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1、奉 化 高 级 中 学 沈 海 敏中 学 学 科 问 题 1： 观 察 函 数 在 区 间 上 的 图 象 ，指 出 它 们 有 什 么 不 同 xyxy ,2 1,0问 题 2： （ 1998全 国 高 考 ） 向 高 为 的 水 瓶 中 注 水 ， 注 满为 止 ， 如 果 注 水 量 V与 水 深 h的 函 数 关 系 如 图 所 示 ， 那 么 水瓶 的 形 状 是 （ ）H h OV B 凹凸的含义: 若 曲 线 段 向 上 （ 下 ）弯 曲 ， 则 称 之 为 凹 （ 凸 ） 的 。 xyo xyo 1x 2x)(xfy 图 形 上 任 意 弧 段 （ ）位 于 所 张 弦 的 上
2、 方 。xyo )(xfy 1x 2x图 形 上 任 意 弧 段 （ ）位 于 所 张 弦 的 下 方 。 A B C问题: 如 何 用 准 确 的 数 学 语 言 描 述 曲 线 的 凹 凸 性 ?的 中 点 的 中 点 凹 凸 函 数 定 义 ： 设函数)(xf在区间 I 上连续 , , 21 Ixx (1) 若恒有1 2 1 2( ) ( )( ) ,2 2x x f x f xf 则称)(xf为I上的凹函数;(2) 若恒有 1 2 1 2( ) ( )( ) ,2 2x x f x f xf 则称)(xf为I上的凸函数 . yo x2x1x 2 21 xx yo x1x 2 21 xx
3、 2x yo x)(xfy1yD 2yD 3yD 4yD 5yDyo x)(xgy 1yD 2yD 3yD 4yD 5yD增量特征凹 函 数 的 增 量 特 征 是 ： 越 来 越 大 ；凸 函 数 的 增 量 特 征 是 ： 越 来 越 小 ；简 记 为 ： 增 量 凹 大 凸 小 对 的 每 一 个 单 位 增 量 ， 函 数 的 对 应 增 量x x y iy 几何特征 图 6（ 凹 函 数 ） 图 7（ 凸 函 数 ）设 是 函 数 y= 曲 线 上 两 点 ， 函 数 曲 线 与 之 间 任 一点 A处 切 线 的 斜 率 ： )(xf 1A 2A凹 函 数 的 切 线 斜 率 特
4、征 是 ： 切 线 的 斜 率 随 x增 大 而 增 大 ；凸 函 数 的 切 线 斜 率 特 征 是 ： 切 线 的 斜 率 随 x增 大 而 减 小 ；简 记 为 ： 斜 率 凹 增 凸 减 。中 学 学 科 思考：函数的增量及在一点处的切线斜率与什么相关？ .,0,0 ,一般地， 上 为 凸 函 数则 函 数 在若 上 为 凹 函 数 ；则 函 数 在若 上 的 可 导 函 数对 于 在 Ixf Ixf xfyI 例 1. (2005湖 北 高 考 ) 在 这 四 个 函 数 中 ,当 时 , 使 得 恒 成 立 的 函 数 是 _. xyxyxyy x 2cos,log,2 22 )1
5、,0(, 21 xx 2 )()()2( 2121 xfxfxxf xy 2log 练 习 （ 课 本 必 修 1 P45第 5题 ）证 明 ： （ 1） 若 ， 则 ； （ 2） 若 ， 则 baxxf )( 2 )()()2( 2121 xfxfxxf baxxxg 2)( 2 )()()2( 2121 xgxgxxg 0422 2 222 22,2 2212221221 21222121221 212121 xxxxxx bxxaxxbxxaxx xgxgxxgRxx 则） 证 明 ： 对 于 任 意 的（ 2 )()()2( 2121 xgxgxxg 即 并 说 明 理 由 ；,Mxf
6、 设 定 义 域 为 R,且 对 任 意 实 数 ， 都 满 足 不 等 式 的 所 有 函 数 组 成 的 集 合 记 为 M.(1)写 出 一 个 幂 函 数 ,使 得(2)(3)已 知 函 数 请 判 断 是 否 属 于 集 合M?若 是 ,请 证 明 ;若 不 是 ,请 说 明 理 由 ,并 适 当 改 变 ,使得 21,xx 22 2121 xfxfxxf xf xf 并 说 明 理 由 ；使 得写 出 一 个 幂 函 数 , Mxfxf ,0, ,0,2 xx xxxf xfy xfy .Mxf 例 2（ 2011年 上 海 春 季 高 考 ） ： 的 幂 函 数 ；形 如解 ：
7、*2 ,1 Nnxxf n 容 易 看 出 ；满 足 条 件 ， 从 其 图 像 上3)2( xxf . ,2 21212 2121,21,21 .,)3( 21 2Mxf fffxx MMMxyMxy 故 则 有如 取 的 要 求不 满 足（ 原 点 ） 处 是 上 凸 的 ， 接 点， 如 图 所 示 ， 显 然 在 拼于的 分 段 函 数 却 不 一 定 属 来但 将 这 两 个 函 数 拼 接 起函 数 xo y 变 式 ： 若 函 数 ， 请 判 断 是 否 属 于 集 合 M 1, 1,)( 2 xx xxxf xfy 显 然 成 立，证 明 ： 当 ,11, 2,12,1 xxx
8、xy xo 1 2222 221,)1( 2,1,1, 212122121 21210 02121 xxfxxxxxfxf xxxxfx xxxxx 时 ，当 令不 妨 设 Mxfy xfxfxxfxxxx xxxx xxxxxxxxx xxxxxfxfxxf 所 以 02202,04 2 4 224 22 2222)2( 21212121 2121 1222211212221 2212212121 .0,21 0, 是 凹 函 数思 考 ： 证 明 xxxxxf 例 3： :（ 2006重 庆 高 考 ).如 图 所 示 ， 单 位 圆 中 弧 AB的 长 为 x，f(x)表 示 弧 AB与 弦 AB所 围 成 的 弓 形 面 积 的 倍 ， 则 函 数 y=f(x)的 图 象 是 （ ） A B C DD 本 节 课 你 学 到 了 什 么 ？1.函 数 凹 凸 性 定 义 以 及 其 特 征 ；2.函 数 凹 凸 性 的 判 定 方 法 .（ 定 义 法 ， 几 何 法 ，导 数 法 ）3.数 学 思 想 方 法 :数 形 结 合 .
函数的凹凸性在高考中的应用
