它在数学领域里的普遍意义 2对其他自然科学和工程技术的作用有

24、了微积分，整个力学、物理学都得以它为工具来加以改造，微积分成了物理学的基本语言，而且，许多物理学问题要依靠微积分来寻求解答“数理不分家”，这句话在有了微积分之后就具有了真实的意义，离开了微积分不可能有现代物理，无论是力学、电学还是光学、热学微积分的创立得到了天文学的启示，此后，天文学再也离不开微积分 19世纪上半叶可能还认为化学只需要简单的代数知识，而生物学基本上与数学没有联系现在，化学、生物学、地理学等都必须深入地同微积分打交道 3对人类物质文明的影响工程技术是最直接影响人类物质生活的，然而工程技术的基础即数理科学，也可以说，现代工程技术少不了微积分的支撑从机械到材料力学，从大坝到电站的建设

25、，都要利用微积分的思想和方法如果说在落后的生产方式之下，只需要少量的几何、三角知识就可以工作的话，如今，任何一个未学过微积分的人都不可能从事科学技术工作在有了微积分和万有引力原理之后，人们就预见了人造卫星及宇宙飞行的可能，并且早已利用微积分计算出了宇宙速度今日满天飞行的人造卫星早在微积分产生之初就已在学者们的预料之中在今天人类广泛的经济活动、金融活动中，微积分也成了必不可少的工具微积分诞生之初的主要背景是物理学和几何学，而今，它几乎为一切领域所运用它对人类物质生活的影响是越来越大 4对人类文化的影响只要研究变化规律就要用上微积分，在人文、社会科学领域亦如此，因而微积分也渗透于人文、社会科学，用

26、它来描述和研究规律性的东西哲学尤其关注微积分，那是因为微积分给了哲学许多的启示，它不仅影响到哲学方法，也影响到世界观辩证唯物主义更关注微积分马克思十分关心数学，何止是关心，他对数学还曾有过广泛而深入的研究，特别对微积分有专门的研究马克思在1863年7月6日致恩格斯的信中说：“有空时我研究微积分顺便说说，我有许多关于这方面的书籍，如果您愿意研究，我准备寄给您一本”1865年5月20日，马克思又在给恩格斯的一封信中说到：“在工作之余西，任何其他读物总是把我赶回写字台来”马克思不只研究牛顿、莱布尼茨，而且研究了牛顿、莱布尼茨之后一个多世纪内的一批著名数学家，如达朗贝尔，欧拉，拉格朗日等人 1882年

27、11月22日，马克思在致恩格斯的一封信中还说到：“我未尝不可用同样的态度去对待所谓微分方法的全部发展这种方法始于牛顿和莱布尼茨的神秘方法，继之以达朗贝尔和欧拉的唯理论的方法，终于拉格朗日的严格的代数方法(但始终是从牛顿莱布尼茨的原始的基本原理出发的)，我未尝不可以用这样的话去对待分析的这一整个发展过程，说它在利用几何方法于微分学方面，也就是使之几何形象化方面，实际上并未引起任何实质性的改变”马克思那个时代写到了“终于拉格朗日”表明马克思已站在前沿，他可能还未看到柯西、魏尔斯特拉斯的分析方法、极限方法，但也是从“牛顿莱布尼茨”那里出发的从1863年的信到1882年的信，从信中表现出来的对微积分越

28、来越深入的分析，可以看出，马克思是多么认真、多么深入又在多么漫长的时间里关注和研究着微积分！我们可以想一想，马克思作为一位哲学家、思想家、经济学家、政治家为何如此深切地关心和深入地研究数学尤其是微积分？再看看恩格斯本人恩格斯在自然辩证法中有一段许多人熟悉的话：“数学中的转折点是笛卡儿的变数有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分学和积分学也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的”当然，应当说大体上是由他们发现的，另一位可以说接近这一发现的是牛顿的老师巴罗恩格斯还在反杜林论这部著作中说到：“因为辩证法突破了形式逻

29、辑的狭隘界限，所以它包含着更广的世界观的萌芽在数学中也存在着同样的关系初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样，而变数的数学其中最重要的部分是微积分本质上不外是辩证法在数学方面的运用”事实上，恩格斯不只是注意深入研究微积分，研究数学，他还令人敬佩地广泛地研究了他所处时代的数十个自然科学领域的最新成果也许，恩格斯是一个杰出的榜样，是从社会文化的角度深刻分析过自然科学的榜样顺便说说，列宁对于数学，尤其是物理学，也有过浓厚的兴趣似乎在马克思、恩格斯、列宁之后的马克思主义者很少有这种兴趣，更少有这样深刻的见解这是不是一种遗憾呢？也许，不一定每位马克思主义者都需要有如此广博

30、而深刻的自然科学见解，也许学识与智慧及其表现形式也不一样然而，有一点似乎应当是共同的，任何一位真正的马克思主义者必然是对自然科学的各种进步寄予深切关注和满腔热情的支持，并且特别关注它们对社会进步的巨大影响邓小平具有这样的品质，邓小平亦可算这一方面的典范，虽然他没有可能熟悉现代意义下的微积分，但他把社会文化与自然文化也联系在一起三、非欧几何直到现在，知道非欧几何的大学生还少得可怜，甚至大学数学专业本科毕业了，学习了大约15年以上的数学，不少人还是不知道非欧几何这一事实，让人在赞美非欧几何之时多少有些遗憾为了使我们的叙述更实在些，不能不以尽可能简洁的方式介绍一下有关背景欧几里得几何在公元前300年

31、就产生了，现在简称欧氏几何中学生所学的几何基本上是欧氏几何，这种几何已流传两千多年，至今每个学生仍然学习它，多多少少要学习；它的影响遍及世界各国欧氏几何的主要特征是首开公理方法，不仅是在数学领域，而且是在整个科学领域开创了公理方法公理方法的基本要点是，从少数几个概念(原始概念)和少数几个命题(原始命题，又称公理)出发；演绎出本学科其他所有概念和命题，从而构成这一学科的全貌运用这种方法的学科因而自然地被认为具有最严密的演绎体系，做到了这一点的学科就被认为是严谨的科学，也被认为是十分成熟的学科门类所以，几何被认为是最早成熟的自然科学分支由于几何在数学领域长期作为主要的代表，几何的成熟使得人们普遍认

32、为数学是最为严密的，数学因此而受到特别的尊敬其他的学科分支也学习欧几里得牛顿的力学就学习了欧氏方法，牛顿把他的全部力学就建立在万有引力和三大定律基础上爱因斯坦把相对论只建立在两条公理上甚至有一位伦理学家企图把他的伦理学也建立在公理基础上哲学家思考自己的逻辑起点，教育理论工作者也思考自己的教育科学的逻辑起点所谓逻辑起点，即本学科赖以建立的原始概念和原始命题寻求这些东西是公理方法的基本要求由此足见，欧氏几何的思想和方法产生了极其广泛和深远的影响其实，原始命题即公理体系的寻求或建立是一件非常困难的事就拿欧氏几何建立之初来说，人们逐渐发现了它的一些缺陷例如，欧几里得公理系统出来之后不久，阿基米德就看出

33、了它缺少严格表述有关长度、面积和体积的测量理论，于是补充了度量公理或阿基米德公理；又如，帕须看出欧氏系统还缺少顺序公理，于是也补充了相关的公理被认为最简洁、最接近欧几里得原有工作也最受人认可和欢迎的是希尔伯特的工作1899年出版的几何基础(希尔伯特著)是继欧几里得的几何原本之后最完备的公理系统然而，这已距欧几里得约2 200年，亦即，在漫长的过程中日益完备以上所说的是欧氏几何的完备性问题在这一问题上，虽然人们发现欧几里得当初的体系也有这样那样不够完备(或不自足)的地方，却也认为欧几里得的工作已经相当不易，已经相当出色；而且，后来的工作也只不过是对其理论进行补充补充而已，并未发现其他严重性质的毛

34、病所以，欧氏几何备受推崇和尊重不过，对于欧氏几何的另一个问题，始终令人放心不下，始终缠绕在人们心头那就是这一体系中诸公理的第五公理即“平行公理”的独立性问题：这一公理是不是可以由其他公理推证出来的呢？公理是无需论证的，“平行公理”是不是不证自明而无需论证的呢？简单地说，比较完善的欧氏公理系统包含五条(组)公理，即联系公理，顺序公理，迭合公理，连续公理和平行公理引起问题的正是平行公理欧几里得本人在利用这些公理而展开几何论述时就尽可能避免使用平行公理，这也是引起人们怀疑的原因之一围绕着平行公理独立性问题的研究大约涉及三类问题：1试图通过另外给出平行线的定义以避开这个困难的研究；2试图用比欧几里得平

35、行公理缺点更少的其他公理来替代它；3试图用平行公理以外的公理来证明它对第三类问题研究的人最多，影响也最大欧氏几何的平行公理独立性问题，为什么引起这么普遍而深切的关注？前面说了某种直接的理由，似乎原当事人就有疑惑，但是又为何在长达2000多年历史上竟不断地有人研究它呢？如果从功利的角度看，似乎更不好理解，研究这个问题有何利益呢？却有人为此问题之研究而终身奋斗确实还曾有一位匈牙利年轻人在决心研究这个问题的时候，他的父亲忠告他，这是一个可以吞掉几个牛顿式人物而毫无前途的问题，但他却“偏向虎山行”我们又怎样解释这种现象呢？另有一位俄罗斯人，在研究这个问题时竟得出了许多常人难以理解的结论，并为此而遭到许

36、多人的非议和讥讽，包括许多著名人物的嘲讽，可是他无怨无悔对这种现象我们又将如何解释呢？欧氏几何的出现决不仅仅是影响到人们的自然观，而且影响到人类的思维方式，影响到世界观，影响到人类文化哲学家们甚至说，我们就生活在这样一个绝对空间之中如此神圣世界中的疑问，当然引起更多的关注，那几乎是在关心人类自身总之，恰好在一般文化的意义上能够更好地理解这种关注，这种奋斗精神以及这样的一往情深在2000多年的时间里，大致的情况是：当人们试图用其他公理来取代平行公理的时候，或者后来发现它包含了平行公理，或发现它与平行公理等价对于第三类问题则常常是在假设平行公理不成立的时候，力图导出一个矛盾来，这样就等于用反证法、

37、由其他公理和已知事实证明了平行公理然而，事后都发现这些证明总存在这样那样的错误以上的路子走久了，思维也具有了惯性，乃至失败一次接着一次，却继续努力在假设平行公理不成立的时候，自然是作出与“过已知直线外一点，可作一条也只可作一条直线与已知直线平行”相悖的假定来，例如假设“过已知直线外一点，可作多于一条的直线平行于已知直线”然后，人们总是在这一假定下寻求矛盾，而事实上总未真正找出矛盾来19世纪初，俄罗斯人罗巴切夫斯基与众不同，他在否定欧氏平行公理的条件下，并不企图导出矛盾来，而是在这一新的条件或假设下推导出来了一系列定理，并且他认为这就构成了一种新的几何学这可说是在2000多年的思维过程中形成的惯

38、性下出现的一次重大突破当罗巴切夫斯基1826年2月11日宣布自己建立了新的几何学之后，像许多初生的、不被常人所理解的数学出现的时候一样，罗巴切夫斯基的遭遇也很不好包括德国著名诗人歌德也出来讽刺他当罗巴切夫斯基的几何学被认为是科学，被认为是开辟了一片几何学的新天地的时候，罗巴切夫斯基离开人世已几十年了但后人是公正的，都把1826年2月11日视为非欧几何诞生日罗巴切夫斯基是在联系公理、迭合公理、顺序公理、连续公理再加罗氏平行公理(过已知直线外一点可作多条平行直线)组成的公理系统下建立几何学的1854年，一位德国人黎曼则又在前四条公理相同而又再取了一条新的平行公理(过已知直线外一点无与其平行之直线)

39、组成的公理下建立了又一新的几何学黎曼几何学，非欧几何的另一翼这样，几何学又有了一个明晰的划分由联系公理、迭合公理、顺序公理和连续公理构成的几何称为绝对几何；加入了欧氏平行公理之后的几何便称为欧氏几何；加入了罗氏平行公理的，称为罗氏几何；加入了黎曼平行公理者，称为黎曼几何，后两种皆为非欧几何非欧几何产生之初的种种非议消失在后来出现的两大事件之后：一、人们在欧氏几何之中找到了非欧几何的具体模型；二、非欧几何后来成了相对论的主要数学工具，在一定的意义下讲，是数学预见了相对论从此，非欧几何被掩盖了的光芒闪射出来，数学的天空一片灿烂辉煌罗巴切夫斯基于19世纪20年代提出了非欧几何，到19世纪下半叶才陆续

40、发现了非欧模型模型有许多种类，有德国数学家克莱因，有意大利数学家贝尔特拉米，有法国数学家庞加莱等分别提出的非欧模型庞加莱的非欧模型，初看起来十分简单这个模型指的是一个圆的好理解，其实，我们讨论欧氏平面几何时，虽然理论上可以到无穷远处去，却事实上直观到的总在有限的部分此外，研究球面几何，也仅在一个球面上展开关键的问题还在于所涉及的几何变换是什么在欧氏几何中，只涉及平行变换、旋转变换，由它们构成变换群非欧几何(以罗氏几何为背景)中的变换是由下面的一个把单位圆的内部变为单位圆的内部的线性变换并用复变数所表达的式子：初等数学的知识即可告诉我们，上述变换系由平移变换w=zz0，旋转成默比乌斯变换这也构成

41、一个变换群，这个变换群下的不变性(诸如保圆性、保角性)是我们关注的焦点有了由一个圆代表的非欧平面和非欧变换，那么，以此可建立非欧点、非欧直线、非欧角、非欧距离、非欧圆、非欧三角形等非欧概念，并建立相关的非欧命题非欧点即那个单位圆内的任何一个内点，非欧直线即那个单位圆内任何一个与正交的圆弧我们需要这样来理解：单位圆|z|1即整个非欧平面，那么圆周：|z|=1已在平面外，或者这样来设想上的点已都是无穷远点那么，当圆内的一圆弧与交于点A和B时，A和B便是这一弧的两无穷远点，因而弧具有一般直线的性质：它从两端伸向了无穷远处因此，可以十分合理地称AB为一直线(准确地说乃非欧直线)现在，过直线AB外一点作

42、一直线(注意：在欧氏平面上看仍只是一弧)与AB平行(或相交于无穷远点)是轻而易举的事，并且可以作无穷多条这样的直线简单的欧氏几何知识就可以告诉我们这一点，而罗氏平行公理在这一非欧平面上也成为容易理解的事实与欧氏平面上的直线是“直”的不同，一般来说，非欧平面上的直线是“弯”的，例外的情形是的直径，这直径与正交，所以它本身是非欧直线，它并不“弯” “过两点A与B可且只可有一直线”这是一个非欧命题这个非欧命题可以通过欧氏几何知识来证明，因为所要证明的是“过圆内两点可作且只可作一圆弧与正交”非欧角也容易定义了：那就是“两直线的夹角”，但这是非欧的说法，用欧氏几何的观点则是这样来理解的：若与正交的两圆弧

43、交于点C，那么过点C的两弧之切线的交角即非欧角由于默比乌斯变换的特性，非欧角在此变换下保持不变(因为在此变换下，不仅圆弧变圆弧，而且其夹角不变)这是使得一切讨论都变得有意义的基础(不变的变才有意义)又通过交比定义非欧距离，这种距离也具有一般距离概念的那些性质有了非欧距离概念便立即可得到非欧圆的概念：即到一定点(非欧)距离相等的点的集合有了非欧线段和非欧角的概念，自然也容易定义非欧三角形借助于已有的知识，还容易证明(罗氏)非欧三角形三内角之和小于180还可证明不存在非欧矩形非欧几何产生之后的一个直接成果就是解决了欧氏几何公理(主要是指平行公理)的独立性问题为什么会获得这一重大成果的呢？事情是这样

44、的，非欧几何产生之后所面临的最大问题是它的相容性问题，亦即它的公理系统中是否包含着矛盾？不能因人们暂时还没有发现矛盾就断言其一定不含有矛盾人们几乎从未怀疑欧氏几何体系的相容性，却怀疑罗氏几何体系的相容性，这公平吗？很难说不公平，因为直观上给人的感觉确是不一样的，并不完全是偏见可是，自从人们在欧氏几何中找到了非欧模型之后，情况就不同了由于在欧氏几何中找到了这种模型，有关的非欧命题都是通过欧氏几何命题来加以证明的，因此，只要欧氏几何是相容的，那么非欧几何就是相容的这样，球就又抛到了欧氏几何那一方，看欧氏几何是否具有相容性反之，在非欧几何也可找到欧氏模型，因此反过来只要非欧几何是相容的，欧氏几何也相

45、容这叫相对相容性几何的这种相容性最终可转移到算术的相容性上去，只要算术公理系统是相容的，几何的相容性问题也解决了如何证明算术系统的相容性呢？这是一个特别困难的问题，他被列入1900年希尔伯特列出的著名的23个问题的第二个问题这一点是否需要去证明也是一个疑问现在，我们总可以这样讲，只要算术系统相容，那么，欧氏几何系统、非欧几何系统就都是相容的就在欧氏系统和非欧几何系统都相容的前提下，可以顺便地解决平行公理的独立性问题如此重大的问题，也可以如此简单地加以说明，我们不妨叙述一下用、分别代表联系公理、迭合公理、顺序公理、连续公理由、构成的几何即绝对几何再加进欧氏平行公理则构成欧氏几何公理系统S：、又记

46、非欧平行公理(如罗氏平行公理)为，这样，由、便构成非欧几何系统S现在我们证明以下的定理定理在S中独立，在S中独立证明注意，S与S都相容现设在S中不独立，这就是说，由、可推导出来 S中亦有、，故S中亦可由、推导出来，但S中已有，这表明S是不相容的这一矛盾表明，在S中不独立是不可能的同理，可证V在S中也是独立的回顾一下，人类在几何公理系统的两千多年的探讨中，可说是经历了一个颇为壮观的戏剧性变化大致地分一下阶段，可叙述如下： 1建立了欧氏公理系统并加以逐步完善； 2长期地探讨了平行公理的独立性问题； 3在独立性问题未果的过程中产生了新的几何，即前述之非欧几何； 4对非欧几何自然强烈地疑惑其相容性；

47、5然而非欧几何模型在欧氏几何中的实现，以及相反的情形也存在，发现了欧氏几何与非欧几何的相容性是相对的(即相对相容性成立)； 6在相对相容性成立的条件下，证明欧氏几何和非欧几何的相关平行公理都是独立的这里，新的几何学诞生了，对原来的欧氏几何的认识也更清晰、更深刻了非欧几何的诞生确是数学史上一大奇观它的特点是：推动它诞生的是一种纯理性思考，一种对严谨、对逻辑、对完美的追求尽管我们说几何产生之最初是与人类实际生活(测地，丈量等)紧密联系的，然而，欧几里得建立公理体系的工作已经超出了一般实际生活的需要，而后对欧几里得体系本身完美的思索就再看不到这种需要的影子至于非欧几何几十年后又在实际生活中(一般难以

48、把握的实际，距一般生活更远一点的实际)看到了它、用到了它，但这并非人们从事那种完美研究的初衷甚至可以说，它在实际生活中的显现正是那种追求完美的纯理性思维的巨大胜利总之，如果说欧几里得的工作就已经饱含着对几何完美的向往，那么，非欧几何的工作更是毫无疑义地显示了这一点用“全在于应用”的观点，用纯实用的观点，不可能准确地解释人类的数学活动惟有用文化的观点来看待数学及数学活动才是恰当的，就像看待伴随着人类文明的音乐、雕刻与绘画那样才是恰当的非欧几何的产生具有以下3方面的重大意义： 1解决了长期悬而未决的平行公理独立性问题，同时又极大地推动了关于一般公理体系的独立性、相容性、完备性问题的研究，促成了数学

49、基础这一更为深刻的数学分支的形成和发展，从而极大地推动了整个数学的发展和成熟 2非欧几何的产生证明了对公理方法本身的研究和讨论是极其有意义的，证明了公理方法本身能推动数学的发展因而，自从非欧几何产生并为越来越多的人所接受，在整个数学领域掀起了一个公理化运动，各数学分支纷纷建立自己的公理体系，被认为最不容易建立在公理体系之上的概率论也迟于20世纪30年代建立了公理一场颇为壮观的公理化运动又孕育了元数学的产生和发展 3非欧几何与相对论的汇合是科学史上的划时代事件人们都认为是爱因斯坦创立了相对论，但是，也许爱因斯坦更清楚，是他和一批数学家庞加莱、闵可夫斯基、希尔伯特等共同创立了相对论这不仅开辟了人类

50、更大的开发前景，也极大地拓宽了人类的空间视野不变的时间变化了，绝对的空间不绝对了，动钟延缓，动尺缩短，时空弯曲等现象都成为相对论和非欧几何的科学发现四、其他前面，我们介绍了三大奇观，微积分和非欧几何的诞生无疑是最壮观的，尺规作图问题及其解决还不能与它们并列此外，数学中的重大发现与突破亦可说是层出不穷下面，我们将历数若干重大发现： (一)群论的产生尺规作图问题就与群的理论有关还与一个代数方程求根的问题有关现在我们都知道一元二次方程有一个求根公式，在16世纪的时候，就解决了一元三次方程的一般求根公式，四次方程的根也能够通过对方程系数的有限次有理运算和开方运算得到问题就集中到：五次方根有否一般求根公

51、式？二次方程ax2+bx+c=0的求根公式是： x3pxq0的方程，而它的求根公式是四次方程则可用更复杂一点的变换化为低次方程，虽复杂一点，却仍属有求根公式的自16世纪之后一直到19世纪，人们一直在探求五次方程的求根公式却也一直未找到一位挪威的年轻人曾误以为自己找到了，很快他不仅发现自己并未找到，而且得出结论说，一般五次方程的求根公式是不存在的这位年轻数学家名阿贝尔，他有众多的数学成就，他的成就在一个多世纪里影响着世界数学后因贫困和疾病而过早逝世有关五次方程求根公式的探讨，最优秀的成就出自法国的一位年轻人伽罗瓦他不仅在最一般的意义下回答了五次方程求根公式的可能性问题，而且他建立重要的数学思想和

52、工具，这就是广泛影响于数学的一个分支群论他首先使用的是置换群这里，我们不再介绍这一问题的具体解决过程却想在此顺便说一下这样一个现象：非欧几何这样顶尖的数学发现可以发生在欧洲经济比较落后的俄罗斯，而且罗巴切夫斯基所在的喀山大学并不处在俄罗斯最繁荣的地区这里，又有一例，现今地处北欧的挪威已有相当的发达，然而，尤其在19世纪，挪威亦非欧洲发达的地区，却出现阿贝尔这样灿烂的数学之星挪威还出现过另外一些大数学家怎样解释上述现象呢？生产力发展水平、经济繁荣和社会稳定，肯定是数学发展和繁荣的条件英国、法国最早开始工业革命，英法曾是世界数学最发达的地方；德国于19世纪兴起，成为重要的现代工业中心，德国几乎同时

53、成为数学大国；19世纪末、20世纪，美国崛起，成为头号经济繁荣大国，逐渐，美国也成了总体数学水平最高的国家中国长期的封建统治也肯定是造成中国科学落后的总体原因1949年新中国建立，50年代初，国家迅速稳定并繁荣起来，数学科学也以迅猛之势发展；可是，好景不长，“左”的严重错误又使社会动荡起来，“文革”一爆发，经济也遭了殃，数学乃至整个科学遭到沉重打击，数学水平再度与世界距离拉大1978年，真正的春天来到，国民经济持续发展，社会持续稳定，中国数学再次大踏步前进有足够的证据证明，社会繁荣稳定与生产力发展水平跟一个国家的数学水平有密切关系但是，同样有证据显示，并非人均收入很高的国家一定有相应很高的数学

54、水平否则，中东某些收入极高的国家数学水平却并不高的事实怎么解释？否则，罗巴切夫斯基出现在19世纪的俄罗斯、阿贝尔出现在19世纪的挪威怎么解释？否则，牛顿、高斯、欧拉这样3位世界数学史上的巨人都出身比较清寒又如何解释？数学并不是经济发展水平的简单对应物最好解释数学中出现的这样或那样的必然或偶然事件的因素是文化，如果把经济视为一种广义的文化在起作用也许更好完全可以说，中国已有了充分的理由盼望自己成为世界数学大国，中华优秀文化的继承和发扬是关键 (二)集合论的产生集合论产生于19世纪末，它的直接背景中有三角级数的研究集合论的创始人公认为德国人康托尔，集合论当初的一些重要发现都属于康托尔康托尔对集合论

55、的研究结果之一是加强了实无限的地位例如，如我们已知，正整数集的个数a是一个无限数，实数集的个数c是另一个无限数，而且我们还知道了怎样比较它们的大小，c是大于a的；作为最一般的结论，我们还知道了任何集合的一切子集所作成的集类的元素个数都比原集合元素的个数大，因而有无限多个无限数数学上称这种无限为实无限，这种实无限的存在与一部分人的观念相冲突，因而集合论也曾引起一些非议康托尔因此承受了巨大的压力尽管如此，集合论还是受到普遍欢迎，甚至相当多的数学家感到，由于有了集合论，数学从此可建立在严格的基础上了，包括庞加莱这样的大数学家都有这种看法可是，1903年，英国哲学家、数学家罗素发现了集合论存在的悖论这

56、个悖论震撼了整个数学世界，这个悖论是那样的简单明白，然而，我们的数学竟是建立在这种不相容的系统之上的，这使得数学面临一场极大的危机罗素悖论是这样的：设A是以一切自己不属于自己的那种集合为元素构成的集合，即若B B，则BA；若BB，则B A现在问：A是否属于自己？若A A，则由定义可知，AA，同时，若AA，则又由定义可知，A A，两种情况下都导致矛盾我们在前面曾接触到欧氏几何的相容性，又讨论过非欧几何的相容性，后来，发现两者是相对相容的，并且把这种相容性可归结为算术系统的相容性如果我们对算术系统的相容性在经验的意义下予以认可，那么，欧氏几何系统和非欧几何系统的相容性都没有疑问实际上，相容性是一个

57、系统的首要问题，因为，如果相容性有疑问，其根基就全部动摇了集合论的相容性在罗素悖论出来之后，在这个首要问题上集合论就站不住了可见，数学的这一场危机是如何的严重！它成为数学史上的第三次危机牛顿当初建立的微积分，在逻辑上也发现了有问题，亦即，微积分产生之初，其相容性也有疑问那构成了数学史上的第二次危机但这场危机并不危及如几何、代数这样一些数学分支，它直接影响的是微积分自身及其后续的一些有关的学科，所以对整个数学的震撼不如第三次危机那样严重，虽然由于微积分的重要而引起极大的关注微积分的完善的理论基础，直到19世纪才建立起来，而且是从多种视角来消除了原有的弊病那么，集合论是如何消除悖论、如何逐步完善的

58、呢？事实上，悖论有不同性质，有些悖论是无法消除的，有些则是可以消除的在弄清了悖论产生的原因之后，去探讨消除悖论的可能有些悖论是由于自身理论系统的缺陷造成的，有些悖论是扩大了命题运用范围造成的悖论的存在是对人的智慧的考验，也是对理论体系本身的考验不仅在数学领域里存在着，其他领域也有伽利略就发现过一个悖论，即称伽利略悖论伽利略把正整数1、2、3、4、与平方数1、4、9、16、作了比较，在11，24，39，416，nn2，的对应下，他认为正整数并不比偶数多但偶数又是正整数的部分，而“整体大于部分”又是一条公理，这岂不是说自然数必然比偶数多吗？于是，有了一个悖论然而，伽利略的这一悖论在今天已不是一个悖

59、论，或者说已消除了人们终于明白：“整体大于部分”只适用于有限情形在无限世界里，“整体大于部分”不再适用如果把“整体大于部分”这一公理进一步运用于无限范围，还可发现一些悖论，这是扩大了某些原理的运用范围造成的，因而适当加以限制即可消除还有，牛顿在其流数的计算中也存在悖论例如求x2的微商，牛顿是这个计算中明显地存在悖论后来，在很长一段时间内未能消除这一悖论人们却依然按牛顿的算法去算，所得到的结果都没错，所以也未停下来等到消除悖论后再前进，人们仍旧一往无前，使微积分有了很大发展，且产生了一些以微积分为基础的新分支然而，毕竟悖论存在着，人们总有一块心病，如果它总存在，微积分何以为完善？何以为庄严的科学

60、？差不多一个半世纪之后，微积分严格的基础随着极限理论的建立，随着实数理论的完善而建立起来上述悖论也随之消除在这一过程中，法国数学家、德国数学家、捷克数学家起了主要的作用这就是通过理论体系的改造和完善来消除悖论的途径之一例在集合论悖论，特别是罗素悖论出现后，一方面震撼了数学世界，另一方面也唤起数学世界来拯救数学，来消除这一危机包括罗素本人在内的许多数学家作了巨大努力来消除集合论悖论基本的途径和方法就是完善和建立新的集合论理论系统一般来说，有两种可能，一种是因为发现了集合论存在悖论，因而抛弃集合论；另一种是分析悖论产生的原因，探讨和引进新的理论并消除悖论的可能人们选择了后一条道路，探索新的理论，使这种理论不仅不再存在悖论，而且使之足够的宽广，把原有理论