函数知识点总结与经典例题与解析

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1、函数知识点总结知识点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点 。(即公共的原点)叫做直角坐标系的原 点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置， 把坐标平面被x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意： x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用(a, b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不

2、能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 a b 时，(a, b)和(b, a)是两个不同点的坐标。知识点二、不同位置的点的坐标的特征1 、各象限内点的坐标的特征点 P(x,y) 在第一象限x 0, y 0点 P(x,y)在第二象限x0,y0点 P(x,y)在第三象限x0,y0点 P(x,y)在第四象限x0,y02、坐标轴上的点的特征点 P(x,y)在x 轴上y0，x 为任意实数点 P(x,y)在y 轴上x0，y 为任意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上 x, y同时为零，即点P坐标为(0, 0) 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点 P(x,y) 在第一、三象限夹角平分线上x 与

3、y 相等点 P(x,y) 在第二、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于x 轴、 y 轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：(1)点P(x,y)到x轴的距离等于y(2)点P(x,y)到y轴的距离等于x-22(3)点P(x,y)到原点的距离等于xx y知识点三、函

4、数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做 常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量 x与y,如果对于x的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x是自变量，y是x的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点(1)解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的 等式表示，这种表示法叫做解析法。(2)列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系， 这种 表示法叫做列表法。

5、(3)图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画具图像的一般步骤(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点(3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。知识点四、正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果y kx b (k, b是常数，k 0),那么y叫做x的一次函数。特别地，当一次函数y kx b中的b为。时，y kx (k为常数，k 0)。这时，y叫做x的正比例函数。2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数y

6、kx b的图像是经过点（0, b）的直线；正比例函数y kx的图像是经过原点（0, 0）的直线k的符号的号 b符函数图像图像特征k0b0yi1/x图像经过一、二、三象限， y随x的增大而增大。b0y 0b图像经过一、三、四象限， y随x的增大而增大。k0k0yJ0b图像经过一、二、四象限， y随x的增大而减小b0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大，图像从左之 右上升；(2)当k0时，y随x的增大而增大(2)当k0时，直线与y轴交点在y轴正半轴上(4)当b0k0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y的取值范围是y 0;当k0时，图像与x轴有两个交点；当 =0时，图像

7、与x轴有一个交点;当0）【或向下（k0）【或下（k0）【或左（h0）【或左（h0）【或下（k0）或左（h0时，抛物线开口向上；a0时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，开口越小（2） b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线x 二，故：b 0时，对称轴为y轴；b 0 （即a、b同号）时，2aa对称轴在y轴左侧；已0 （即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.（口 a诀左同右异）（3） c的大小决定抛物线y ax2 bx c与y轴交点的位置.当x 0时，y c,.抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点（0,c）：c 0,抛物线经过原点；c 0,与y轴交于

8、正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则b 0. a经典例题与解析（二次函数与三角形）1、已知：二次函数y=x2+bx+c,其图象对称轴为直线x=1,且经过点（2,-：）.（1）求此二次函数的解析式.（2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E,使4EBC的面积最大，并求出最大面积.2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与（第2题图）9在B的左侧)，与y轴父于点C (0 , 4),顶点为(1, 2).(1)求抛物线的函数表达式；(2)设抛物线的对称轴与轴交于点 D,试在对称轴上找出

9、点P,使CDP%等腰 三角形，请直接写出满足条件的所有点 P的坐标.(3)若点E是线段AB上的一个动点(与 A B不重合),分别连接AC BQ过 点E作EF/ AC交线段BC于点F,连接CE记 CEF的面积为S, S是否存 在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说 明理由.3、如图，一次函数y= 4x4的图象与x轴、y轴分别交于 A C两点，抛物线y=4x2+ bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴 3交于点B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)设抛物线的顶点为D,求四边形ABDC勺面积；(3)作直线MNff行于x轴，分别交线段AC. BC于点M N.问在x(第3题图)

10、轴上是否存在点P,使得PMNa等腰直角三角形？如果存在，求出所有满 足条彳的P点的坐标；如果不存在，请说明理由.(二次函数与四边形)1 c74、已知抛物线y -x mx 2m - .22(1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；如图，当该抛物线的对称轴为直线 x=3时，抛物线的顶点为点 C,直线y=x1与抛物线交于A B两点，并与它的对称轴交于点 D.抛物线上是否存在一点P使得四边形ACP此正方形？若存在，求出点 P的坐 标；若不存在，说明理由；平移直线CD交直线AB于点M交抛物线于点N,通过怎样的平移能使得 C D、M N为顶点的四边形是平行四边形.5、如图，抛物线y=

11、m攵11m杆24m (m0)(1)写出A B、D三点的坐标；(2)当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关(3)当m变化时，用m表示4AED的面积S,并在给出的直角坐标 系中画出S关于m的函数图象的示意图。10、已知抛物线y ax2 bx c的对称轴为直线x 2,且与x轴交于A、B两点.与2答案与分析:由已知条件得1、解：（1）b=一c=3(2) .B (- 1, 0), C (3, 0),，BC=4 (1 分)VE点在x轴下方，且 EBC面积最大， -3), (1 分)此二次函数的解析式为下2x 了0解得分）J 9 一了（1j点是抛物线的顶点，其坐标为（1,2y= x1 x 1

12、= 1, x2=3,.EBC的面积二;X 4X3=6. (1 分)-1)2+2 .92、（1）抛物线的顶点为（1, 9设抛物线的函数关系式为y = a （ x.抛物线与y轴交于点C（0, 4）,y轴交于点C 其中AI（1 , 0）, C（0,3）.（1） （3分）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）.（4分）如图1.当4PBC面积ABC 面积相等时.求点P的坐标；（5分）如图2.当/ PCBW BCA时，求 直线CP的解析式。2 91 a (0 - 1) +2=4 解彳4 a=-一，19 9所求抛物线的函数关系式为y= 2( x-l)2 + |“17(2)解：Pl(1

13、,灰)，P2 (1,-肝P3(1 , 8),P4(1 ,j),一.12 9.I(3)解：令一2( x 1) +2 = 0,解得 X1= 2, x=4129 -抛物线 y= 2( X -1) +2与 X 轴的父点为 A ( 2, 0) C (4 , 0)过点F作F皿OB于点M,EBvOC= 4, A五6, .-.MFXABccc1 L- “，.S= SkBCE- S/ BEI= 2 EB OCMF EB. EF/ AC, . .BEMABAC /.而 又2 OC= -EB3设E点坐标为(x,0),则E五4-x,MF 2 (4 -x) 31 EBMM1EOC-M|=1 (4-x)4 -2 (4-x

14、) =-1x2+ 2x + 82223333= -3( x -1)2 + 33a= 10,= m 230, ,无论m为何头数， 该抛物线与x轴总有两个不同的交点.（2） ;抛物线的对称轴为直线x=3,. m 3,抛物线的解析式为y 1x2 3x 5 = 1 x 3 2 2 ,顶点C坐标为（3, 2）, 22 2y x 1,17解方程组1 25,解得x1或x2，所以A的坐标为（1,0）、y 1x2 3x 5y1 0y2 622B 的坐标为（7, 6）, v x 3时 y=x 1=3 1=2,. D 的坐标为（3, 2）,设 抛物线的对称轴与x轴的交点为E,则E的坐标为（3, 0）,所以AE=BE

15、=3, DECE2,假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD1正方形，则AR CD互相垂直升分且相等，于是P与点B重合，但AP=6, CD4, AP CD故抛物线上不存在一点P使得四边形ACPDM正方形.（I ）设直线CD向右平移n个单位（n 0）可使得C、D M N 为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3 n, 直线CDt直线y=x- 1交于点M （3 n , 2 n ）,又二 D的坐标为（3, 2）, C坐标为（3, -2）, . D通过向下平移4个单位得到C.H M N为顶点的四边形是平行四边形，.四边形CDMN1平行四边形或四边形CDNMI平行四边形.（i）当四边形CD

16、MN1平行四边形，一. M向下平移4个单位得N,.N坐标 为（3 n, n 2）,又N在抛物线y x2 3x 9上 .n 2工3 n 2 33 n皂，2222解得n1 0 （不合题意，舍去），山2,（ii）当四边形CDNM1平行四边形，一. M向上平移4个单位得N,N坐标 为（3 n, n 6）,1c 5125又 N在抛物线 y x 3x 上， n 6 3 n 3 3 n 一，2222解得ni 1 J17 （不合题意，舍去）（II）设直线CD向左平移n个单位（n 0）可使得C D、M N为顶点的四 边形是平行四边形，则直线 CD的解析式为x=3 n,直线CD与直线y=x 1 交于点M （3 n

17、, 2 n）,又二D的坐标为（3, 2）, C坐标为（3, -2）, . D 通过向下平移4个单位得到C.D M N为顶点的四边形是平行四边形，.四边形 CDMN1平行四边形或四边形CDNMI平行四边形.（i）当四边形CDMN1平行四边形,为（3 n ,2 n）,15又N在抛物线y -x2 3x 5上，.22解得n1 0 （不合题意，舍去），n2M向下平移4个单位得N, ；N坐标c1c 2 c c52 n 3 n 3 3 n ,222 （不合题意，舍去），（ii）当四边形CDNM1平行四边形，一. M向上平移4个单位得N,N坐标 为（3 n, 6 n）,又 N 在抛物线 y 1x2 3x 5,

18、6n13n2 33 n 夕，2222解得n11标，出 1 717 （不合题意，舍去），综上所述，直线CD向右平移2或（1 历）个单位或向左平移（1 折）个单位，可使得C D M N为顶点的四边形是平行四边形.5、解：（1）。氏3,。谖 8(2)连接OD交OCT点E一一 一一，1.四边形 OACD1菱形.-.ADL OC。白 EG= 2 X8=4BE= 4 3=1又./BA生 90 ,AE CE .ACW ABAE .后 AE.A心BE - CE= 1X4 . AE= 2 点A的坐标为（4 , 2）x把点A的坐标（4 , 2）代入抛物线y=m211m计24nl1 1 c 11得m= 2:抛物线的

19、解析式为y= x+x12（3）二,直线x=n与抛物线交于点M1 o 11点 M的坐标为（n, -2n +yn-12）由（2）知，点D的坐标为（4, 2）,- 1则C D两点的坐标求直线CD的解析式为y = 2x4n - 4)1点N的坐标为(n, 2n 4)1.MNb (-n 21 2 L C=2口 + 5n 8oo o 111 22S 四边形 am3 Sa am叶 Sa CM3 2MN C三 2 (一 2n + 5n 8) X4= (n 5)当 n = 5 时，S四边形AMCN=96、解：(1) v BC/ AD, B (-1 , 2), M是 BC与 x 轴的交点，. M (0, 2),9a

20、 3b c 01a: DM/ ON, D (3, 0) ,N (-3 , 2),则 c 2,解得 9 ,b19a 3b c 0b 3c 21 21 Qy x x 2 : 93(2)连接 AC交 y 轴与 G, M是 BC的中点，. AO=BM=M(AB=BC=2 . . AG=GC 即 G (0, 1),./ABC=90 , . BGL AC,即BG是AC的垂直平分线，要使PA=PC即点P在AC 的垂直平分线上，故P在直线BG上，点P为直线BG与抛物线的交点，设直线BG的解析式为y kx2k 12 ,解得 k 1y x 1, b 1Xiy13 322 3 2x23 3 . 2y22 3 2点

21、P (3 3板，2 3岐)或 P (3-372 , 2 372 ), 1c113c9.(3) , yx x2(x), 对称轴939243x 2 ?人 1 21令x - x 2 0 ,解得 Xi 3 , X2 6 , E ( 6,0), 933 一故 E、D关于直线 x对称，. .QE=QDQE-QC|=|QD-QC|,23要使|QE-QC|最大，则延长DCf x 相交于点Q,即点Q2为直线DC与直线x3的交点,2由于M为BC的中点，C (1, 2),设直线CD的解析式为y=kx+b,eh 3kb 0则，解得k b 2当x3时,y | 3 9，故当Q在(I，9)的位置时,|QE-QC|最大,过点

22、C作CFx轴，垂足为F,则CD=/cfDF2 收 2 242 .7、解：(1)由 y=0 得，ax2-2ax-3a=0 ,a0,x2-2x-3=0 , 解得 x1二-1 , x2=3,二点 A 的坐标(-1 , 0),点B的坐标(3, 0);(2)由 y=ax2-2ax-3a ,令 x=0,得 y=-3a , . C (0, -3a),又 y=ax2-2ax-3a=a (x-1 ) 2-4a ,得 D (1, -4a),.DH=1 CH=-4a- (-3a) =-a,- -a=1 , .r=-1,. . C (0, 3),D (1, 4),设直线CD的解析式为y=kx+b,把C、D两点的坐标代

23、入得，= 4 ,解得JB = 3Xi 1直线CD的解析式为y=x+3;(3)存在.o 3 ( E w, ) 2 7/l 由9-2 N E )022 32( F作MQL CDT Q设存在满足条件的点3-29=2EF=相卉=呼, MQ=OM，=：斤M由题意得：RtAFQMbRtAFNEE翁二面一整理得 4m+36m-63=Q . . m2+9m=m2+9m+ ； =V1.2)22+ m点M的坐标为M (212 3-21(M) 3=2 328、解：(1)二.抛物线 y=ax2+bx+c (a*0)的图象经过 M (1, 0)和 N (3, 0)两 点，且与y轴交于D (0, 3),假设二次函数解析式

24、为：y=a(x-1) (x-3),将 D (0, 3),代入 y=a (x1) (x 3),得：3=3a,；a=1,抛物线的解析式为：y= (x-1) (x-3) =x2 - 4x+3;(2)二过点A(- 1, 0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积彳为 6, .,.jAo BC=6.抛物线 y=ax2+bx+c (aw0)的图象经过 M (1, 0)和 N (3, 0) 两点，二次函数对称轴为x=2,.AC=3，BC=4，B点坐标为：(2, 4), 一次函数解析式为；y=kx+b, 4 = 2k b =:0 - - k十力解得：以二5 y飞力； l q(3)二当点P在抛物线的对

25、称轴上，O P与直线AB和x轴都相切， .MOL AB, AM=A C PM=PCv AC=1+2=3 BC=4 . .AB=5 AM=3 . . BM=2*. /MBP=ABC /BMP=ACB/AMBM /二儿，J =争，PC=j P点坐标为：(2,).9、解：(1) A(一由 0), B (3m, 0), D (0,匕项.“(2)设直线ED的解析式为y=kx+b,将E ( - 3, 0), D (0, Jjn)代入得：,- 3k 十 b 二 G I门ub - J赤解得，k=3荒，b=J3m.直线ED的解析式为y= mx+ J m.将 y=- : (x+n) (x-3n)化为顶点式：y=(

26、x+n) 2+m3麻3m3顶点 M的坐标为(m, .代入y=；mx+3m得：m2=m.OD= J, OC=1 a CD=2 D/ft圆上又 OE=3 dU=oD+oE=12, eC=16, cD=4,cD+d臣eC.ED与。C相切.j., ri(3)当 0m3 时，&aed=7AE. ? OD-m (m- 3).即；. / FDC-90 .直线国2国？- 2 m+ , m点2班=m- ma b10、解：(1)由题意，得 c 3 b2a14抛物线的解析式为32y x 4x 3 o,- m 0, m=1.所以，当m=1时，M点在直线DE上.连接CD C为AB中点，C 点坐标为c (m 0).(2)

27、令 x2 4x 3 0 ,解得x11,x23 B (3, 0 )当点P在x轴上方时，如图 点P,1,过点A作直线BC的平行线交抛物线于易求直线BC的解析式为yx 3 ,设直线AP的解析式为v x n ,二.直线AP过点A (1,0),代人求得n解方程组yv4x 3x1Vi1 ox2V2x第24题图1。，直线AP的解析式为当点P在x轴下方时，如图设直线AP1交V轴于点E(0, 1),把直线BC向下平移2个单位,交抛物线于点P2、得直线P2 P3的解析式为解方程组X14x 3V131727172X2V23 .17271723 17 7 17w)，3P(一177 1722)综上所述，点P的坐标为：P(2,1)P2(7 .17丁)3 ,177 .17 B(3,0), C(0, 3) OB=OC . / OCB= OBC=45 设直线 CP 的解析式为y kx 3如图2,延长CP交x轴于点 Q 设/ OCA=,则/ ACB=45 a vZ PCBW BCA. / PCB=45 a ./OQC =OBC/PCB=45 - (45a) =a. / OCA= OQC又. / AOC= COQ=90.OA OC . 13OC OQ _3 OQ RtAAOC RtACOQ,OQ=9Q(9,0).直线 CP过点 Q(9,0) , . 9k 3 0一一，1直线CP的解析式为y - x 3。3