空间解析几何与向量代数

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1、数 量 关 系 第 8章第 一 部 分 向 量 代 数第 二 部 分 空 间 解 析 几 何 在 三 维 空 间 中 :空 间 形 式 点 , 线 , 面基 本 方 法 坐 标 法 ; 向 量 法坐 标 , 方 程 （ 组 ）空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 四 、 利 用 坐 标 作 向 量 的 线 性 运 算 第 一 节一 、 向 量 的 概 念二 、 向 量 的 线 性 运 算 三 、 空 间 直 角 坐 标 系五 、 向 量 的 模 、 方 向 角 、 投 影 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 向 量 及 其 线 性 运 算 第 8章 .a或表 示 法 :向 量

2、 的 模 : 向 量 的 大 小 , ,21MM记 作一 、 向 量 的 概 念向 量 : (又 称 矢 量 ). 1M 2M既 有 大 小 , 又 有 方 向 的 量 称 为 向 量向 径 (矢 径 ):自 由 向 量 : 与 起 点 无 关 的 向 量 .起 点 为 原 点 的 向 量 .单 位 向 量 : 模 为 1 的 向 量 , . a或记 作 a零 向 量 : 模 为 0 的 向 量 , .0 0或，记 作 有 向 线 段 M1 M2 , 或 a , ,a或 .a或 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 规 定 : 零 向 量 与 任 何 向 量 平 行 ;若 向 量 a

3、 与 b大 小 相 等 , 方 向 相 同 , 则 称 a 与 b 相 等 ,记 作 a b ;若 向 量 a 与 b 方 向 相 同 或 相 反 , 则 称 a 与 b 平 行 , a b ;与 a 的 模 相 同 , 但 方 向 相 反 的 向 量 称 为 a 的 负 向 量 ,记 作因 平 行 向 量 可 平 移 到 同 一 直 线 上 , 故 两 向 量 平 行 又 称 两 向 量 共 线 .若 k (3)个 向 量 经 平 移 可 移 到 同 一 平 面 上 , 则 称 此 k 个 向 量 共 面 .记 作 a ; 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 二 、 向 量 的

4、线 性 运 算1. 向 量 的 加 法三 角 形 法 则 :平 行 四 边 形 法 则 :运 算 规 律 : 交 换 律结 合 律三 角 形 法 则 可 推 广 到 多 个 向 量 相 加 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 b b abba cba )( )( cba cba a bcba cb)( cba cba )(aa baba 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 s 3a4a 5a2a1a 54321 aaaaas 2. 向 量 的 减 法三 角 不 等 式 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ab )( ab 有时特 别 当 ,ab aa )

5、( aa baba ab ab aba0baba aa 3. 向 量 与 数 的 乘 法 是 一 个 数 , .a规 定 : 时 ，0 ，同 向与 aa ,0时 ,0时 .0 a ;aa ;1 aa 可 见 ;1 aa ;aa 与 a 的 乘 积 是 一 个 新 向 量 , 记 作，反 向与 aa 总 之 :运 算 律 : 结 合 律 )( a )( a a分 配 律 a)( aa )( ba ba ,0a若 a则 有 单 位 向 量 .1 aa 因 此 aaa 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 定 理 1. 设 a 为 非 零 向 量 , 则 ( 为 唯 一 实 数 )证 :

6、“ ”. , 取 且再 证 数 的 唯 一 性 . 则,0故 . 即a b ab 设 a b b a取 正 号 , 反 向 时 取 负 号 , , a , b 同 向 时则 b 与 a 同 向 ,设 又 有 b a , 0)( aa a b aa b.ab 故 ,0a而 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 “ ” 则,0 时当 例 1. 设 M 为 M BA CD解 : ABCD 对 角 线 的 交 点 ,0 时当 b a,0 时当 ,aAB ,bDA AC MC2 MA2BD MD2 MB2已 知 b a ,b 0a , b 同 向a , b 反 向 a b ., MDMCMBM

7、Aba 表 示与试 用 ba ab )(21 baMA )(21 abMB )(21 baMC )(21 abMD 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 x yz三 、 空 间 直 角 坐 标 系由 三 条 互 相 垂 直 的 数 轴 按 右 手 规 则组 成 一 个 空 间 直 角 坐 标 系 . 坐 标 原 点 坐 标 轴 x轴 (横 轴 ) y轴 (纵 轴 )z 轴 (竖 轴 )过 空 间 一 定 点 o , o 坐 标 面 卦 限 (八 个 ) 面xoy面yozzox面1. 空 间 直 角 坐 标 系 的 基 本 概 念 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 x y

8、zo 向 径在 直 角 坐 标 系 下 11 坐 标 轴 上 的 点 P, Q , R ;坐 标 面 上 的 点 A , B , C点 M特 殊 点 的 坐 标 : 有 序 数 组 ),( zyx 11 )0,0,(xP )0,0( yQ),0,0( zR )0,( yxA ),0( zyB),( zoxC (称 为 点 M 的 坐 标 )原 点 O(0,0,0) ; rr 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 M 坐 标 轴 : 轴x 00zy 00 xz轴y 轴z 00yx坐 标 面 :面yox 0z面zoy 0 x面xoz 0 y 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束

9、 x yzo 2. 向 量 的 坐 标 表 示在 空 间 直 角 坐 标 系 下 , 设 点 M ,),( zyxM 则 沿 三 个 坐 标 轴 方 向 的 分 向 量 .kzjyixr ),( zyx xo yz MN BCi jkA , 轴 上 的 单 位 向 量分 别 表 示以 zyxkji 的 坐 标 为此 式 称 为 向 量 r 的 坐 标 分 解 式 ,rkzjyix 称 为 向 量, r任 意 向 量 r 可 用 向 径 OM 表 示 .NMONOM OCOBOA 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ,ixOA ,jyOB kzOC 四 、 利 用 坐 标 作 向 量

10、 的 线 性 运 算设 ),( zyx aaaa ,),( zyx bbbb 则ba ),( zzyyxx bababa a ),( zyx aaa ab ,0 时当 a ab xx ab yy ab zz ab xxab yyab zzab平 行 向 量 对 应 坐 标 成 比 例 : ，为 实 数 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 2. 求 解 以 向 量 为 未 知 元 的 线 性 方 程 组ayx 35 byx 23 .211,212 ），（），（其 中 ba 解 : 2 3 , 得bax 32 )10,1,7( 代 入 得 )3(21 bxy )16,2,11( 机

11、 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 3. 已 知 两 点在 AB直 线 上 求 一 点 M , 使解 : 设 M 的 坐 标 为 ,),( zyx 如 图 所 示 A BMo11 MA B ,),( 111 zyxA ),( 222 zyxB 及 实 数 ,1得 ),( zyx 11 ),( 212121 zzyyxx 即 .MBAM AM MB AM OAOM MB OMOBAOOM )( OMOBOM OBOA ( 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 说 明 : 由得 定 比 分 点 公 式 : ,1 21 xx ,1 21 yy1 21 zz,1时当 点 M 为

12、 AB 的 中 点 ,于 是 得x ,2 21 xx y ,2 21 yy z 2 21 zz A BMo MA B),( zyx 1 1 ),( 212121 zzyyxx x yz中 点 公 式 : 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 五 、 向 量 的 模 、 方 向 角 、 投 影 1. 向 量 的 模 与 两 点 间 的 距 离 公 式 222 zyx ),( zyxr 设 则 有OMr 222 OROQOP xo yz MN QRP由 勾 股 定 理 得 ),( 111 zyxA 因 A B得 两 点 间 的 距 离 公 式 : ),( 121212 zzyyxx 21

13、2212212 )()()( zzyyxx 对 两 点 与 ,),( 222 zyxB ,rOM 作OMr OROQOP BABA OAOBBA 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 4. 求 证 以 )3,2,5(,)2,1,7(,)1,3,4( 321 MMM证 : 1M 2M 3M21MM 2)47( 2)31( 2)12( 1432MM 2)75( 2)12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2)13( 63132 MMMM 即 321 MMM 为 等 腰 三 角 形 .的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 . 为 顶 点 机 动 目 录 上 页 下 页

14、 返 回 结 束 例 5. 在 z 轴 上 求 与 两 点 )7,1,4(A 等 距解 : 设 该 点 为 ,),0,0( zM ,BMAM 因 为 2)4( 21 2)7( z 23 25 2)2( z解 得 ,914z 故 所 求 点 为 及 )2,5,3( B.),0,0( 914M思 考 : (1) 如 何 求 在 xoy 面 上 与 A , B 等 距 离 之 点 的 轨 迹 方 程 ?(2) 如 何 求 在 空 间 与 A , B 等 距 离 之 点 的 轨 迹 方 程 ?离 的 点 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 提 示 :(1) 设 动 点 为 ,)0,(

15、yxM 利 用 ,BMAM 得,028814 yx(2) 设 动 点 为 ,),( zyxM 利 用 ,BMAM 得014947 zyx 且 0z例 6. 已 知 两 点 )5,0,4(A 和 ,)3,1,7(B解 : 求141 )2,1,3( 142,141,143 .BABA BABA 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 o yzx2. 方 向 角 与 方 向 余 弦设 有 两 非 零 向 量 ,ba 任 取 空 间 一 点 O , ,aOA 作,bOB O AB称 = AOB (0 ) 为 向 量 ba , 的 夹 角 . ),( ab 或类 似 可 定 义 向 量 与 轴

16、, 轴 与 轴 的 夹 角 . ,0),( zyxr给 定 与 三 坐 标 轴 的 夹 角 , , r r称为 其 方 向 角 .cos rx 222 zyx x 方 向 角 的 余 弦 称 为 其 方 向 余 弦 . 记 作 ),( ba 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 o yzx r cos rx 222 zyx x cos ry 222 zyx y cos rz 222 zyx z 1coscoscos 222 方 向 余 弦 的 性 质 : :的 单 位 向 量向 量 r rrr )cos,cos,(cos 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 7. 已

17、知 两 点 )2,2,2(1M 和 ,)0,3,1(2M的 模 、 方 向 余 弦 和 方 向 角 . 解 : ,21 ,23 )20 计 算 向 量)2,1,1( 222 )2(1)1( 2,21cos ,21cos 22cos ,32 ,3 4321MM (21 MM 21MM 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 8. 设 点 A 位 于 第 一 卦 限 ,解 : 已 知角 依 次 为 , 43 求 点 A 的 坐 标 . , 43 则 222 coscos1cos 41因 点 A 在 第 一 卦 限 , 故 ,cos 21 于 是(6 ,21 ,22 )21 )3,23,

18、3(故 点 A 的 坐 标 为 .)3,23,3( 向 径 OA 与 x 轴 y 轴 的 夹 ,6AO且OA OAAO 第 二 节 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 3. 向 量 在 轴 上 的 投 影 uAA B，、投影分别为轴上的在、若BA uBA ，分向量方向上的轴的在为称uABBA 方向上的单位向量，为记ue . uu )AB(ABjPr 或，则、为在轴上的投影坐标分别、若baBA . Pr abABju )(a )(b B，记做投影轴上的的在为称uAB，若eBA , ),( zyx aaaAB 若则, Pr xx aABj , Pr yy aABj . Pr zz aABj 2

19、4/26 投 影 的 性 质 （ 1）轴的夹角，则与为记ua . cos|)( aa u 投 影 的 性 质 （ 2）.)()( )( 21 uu u21 aa aa uA BA BB uAA BB CC u1a 2a 25/26 六 、 小 结1、向量的概念（注意与标量的区别）2、向量的线性运算3、空间点的坐标、向量的坐标4、利用直角坐标作向量的线性运算5、向量的模、方向角、方向余弦、投影 26/26 备 用 题解 : 因 pnma 34 )853(4 kji )742(3 kji )45( kji kji 15713 1. 设 ,853 kjim ,742 kjin 求 向 量 pnma 34 在 x 轴 上 的 投 影 及 在 y轴 上 的 分 向 量 . 13xa在 y 轴 上 的 分 向 量 为 jjay 7故 在 x 轴 上 的 投 影 为 jip 5,4k 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2. 设 求 以 向 量行 四 边 形 的 对 角 线 的 长 度 . 该 平 行 四 边 形 的 对 角 线 的 长 度 各 为 11,3 对 角 线 的 长 为解 ： 为 边 的 平 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 mn nm,|,| nm | nm)1,1,1( nm )1,3,1( nm 3| nm 11| nm ,2 kjn ,jim