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1、多面体与球的切接问题 基本知识回顾： 一 、 球 体 的 体 积 与 表 面 积343V R球 24S R球 面二 、 球 与 多 面 体 的 接 、 切定 义 1： 若 一 个 多 面 体 的 各 顶 点 都 在 一 个 球 的 球 面 上 ， 则 称 这 个 多 面 体 是 这 个 球 的 内 接 多 面 体 ， 这 个 球 是 这 个 。定 义 2： 若 一 个 多 面 体 的 各 面 都 与 一 个 球 的 球 面 相 切 ， 则 称 这 个 多 面 体 是 这 个 球 的 外 切 多 面 体 ， 这 个 球 是 这 个 。多 面 体 的 外 接 球多 面 体 的 内 切 球外 接 球
2、 球 心 到 各 顶 点 的 距 离 相 等 (R) 内 切 球 球 心 到 各 面 的 距 离 相 等 (r) 球 与 正 方 体 的 “ 切 ” “ 接 ” 问 题 一 、 直 棱 柱 与 球 正方体的内切球直径正方体的外接球直径与正方体所有棱相切的球直径 若正方体的棱长为a，则 中 截 面球 的 外 切 正 方 体 的 棱 长 等 于 球 直 径 。A B CDD1 C1B1A1 O A B CDD1 C1B 1A1 O 中 截 面正 方 形 的 对 角 线 等 于 球 的 直 径 。. A B CDD1 C1B1A1 O A1A C1CO对 角 面 2R球 的 内 接 正 方 体 的
3、对 角 线 等 于 球 直 径 。 正方体的内切球直径正方体的外接球直径与正方体所有棱相切的球直径 若正方体的棱长为a，则 a3a 2a 变 式 1： 小 结 1如何求直棱柱的外接球半径呢？（ 1） 先 找 外 接 球 的 球 心 ： 它 的 球 心 是 连 接 上 下 两 个 多 边 形 的 外 心 的 线 段 的 中 点 ；（ 2） 再 构 造 直 角 三 角 形 ， 勾 股 定 理 求 解 。 二 、 棱 锥 与 球 1. 已 知 球 O的 表 面 上 有 P、 A、 B、 C四 点 ， 且 PA、 PB、 PC两 两互 相 垂 直 ， 若 PA=PB=PC=a， 求 这 个 球 的 表
4、 面 积 和 体 积 。A C BP O 变 题 ： 正 四 面 体 ABCD的 棱 长 为 a， 求其 内 切 球 半 径 r与 外 接 球 半 径 R. PA B CMO PA M DEOD法1.勾股定理法难点突破：如何求正四面体的外接球半径 A BC DO A BC DO正 四 面 体 外 接 球 的 半 径 正 方 体 外 接 球 的 半 径难点突破：如何求正四面体的外接球半径法2.补成正方体 变 式1. 求 棱 锥 外 接 球 半 径 常 见 的 补 形 有 ：正 四 面 体 常 补 成 正 方 体 ；三 条 侧 棱 两 两 垂 直 的 三 棱 锥 常 补 成 长 方 体 ；三 组 对 棱 分 别 相 等 的 三 棱 锥 可 补 成 长 方 体 ；侧 棱 垂 直 底 面 的 棱 锥 可 补 成 直 棱 柱总 结 小 结 2 求 棱 锥 外 接 球 半 径 的 方 法 ：（ 1） 补 形 法 （ 适 用 特 殊 棱 锥 ）（ 2） 勾 股 定 理 法 （ 通 法 ） 关 键 是 找 球 心 ， 画 出 截 面 图 ， 构 造 与 R有 关的 直 角 三 角 形 。 EA C B D O CB A D
多面体的外接球问题
