江西省八所重点中学2021届高三数学下学期4月联考试题文（含解析）

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1、江西省八所重点中学2021届高三数学下学期4月联考试题 文（含解析）一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|x1|2，Bx|x2，则AB（）A（0，3）B（1，4）C（2，3）D（1，3）2定义：若复数z与z满足zz1，则称复数z与z互为倒数已知复数zi，则复数z的倒数z（）AiBCD3若a20210.21，bsin，clog20210.21，则（）AcabBbacCbcaDcba4已知向量（3，4），（x，5），若（2+），则x（）A0B2C10D65已知角终边经过点P（，a），若，则a（）ABCD6执行如图所示的程序框图，若输入的x为9，则输出y的值为（）A4B7C17D277函数f（x

2、）（x）cos（x）的图象可能为（）ABCD8设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，则有90|根据地理知识，某地区的纬度值约为北纬27.95，当太阳直射南回归线（此时的太阳直射纬度为23.5）时物体的影子最长，如果在当地某高度为h0的楼房北边盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡（如图所示），两楼的距离应至少约为h0的（）倍（注意tan38.550.80）A0.5倍B0.8倍C1倍D1.25倍9在ABC中，AB3，BC5，D为BC边上一点，且满足，此时则AC边长等于（）ABC4D10已知正项数列an满足，Sn是an的前n项和，且Snan2+14，则

3、Sn（）ABCDn2+3n11已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，F2关于其渐近线的对称点为P，并使得POF14F1PO（O为坐标原点），则双曲线的离心率e（）A2BCD12已知函数有两个零点a，b，且存在唯一的整数x0（a，b），则实数m的取值范围是（）ABCD二、填空题（每小题5分）.13已知实数x，y满足不等式组，则z2x+y的最小值是 14如图，根据已知的散点图得到y关于x的线性回归方程为x+0.2，则b 15函数f（x）cos（x+）+sin2x的最大值为 16在三棱锥PABC中，PAPBBC4，AC8，ABBC平面PAB平面ABC，若球Q是三棱锥PABC的外接球，则球O的表面积为

4、三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17已知正项等比数列an的前n项和为Sn，S37，a2a416（1）求数列an的通项公式；（2）设b11，当n2时，bn，求数列bn的前n项和Tn18江西全面推进城市生活垃圾分类，在2021年底实现“零”填埋据统计，截止2020年4月，全省11个设区市有1596个党政机关、2008个事业单位、369个公共场所、373个相关企业、51个示范片区、1752个居民小区开展了垃圾分类工作，覆盖人口248.1万人某校为了宣传垃圾分类

5、知识，面向该校学生开展了“垃圾分类知识”网络问卷调查，每位学生仅有一次参与机会，通过抽样，得到100人的得分情况，将样本数据分成50，60），60，70），70，80），80，90），90，100五组，并整理得到如图频率分布直方图：已知测试成绩的中位数为75（1）求x，y的值，并求出测试成绩的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）；（2）现用分层抽样从第四组和第五组按照比例抽选出6人进行垃圾分类知识竞答活动，再从中选出两人进行一对一PK，求抽出的两人恰好来自同一组的概率19如图，四边形ABCD是边长为2的菱形且ABC60，平面ABCD平面BDE，AFBE，ABBE，ABBE2，AF

6、1（1）求证：BE平面ABCD；（2）求三棱锥ADEF的体积20已知函数f（x）x2（a+2）x+alnx（1）当a2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若存在x1，+），使f（x）a成立，求实数a的取值范围21已知椭圆C：1（ab0），其上顶点与左、右焦点F1、F2围成的是面积为的正三角形（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F2的直线l（l的斜率存在）交椭圆C于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P，问：是否是定值？若是，求出定值；若不是，说明理由（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角

7、坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数，且t0），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos（+）1（1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若极坐标方程为（R）的直线与曲线C交于异于原点的点A，与直线l交于点B，且直线l交x轴于点M，求ABM的面积选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x2|+|x+1|（1）解不等式f（x）5；（2）若a、b为正实数，函数f（x）的最小值为t，已知2a+2bt，求的最小值答案一、选择题（每小题5分）.1已知集合Ax|x1|2，Bx|x2，则AB（）A（0，3）B（1，4）C（2，3）D（1，3）解：Ax|1

8、x3，Bx|x2，AB（2，3）故选：C2定义：若复数z与z满足zz1，则称复数z与z互为倒数已知复数zi，则复数z的倒数z（）AiBCD解：由题设可得：zi，故选：A3若a20210.21，bsin，clog20210.21，则（）AcabBbacCbcaDcba解：20210.21202101，a1，0b1，log20210.21log202110，c0，cba，故选：D4已知向量（3，4），（x，5），若（2+），则x（）A0B2C10D6解：因为（3，4），（x，5），所以2+（6+x，3），若（2+），则3（6+x）+120，故x10故选：C5已知角终边经过点P（，a），若，则a（）

9、ABCD解：角终边经过点P（，a），若，tan（），解得a故选：C6执行如图所示的程序框图，若输入的x为9，则输出y的值为（）A4B7C17D27解：执行如图所示的程序框图，若输入的x为9，第一次执行循环体后，否，x14，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，否，x9，满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，否，x4，是，y7，输出y；故输出y值为7故选：B7函数f（x）（x）cos（x）的图象可能为（）ABCD解：f（x）（x）cos（x）（x）sinx，则函数的定义域为x|x0，则f（x）（x+）sin（x）（x）sinxf（x），即f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，D，当0

10、x1时，sinx0，x0，则f（x）0，排除C，故选：B8设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，则有90|根据地理知识，某地区的纬度值约为北纬27.95，当太阳直射南回归线（此时的太阳直射纬度为23.5）时物体的影子最长，如果在当地某高度为h0的楼房北边盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡（如图所示），两楼的距离应至少约为h0的（）倍（注意tan38.550.80）A0.5倍B0.8倍C1倍D1.25倍解：由题意知，23.5，27.95，计算90|90|27.95（23.5）|38.55，计算冬至时楼房的影长为1.25h0，所以两楼的距离应至少约

11、为h0的1.25倍故选：D9在ABC中，AB3，BC5，D为BC边上一点，且满足，此时则AC边长等于（）ABC4D解：BC5，BD3，CD2，ADB，ABBD3，ABD为等边三角形，AD3，AC2AD2+DC22ACDCcos9+4232（）19，故AC，故选：D10已知正项数列an满足，Sn是an的前n项和，且Snan2+14，则Sn（）ABCDn2+3n解：由于Snan2+14，当n1时，整理得，即（2a1+7）（a14）0，故a14（舍去），当n2时，Sn1an12+14，得：，故（常数）所以数列an是以4为首项，为公差的等差数列；所以故故选：A11已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，F

12、2关于其渐近线的对称点为P，并使得POF14F1PO（O为坐标原点），则双曲线的离心率e（）A2BCD解：由题意可知|OP|OF1|OF2|，OPF1PF1O，OPF2PF2O，设OPF1，则OPF2+PF2OPOF14，由三角形的内角和定理可知6180，故30，PF1O30，PF1PF2，设|PF2|与渐近线y的交点为M，则|F2M|PF2|F1F2|，即F1（c，0）到直线bxay0的距离为，解得b，e故选：D12已知函数有两个零点a，b，且存在唯一的整数x0（a，b），则实数m的取值范围是（）ABCD解：根据题意，x（0，+）令f（x）0，则方程lnx+1mx20有两个解；令，则ym与h

13、（x）有两个交点，令h（x）0，则有；令h（x）0，则有0x，此时函数h（x）单调递增；令h（x）0，则有，此时函数h（x）单调递减；又，当时，h（x）0；又当x+时，lnx+1+，x2+当时，0h（x）作出函数简图如下：又h（1）1，根据题意，存在唯一整数x0（a，b）结合图象可得，h（2）mh（1）故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知实数x，y满足不等式组，则z2x+y的最小值是5解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），由z2x+y，得y2x+z，由图可知，当直线y2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为5故答案为：514如图，根据已知

14、的散点图得到y关于x的线性回归方程为x+0.2，则b1.6解：由散点图可知（1+2+3+4+5）3，（2+3+5+7+8）5，样本中心（3，5），代入回归直线方程可得53+0.2，解得1.6故答案为：1.615函数f（x）cos（x+）+sin2x的最大值为2解：f（x）cos（x+）+sin2xcos（x）+cos2（x）2cos2（x）+cos（x）1，又1cos（x）1，当cos（x）1时，f（x）2cos2（x）+cos（x）1取得最大值2+112，故答案为：216在三棱锥PABC中，PAPBBC4，AC8，ABBC平面PAB平面ABC，若球Q是三棱锥PABC的外接球，则球O的表面积为

15、80解：如图，由PAPBBC4，AC8，ABBC可得AB4，取AC中点F，则F是ABC的外心，取AB中点E，连接PE，则PEAB，又平面PAB平面ABC，PE平面ABC，设PAB的外心为G，则G在PE上，在PAB中，由PAPB4，AB4，得cosPAB，sinPAB，设PAB的外接圆半径为r，由2r，得r4，即PG4设三棱锥PABC外接球的球心为O，则OGEF2，OP2OG2+PG24+1620，三棱锥PABC外接球的表面积为42080故答案为：80三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作

16、答.（一）必考题：共60分.17已知正项等比数列an的前n项和为Sn，S37，a2a416（1）求数列an的通项公式；（2）设b11，当n2时，bn，求数列bn的前n项和Tn解：（1）设正项等比数列an的公比为q（q0），由题设可得：，解得：，an2n1；（2）由（1）可得：当n2时，bn，当n2时，Tnb1+b2+bn1+1+2，又当n1时，T1b11也适合，Tn218江西全面推进城市生活垃圾分类，在2021年底实现“零”填埋据统计，截止2020年4月，全省11个设区市有1596个党政机关、2008个事业单位、369个公共场所、373个相关企业、51个示范片区、1752个居民小区开展了垃圾分

17、类工作，覆盖人口248.1万人某校为了宣传垃圾分类知识，面向该校学生开展了“垃圾分类知识”网络问卷调查，每位学生仅有一次参与机会，通过抽样，得到100人的得分情况，将样本数据分成50，60），60，70），70，80），80，90），90，100五组，并整理得到如图频率分布直方图：已知测试成绩的中位数为75（1）求x，y的值，并求出测试成绩的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）；（2）现用分层抽样从第四组和第五组按照比例抽选出6人进行垃圾分类知识竞答活动，再从中选出两人进行一对一PK，求抽出的两人恰好来自同一组的概率解：（1）因为中位数为75，所以0.00510+10y+0.04

18、（7570）0.5，解得y0.025，又0.05+0.25+0.4+10x+0.11，解得x0.02，所以平均数为550.05+650.25+750.4+850.2+950.175.5；（2）第四组与第五组的比例为2：1，第四组抽选4人，则第五组抽选2人，从中选出两人一共有种可能，恰好来自同一组的一共有种可能，所以抽出的两人恰好来自同一组的概率为19如图，四边形ABCD是边长为2的菱形且ABC60，平面ABCD平面BDE，AFBE，ABBE，ABBE2，AF1（1）求证：BE平面ABCD；（2）求三棱锥ADEF的体积【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是边长为2的菱形，所以ACBD，又平面A

19、BCD平面BDE，且平面ABCD平面BDEDB，AC平面BDE，ACBE，又ABBE，ACABA，AB平面ABCD，AC平面ABCD，BE平面ABCD（2）解：AFBE，AF平面ABCD，VADEFVEADFVBADF，（BE平面ADF ），又4，三棱锥ADEF的体积为：20已知函数f（x）x2（a+2）x+alnx（1）当a2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若存在x1，+），使f（x）a成立，求实数a的取值范围解：（1）x0，f（x）2x（a+2）+，又1，f（x）0时，0x1或x，f（x）0，1x，f（x）在（0，1）递增，在（1，）递减，在（，+）递增；（2）存在x1，+）使得f（x

20、）a成立af（x）min，由（1）可得：a2时，f（x）minf（）a+alna，即ln2，令t，（t）lnt（t1），（t）（t1），（t）在（1，2）单调递增，在（2，+）单调递减，（t）max（2）ln212恒成立，即a2时，不等式恒成立，（另解：当a2时，f（x）在（1，）递减，在（，+）递增，f（x）minf（）f（1）1aa，解得：a，故a2；a2时，f（x）在x1，+）上单调递增，f（x）minf（1）a1a，解得：a，故a2，综合，a，即a的取值范围是（，+）21已知椭圆C：1（ab0），其上顶点与左、右焦点F1、F2围成的是面积为的正三角形（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C

21、的右焦点F2的直线l（l的斜率存在）交椭圆C于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P，问：是否是定值？若是，求出定值；若不是，说明理由解：（1）因为PF1F2为正三角形所以S（2c）2，解得c1，由对称性可得OBF230，|BF2|a，所以sinOBF2sin30，即，所以a2，所以b2a2c23，所以椭圆C的方程为+1（2）当直线l的斜率不为0时，设其方程为xmy+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（4+3m2）y2+6my90，所以，且x1+x2m（y1+y2）+2，所以弦MN的中点Q的坐标为（，），则弦MN的垂直平分线方程为ym（x），令y0，得xP，所以|PF|1，所

22、以|MN|y1y2|，所以4，当直线l的斜率为0时，|MN|4，|PF|1，所以4，综上所述，是定值且为4（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数，且t0），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为cos（+）1（1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若极坐标方程为（R）的直线与曲线C交于异于原点的点A，与直线l交于点B，且直线l交x轴于点M，求ABM的面积解：（1）曲线C的参数方程为（t为参数，且t0），根据关系式的变换

23、，整理得，转换为直角坐标方程为y24x直线l极坐标方程为cos（+）1，根据转换为，故直角坐标方程为（2）曲线C的直角坐标方程转换为极坐标方程为，极坐标方程为（R）的直线与曲线C交于异于原点的点A，与直线l交于点B，所以，整理得，|OA|，整理得B2，故|OB|2所以，则选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x2|+|x+1|（1）解不等式f（x）5；（2）若a、b为正实数，函数f（x）的最小值为t，已知2a+2bt，求的最小值解：（1）当x1时，则22x（x+1）5，x1，当1x1时，则22x+（x+1）5，1x1，当x1时，则2x2+（x+1）5，1x2，不等式的解集为，2（2）由（1）知，当x1时，f（x）13x（4，+），当1x1时，f（x）3x2，4，当x1时，f（x）3x1（2，+），f（x）的最小值为f（1）2，a+b1，+12+13，当且仅当ab时取等号，+的最小值为3