专题13几何动态综合题(解析版)1

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1、专题 13几何动态综合题一、运动型问题的类型按运动类型分：(1)点的运动 (单点运动、双点运动) ，(2)线的运动 (线段或直线的运动)，(3)形的运动 (三角形运动、四边形运动、圆的运动等) 按几何图形存在型分：(1)等腰三角形存在型，(2)直角三角形存在型，(3)等腰直角三角形存在型，(4)平行四边形存在型，(5)矩形、菱形、正方形存在型，(6)平分周长型，(7)平分面积型，(8)面积重叠型，(9)直线与圆相切型，(10)函数图象点的运动型二、动态几何解决方法1.解决点动型问题一是要搞清在点运动变化的过程中，哪些图形(如线段、三角形等)随之运动变化，并在点运动相对静止的瞬间，寻找变量的关系

2、；二是要运用好相应的几何知识；三是要结合具体问题，建立函数模型，达到解题目的2.解决线动型问题线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生面动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解解决线动类问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，从运动变化中得到图形的特殊位置，进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示3.解决形动类问题一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性，充分利用不变量来解决问题；二是要运用从特殊到一般的关系，探究图形运动变化过程中的不同阶段；三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质，这种方法能够使得问题解决的过程更

3、加简捷，结论更加准确核心考点几何动态综合题几何动态综合题是广东省中考的热点，一般分布在第24 题或第 25 题，属于压轴题，是中考试题中主要考查的一类题型【经典示例】 如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt ABC 和 Rt ADC 拼在一起，使斜边AC 完全重合，且顶点B， D 分别在 AC 的两旁， ABC=ADC =90 ， CAD =30 ， AB=BC=4 cm （ 1）填空： AD=（ cm）， DC =（ cm）；（ 2）点 M，N 分别从 A 点，C 点同时以每秒1 cm 的速度等速出发， 且分别在 AD，CB 上沿 A D，CB方向运动，当 N 点运动到 B 点时，

4、 M、N 两点同时停止运动，连接MN ，求当 M 、 N 点运动了 x 秒时，点 N 到 AD 的距离（用含x 的式子表示）；（ 3）在（ 2）的条件下，取DC 中点 P，连接 MP，NP ，设 PMN 的面积为 y（ cm2），在整个运动过程中， PMN 的面积 y 存在最大值，请求出y 的最大值（参考数据： sin75 =62 ， sin15 =62 ）44答题模板第一步，要搞清在点运动变化的过程中，哪些图形(如线段、三角形等)随之运动变化，并在点运动的相对静止的瞬间，寻找变量的关系第二步，要运用好相应的几何知识，相似三角形的性质，等腰三角形性质，直角三角形性质，特殊平行四边形的性质第三步

5、，要结合具体几何问题，建立函数模型【满分答案】（ 1） ABC=90， AB=BC=4 cm ， AC= AB2BC2 = 4242 =4 2， ADC =90， CAD =30， DC= 1 AC=2 2 ， 2 AD= 3 DC=2 6 ；故答案为： 26，22；（ 2）过点 N 作 NE AD 于 E，作 NF DC ，交 DC 的延长线于F ，如图所示：则 NE=DF ABC= ADC=90， AB=BC， CAD =30， ACB=45， ACD=60， NCF =180 4560=75， FNC =15， sin FNC= FC ， NC=x，NC FC=62 x，4 NE=DF

6、=62 x+2 2，4点 N 到 AD 的距离为622 ；x+24（ 3） sin NCF = FC ，NC FN=62x，4 P 为 DC 的中点， PD=CP= 2 ， PF=62 x+ 2 ，4 PMN 的面积 y=梯形 MDFN 的面积 PMD 的面积 PNF 的面积= 1（62 x+26x）（642 x+22 ） 1（26 x）21（62 x+2）（64224224x）=26x2+ 7322 x+23 ，84即 y 是 x 的二次函数，26 0，8 y 有最大值，73227322667310230832369216当 x=4时，y 有最大值为2=624246=16268【解题技巧】

7、本题通过点的运动考查了相似、勾股定理、三角函数、三角形面积的计算、二次函数的最值、等腰直角三角形的性质等知识. 在解题过程中要注意结合点的运动，通过作辅助线运用三角函数和二次函数才能快速准确地得出结果模拟训练1把RtABC和 RtDEF按如图摆放(点C 与E 重合 )，点B、 C(E)、F在同一条直线上已知ACBEDF 90， DEF 45，AC 8，BC 6，EF 10如图， DEF从图的位置出发，以每秒1 个单位的速度沿单位的速度沿与 AC 交于点CB 向 ABC 匀速移动，在DEF 移动的同时，点AB 向点 B 匀速移动；当点P 移动到点 B 时，点Q，连接 PQ，设移动时间为t(s)P

8、 从 ABC 的顶点 P 停止移动， DEFA 出发，以每秒1 个也随之停止移动DE（1） DEF 在平移的过程中，AP CE(用含 t 的代数式表示)；当点 D 落在上时，求t 的值（2）在移动过程中，当0 t5时，连接PE，设四边形APEQ 的面积为y，求 y 与 t 之间的函数关系式并试探究y 的最大值；RtABC的边AC是否存在 PQE为直角三角形？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）t；5；（ 2） y 9 t 232t (0t 5)，当 t32 时， y 最大值 512 ；存在，当t 10 或1059453t 4 时， PQE 是直角三角形【解析】（ 1）

9、如图 1， DEF 在平移的过程中，APCE t；当 D 在 AC 上时，如图2，DEDF，EC CF 1 EF5，2 t 5（2）如图 3，过点 P 作 PM BC 于 M， BMP ACB 90， ABC PBM ， ACAB，PMPB 810，PM10tPM8 4t，5又 EDF 90， DEF 45， EQC DEF 45，CE CQ t， SSAC?BCEC?CQBE?PMy SACBECQPBE111222 1 86 1 tt 1 (6 t)(8 4 t)2225 9 t232t (0 t 5)，10 5 a 9 0，1032当 t b5 329（3223232512时， y 最大

10、值 ）+.2a9910959455存在i) 当 PQE 90时，如图 4，过点 P 作 PH BE 于 H，过点 P 作 PWAC 于 W， ABC APW， ABBCAC，即1068，APPWAWtPWAWPW 3 t，AW 4 t，55QW 8 4 t t 8 9 t， EH t 3 t 2 t ，5555由可得： CECQ t， PH 8 4t，5PQ2PW2+QW2 (3t)2+(89t)2 18t2 144t+64 ，5555PE2 PH2+EH 2 (8 4 t)2+( 2 t)2 4 t2 64 t+64，5555EQ2 CE2+CQ2 t2+t2 2t2， PQE 90，在 R

11、t PEQ 中， PQ 2+EQ2 PE2，即( 18 t2 144 t+64)+(2 t2) 4 t2 64 t+64 ，5555解得： t10(舍去 ) ， t2 10 ；3ii) 当 PEQ 90时， PE2+EQ2PQ 2，即( 4 t2 64 t+64)+(2 t2) 18 t 2 144 t+64 ，5555解得： t10(舍去 )， t2 20(舍去 )，此时不存在；iii) 当 EPQ 90时， PQ2+PE2 EQ2，即( 18t2 144t+64)+(4t2 64t+64) 2t2，5555解得： t1 40(舍去 )， t2 4，3综合上述：当t 10 或 t 4 时，

12、PQE 是直角三角形3【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，动点运动的问题，相似的判定与性质以及分类讨论思想的运用，能利用图形准确画图并确定各条线段的长是解决问题的关键（ 1）先根据运动的时间和速度可得： AP=CE=t；并计算当 D 在 AC 上时，结合图形根据等腰直角三角形的性质可得 t 的值；（2）结合图形根据y=SACB-SECQ-SPBE 代入可得y 与 t 的关系式，利用二次函数的顶点坐标可得结论；假设存在 PQE 为直角三角形，分别以三个顶点为直角，利用勾股定理列方程，解方程可得结论1（ 2018深圳） 如图， ABC 内接于 O，BC 2，AB

13、 AC，点 D 为 AC 上的动点， 且 cos ABC1010（ 1）求 AB 的长度；（ 2）在点 D 的运动过程中，弦 AD 的延长线交 BC 延长线于点 E，问 AD AE 的值是否变化？若不变，请求出 AD AE 的值；若变化，请说明理由；（ 3）在点 D 的运动过程中，过A 点作 AH BD ，求证： BH CD +DH 【答案】（ 1）10 ；（ 2）不变化， AD AE 10；（ 3）见解析 .【解析】（ 1）作 AM BC， AB AC， AM BC， BC 2BM， BM1BC 1，2BM10 cosABC，AB10在 RtAMB 中， BM 1，BMAB10 .cosAB

14、C（ 2）连接 DC ， AB AC， ACB ABC，四边形ABCD 内接于圆O， ADC + ABC 180， ACE+ ACB180， ADC ACE， CAE 公共角， EAC CAD， ACAE ，ADAC AD AE AC2 10.（ 3）在 BD 上取一点 N，使得 BN CD ，ABAC在 ABN和 ACD中，31，BNCD ABN ACD（ SAS）， AN AD， AN AD，AH BD，NHHD， BN CD， NH HD ， BN+NH CD+HD BH2（ 2018广州）如图，在四边形ABCD 中， B60， D 30， AB BC（ 1）求 A+ C 的度数；（ 2

15、）连接 BD ，探究 AD， BD ， CD 三者之间的数量关系，并说明理由；（ 3）若 AB 1，点 E 在四边形ABCD 内部运动，且满足AE2 BE2+CE2，求点 E 运动路径的长度【答案】（ 1） 270；（ 2） DB 2 DA 2+DC2，理由见解析； （ 3）.3【解析】（ 1）如图 1 中，在四边形ABCD 中， A+ B+ C+ D 360， B 60， D 30， A+ C 360 60 30 270（ 2）如图2222 中，结论： DBDA +DC理由：连接BD以 BD 为边向下作等边三角形 BDQ ABC DBQ 60， ABD CBQ， AB BC，DB BQ， A

16、BD CBQ， AD CQ， A BCQ， A+ BCD BCQ+ BCD 270， DCQ 90， DQ 2DC 2+CQ2 ，CQDA，DQ DB ， DB 2 DA 2+DC2（ 3）如图 3 中，连接 AC，将 ACE 绕点 A 顺时针旋转 60得到 ABR，连接 RE则 AER 是等边三角形， EA2 EB2 +EC2，EA RE，EC RB， RE2 RB2 +EB 2， EBR 90， RAE+ RBE 150， ARB+ AEB AEC + AEB 210， BEC 150，点 E 的运动轨迹在以 O 为圆心的圆上，在 O 上取一点 K，连接 KB， KC ， OB， OC，

17、K + BEC 180， K 30， BOC 60， OBOC， OBC 是等边三角形，点 E 的运动路径60 118033（ 2017广东） 如图，在平面直角坐标系中， O 为原点，四边形 ABCO 是矩形，点 A，C 的坐标分别是A（0，2C23， 0），点 D 是对角线 AC 上一动点（不与A， C 重合），连接 BD，作 DE DB ，交 x 轴）和（于点 E，以线段 DE， DB 为邻边作矩形 BDEF （ 1）填空：点 B 的坐标为；（ 2）是否存在这样的点D，使得 DEC 是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（ 3）求证： DE3 ；DB3设 AD =

18、x，矩形 BDEF 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式 （可利用的结论） ，并求出 y 的最小值【答案】（ 1）（23 ， 2），（2）存在，理由见解析， （ 3）见解析， y=3 x2 2 3 x+4 3 ， x=3 时，3y 有最小值 3 【解析】（ 1）四边形AOCB 是矩形， BC=OA=2， OC=AB=2 3 ， BCO= BAO=90， B（ 2 3 ，2）故答案为（ 23 ， 2）（ 2）存在理由如下：连接 BE ，取 BE 的中点 K，连接 DK 、 KC BDE = BCE=90， KD=KB =KE =KC ， B、 D、 E、C 四点共圆， DBC = DCE

19、， EDC= EBC， tan ACO= AO = 3 ， OC 3 ACO=30， ACB=60如图 1 中， DEC 是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC， DBC = DCE= EDC= EBC=30， DBC = BCD=60， DBC 是等边三角形， DC=BC =2，在 RtAOC 中， ACO=30， OA=2， AC=2 AO=4， AD=AC CD=4 2=2当AD =2时，DEC是等腰三角形如图2 中，DCE是等腰三角形，易知CD =CE， DBC = DEC= CDE=15， ABD = ADB=75， AB=AD=23 ，综上所述，满足条件的AD的值为 2或23（

20、 3）由（ 2）可知， B、 D、 E、C 四点共圆， DBC = DCE=30， tan DBE = DE ，DBDE=3 DB3如图 2 中，作 DH AB 于 H在 RtADH 中， AD =x， DAH = ACO=30，DH= 1AD =1x AH =AD2DH2=3 x，22，2 BH=23 3 x，2在 RtBDH 中， BD = BH 2DH2=( 1 x)2(2 33 x)2 ，22 DE= 3 BD=3 ?( 1 x) 2(2 33 x)2 ，3322矩形 BDEF 的面积为 y= 3 ( 1 x) 2(2 33 x) 2 2=3 （ x26x+12 ），3223即 y=3

21、 x2 2 3 x+43 ，3 y=3 （x 3） 2+3 ，33 0，3 x=3 时， y 有最小值3 4已知： Rt EFP 和矩形 ABCD 如图摆放（点P 与点 B 重合），点 F， B（P）， C 在同一条直线上，AB EF 6 cm，BC FP 8 cm， EFP 90。如图， EFP 从图的位置出发， 沿 BC 方向匀速运动，速度为 1 cm/s；EP 与 AB 交于点 G同时， 点 Q 从点 C 出发， 沿 CD 方向匀速运动， 速度为 1 cm/s过Q 作 QM BD ，垂足为H，交 AD 于 M，连接 AF， PQ，当点 Q 停止运动时，EFP 也停止运动设运动时间为t（

22、s）（ 0 t6），解答下列问题：（ 1）当 t 为何值时， PQ BD？（ 2）设五边形 AFPQM 的面积为 y（ cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；（ 3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使 S 五边形 AFPQM S 矩形 ABCD =9 8？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（ 4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点 M 在 PG 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由【答案】（ 1） t= 24；（2） y1 t 25 t117；（ 3） t=2 ， 9:8；（4） t=32782217【解析】（ 1）若 PQ BD，则 CPQ CB

23、D ，可得 CPCQ ，CBCD即 8 tt，8624解得 t=，（ 2）由 MQD +CDB =CBD + CDB =90，可得 MQD = CBD，又 MDQ = C=90， MDQ CBD ，MDDQ，CDBC即 MD6t ，68解得 MD = 3 （6-t），4所以 yS AEFS梯形 ABCDS CPQSMDQ，=1AB BFABBC1 PCCQ1MD DQ ，222=168681(8 t )t1 3 (6 t) (6 t) ，2224即 y1 t 25 t117 822（ 3）假使存在 t ，使 S 五边形 AFPQM S 矩形 ABCD =9 8，则 y= 8S矩形 ABCD =

24、54，即1t25t11754 ，9822整理得 t2-20t+36=0，解得 t1=2 ， t2=186（舍去）答：当 t=2， S 五边形 AFPQM S 矩形 ABCD =9 8（ 4）易证 PBG PEF ， BPFP，即t8， BG3t ，BGFEBG64则 AG63t ，4AM=AD -MD =8-3t )37，(6t244作 MN BC 于 N 点，则四边形MNCD 为矩形，所以 MN =CD=6， CN=MD = 3(6t ) ，故： PN=(8- t)-3(6t ) =7t，4424若 M 在 PG 的垂直平分线上，则GM =PM，所以 GM 2=PM 2，所以 AG2+AM 2=PN2 +MN2，即： (6-3t )2+(3t7)2=(7t)2+6 2，44224整理得： 17t232， t2=0（舍去）-32t=0，解得 t1=17