探索勾股定理

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1、 韦秀红 湖 静 浪 平 六 月 天 ， 荷 花 半 尺 出 水 面 ； 忽 来 一 阵 狂 风 急 ， 吹 倒 荷 花 水 中 偃 ； 湖 面 之 上 不 复 见 ， 入 秋 渔 翁 始 发 现 ； 残 花 离 根 二 尺 远 ， 试 问 水 深 尺 若 干 。 这是我们中国古代的一道数学问题，它的求解，将要涉及今天我们开始学习的新的一章 勾股 定 理 的知识。 勾 股 定 理 有 着 悠 久 的 历 史 。 古 巴 比伦 的 人 和 古 代 中 国 人 看 出 了 这 个 关 系 ；古 希 腊 的 毕 达 哥 拉 斯 学 派 首 先 证 明 了 这个 关 系 。 很 多 具 有 古 老 文

2、 化 的 民 族 和 国家 都 会 说 ： 我 们 首 先 认 识 的 数 学 定 理 是勾 股 定 理 。 人 类 一 直 想 要 弄 清 其 他 星 球 是 否 存在 着 “ 人 ” ， 并 试 图 与 “ 他 们 ” 取 得 联系 。 那 么 我 们 怎 样 才 能 与 “ 外 星 人 ” 接触 呢 ？ 我 们 曾 用 “ 勾 股 定 理 ” 的 图 来 作为 与 “ 外 星 人 ” 联 系 的 信 号 。 勾 股 定 理 有 着 悠 久 的 历 史 。 古 巴 比伦 的 人 和 古 代 中 国 人 看 出 了 这 个 关 系 ；古 希 腊 的 毕 达 哥 拉 斯 学 派 首 先 证 明

3、 了 这个 关 系 。 很 多 具 有 古 老 文 化 的 民 族 和 国家 都 会 说 ： 我 们 首 先 认 识 的 数 学 定 理 是勾 股 定 理 。人 类 一 直 想 要 弄 清 其 他 星 球 是 否 存在 着 “ 人 ” ， 并 试 图 与 “ 他 们 ” 取 得 联系 。 那 么 我 们 怎 样 才 能 与 “ 外 星 人 ” 接触 呢 ？ 我 们 曾 用 “ 勾 股 定 理 ” 的 图 来 作为 与 “ 外 星 人 ” 联 系 的 信 号 。 现 在 我 们 大 家 来 试 一 试 ：我 们 可 不 可 以 发 现！ 三角形按边分类按角分类 探 索 研 究 ， 学 习 新 知

4、 请你用刻度尺和直角三角尺画图：1、用直角三角板画出直角；2、用刻度尺画出两条直角边，一条长3厘米，另一条为4厘米。3、画出斜边，并度量出斜边的长度。4、再用相同的方法画出直角边为6、8的直角三角形，量出斜边的长度，并将各边的长度填入下表（不清楚操作过程的看老师在黑板上的操作）直角边1直角边2斜边1：3 42：6 8 510 你 想 一 想 ：这直角三角形三边之间有没有一定的等量关系？ （图中每个小方格代表一个单位面积）a b cA CB9个单位面积9个单位面积18个单位面积 在 下 面 的 直 方 格 图 中 ， 有 一 个 等 腰 直 角 三 角 形 ，并 分 别 以 三 边 为 边 长

5、作 出 了 正 方 形 ， 请 你 观 察 并 思考 ： （ 1） 你 能 用 三 角 形 的 边 长 表 示 正 方 形 的面 积 吗 ？（ 2） 你 能 发 现 直 角 三 角 形 三 边 长 度 之 间存 在 什 么 关 系 吗 ？ 与 同 伴 进 行 交 流 。 A B C cS正方形14 3 3 182 （单位面积） A B C我 们 也 可 以 采用 计 算 的 方 法 ,找 出 直 角 三 角形 三 边 的 关 系此处是如何计算出C的面积的? A B C图1-3反思:注意分割的方法,分割成若干个直角边为整数的三角形 cS正方形25 14 4 3 12 （面积单位） 问 题 : 如

6、 果 不 是 等腰 直 角 三 角 形 ,是否 同 样 具 有 其 相同 的 性 质 呢 ?我 们注 意 观 察 右 图 : SA+SB=SC即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积 勾 股 定 理 （ gou-gu theorem) 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么2 2 2a b c 即 直 角 三 角 形 两 直 角 边 的 平 方 和 等于 斜 边 的 平 方 。 a bc勾股弦在西方又称毕达哥拉斯定理！概 括 : 我国古代把直角三角形中较短的直 角 边称为勾，较长的边称为股，斜 边称为弦。 a2+b2=c2是勾股定理的基本表达式,你可以写出那些它基本

7、的变化形式呢?把你的想法写在草稿上,与同学交流一下.a2+b2=c2a2=c2-b2 b2=c2-a2平 方 形 式 :a b c 22 bca 22 acb 表 达 形 式 22 bac 1、 判 断 ：(1)已 知 a、 b、 c是 三 角 形 的 三 边 ，则 a2+b2=c2 ( )(2)在 直 角 三 角 形 中 两 边 的 平 方 和 等 于 第 三 边 的平 方 。 （ ）(3)在 直 角 三 角 形 ABC中 , ,则 a2+b2=c2 （ ） 2、 填 空 ： 在 直 角 三 角 形 ABC中 ， C=900 （ 1） 如 果 a=3， b=4， 则 c= （ 2） 如 果

8、a=6， C=10， 则 b 2= 90B 564 勾股定理的故事美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 美 国 总 统 能 证 明勾 股 定 理 ， 我 们 也能 证 明 勾 股 理 ！ 我们将利用拼图法来证明勾股定理：ca b 请 大 家 相 互 合 作 ， 用 准 备 好 的 四 个 直 角三 角 形 纸 板 拼 成 一 个 正 方 形 ， 拼 一 拼 看 ，你 们 能 拼 出 几 种 正 方 形 ？ 根 据 你 拼 的 正 方 形 ， 你 能 否 就 你 拼 出 的图 说 明 a2+b2=c2？ca b ca b ca b cab c a bc abca b c a b c

9、a b cabc ab (a+b)2 = c2 + 4ab/2a2+2ab+b2 = c2 +2ab a2+b2=c2 大正方形的面积可以表示为_ ；也可以表示为_.(a+b)2 c2 +4ab/2想 一 想 ： 我 们 如 何 利 用 上 面 的 图 形 建立 关 于 直 角 三 角 形 的 三 边 关 系 呢 ？ 课本P54：1。 将图19.2.6沿中间的小正方形的对角线剪开，得到如图所示的梯 形 .利用此图的面 积 表 示 式验证勾股定理.（第1题） 课 本 P62： 2.如图，以Rt的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系对 比 思 考下 列 各 题 反思:我们用

10、面积方法验证了勾股定理,我们也可以用勾股定理考察面积关系. （第5题） 课 本 P55:5. 如 图 ， 已 知 直 角 三 角 形ABC的 三 边 分 别 为 6、 8、 10， 分 别 以 它的 三 边 为 直 径 向 上 作 三 个 半 圆 ， 求 图 中阴 影 部 分 的 面 积 . （第2题） 课本P55:4.如 图 ， 分 别 以 直 角 三 角形 的 三 边 为 边 长 向 外 作 正 方 形 ， 然 后分 别 以 三 个 正 方 形 的 中 心 为 圆 心 、 正方 形 边 长 的 一 半 为 半 径 作 圆 .试 探 索 三个 圆 的 面 积 之 间 的 关 系 . c a

11、b ca b cabc ab 请 你 根 据 左 边 的 拼图 ， 验 证 勾 股 定 理 。 验 证 ：小正方形的面积可以表示为 (a-b)2；也可以表示为c2 -4ab/2. (a-b)2 = c2 - 4ab/2 a2-2ab+b2 = c2 -2ab a2+b2=c2 学 几 何 的 人 都 知 道 勾 股 定 理 它 是 几 何 中 一 个 比较 重 要 的 定 理 ， 应 用 十 分 广 泛 迄 今 为 止 ， 关 于勾 股 定 理 的 证 明 方 法 已 有 500余 种 你 要 了 解 更 多的 有 关 勾 股 定 理 的 知 识 吗 ？ 请 上 网 查 一 查 吧 ！1、 用 数 直 方 格 的 方 法 ，利 用 面 积 相 等 ， 探 索 了 勾股 定 理 。2、 用 拼 图 的 方 法 ， 通 过 面 积计 算 ， 验 证 了 勾 股 定 理 。图19.2.6 P62A:1. 求下列阴影部分的面积：（1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； （3） 阴影部分是半圆a bc c a b2.P54.习题14.1:1. 将图14.1.6沿中间的小正方形的对角线剪开，得到如图所示的梯形利用此图的面积表示式验证勾股定理