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1、3.2 第 3 课时向量法在空间垂直关系中的应用一、选择题1若直线l ，且l的方向向量为 (2 ，1，则为 ()1) ，平面 的法向量为 (1 ， ，2)m,m2A 4B 6C 8D 8 答案 C 解析 l ， l 与平面 的法向量垂直故 211 12 0，m2解得 m 8，故选 C.2若 (1 ，2,2) 是平面 的一个法向量， 则下列向量能作为平面 法向量的是 ()nA(1 ， 2,0)B (0 ， 2,2)C(2 ， 4,4)D (2,4,4) 答案 C 解析 (2 ， 4,4) 2(1 ， 2,2)2n，(2 ， 4,4) 可作为 的一个法向量3(2010 雅安高二检测 ) 已知向量a
2、 (1,1,0)， ( 1,0,2)，且与 2b互相bka ba垂直，则 k ()7A. 5B 13D.1C.55 答案 A 解析 ka b ( k 1， k, 2),2a b (3,2 ， 2) 若 ka b 与 2ab 垂直，则 ( kab) (2 ab) 0.即 3( k 1) 2k 40.7解得 k 5，故选 A.4已知 A(3,0 ， 1) 、 B(0 ， 2， 6) 、C(2,4 ， 2) ，则 ABC是()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形 答案 C- 1 - 解析 AB( 3， 2， 5) ， AC ( 1,4 ， 1) ，则 3( 1) 24 5 0.AB
3、ACAB AC，故 ABC为直角三角形故选 C.又| AB|AC|二、填空题5在直角坐标系 Oxyz 中，已知点 P(2cos x 1,2cos2 x 2,0)和点 Q(cos x， 1,3)，其中 x0 ， ，若直线 OP与直线 OQ垂直，则 x 的值为 _ 答案 2 或 3 解析 2cos2x 230 2cos22OP OQ cos x(2cos x 1)x cos x 2(2cosx 1) 22 2cos x cosx.2 2cos x cosx 0，1即 cos x 0 或 cos x2， 又 x0 ， ， x 2 或 3 .6已知点P是平行四边形所在平面外一点，如果 (2，1， 4)
4、 ， (4,2,0) ，ABCDABAD ( 1,2 ， 1) 对于结论： ； 是平面的法向量； .APAP ABAPADAPABCDAP BD其中正确的是 _ 答案 解析 AB AP2( 1) ( 1) 2 ( 4) ( 1) 2 2 40，则 AB AP. AP AD4( 1) 22 0 0，则 APAD， ， ， ，AP AB AP AD AB AD AAP平面 ABCD，故 AP是平面 ABCD的一个法向量三、解答题7已知、 、 、D是空间四个不同的点，求证：的充要条AB CAC BD2222件是 ADBC CD AB. 证明 设AB a，AC b，AD c，则 AC BD? b(c
5、a) 0? a b b c，- 2 -22222222222| a|2ADBC CD AB| | BC| CD| | AB|? | c| ( ba) | c b|? | AD? a b ，b c2222AC BD? AD BC CD AB.8如图， ABC中， AC BC，D为 AB边中点， PO平面 ABC，垂足O在上，求证： .CDAB PC 证明 设CA a， CBb， OP v.由条件知， v 是平面 ABC的法向量，v a 0，v b 0，为中点，1 ) ，DAB (aCD 2bO在 CD上，存在实数 ，使 (a ) ，COCD 2bCA CB，|a| |b| ， (ba) ( ab
6、) vABCP2 ( a b) (b a) ( b a) v222 2 (| a| | b|) b va v 0，AB CP， AB PC.9已知四棱锥 P ABCD的底面 ABCD是平行四边形，且PA底面，如果 ，求证是矩形ABCDBC PBABCD 证明 由条件知 AP AB， AP AD， AD BC，BC PB， BC PB 0， 0，即AD(ABAP)AD AB ADAP 0，AD AP0， AD AB 0，AD AB，四边形 ABCD为平行四边形，ABCD为矩形10如图，已知直三棱柱 11 1中， ，为的中点， 1.ABC A B CAC BC DABAC BC BB(1) 求证：
7、 BC1AB1；(2) 求证： BC1平面 CA1D.- 3 - 解析 如图，以 C1点为原点， C1A1，C1B1， C1C所在直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系设 AC BCBB 2，则 A(2,0,2)， B(0,2,2) ， C(0,0,2)， A (2,0,0)， B (0,2,0) ，111C1(0,0,0) ， D(1,1,2)(1 ) 1 (0 ， 2， 2) ， 1( 2,2 ， 2) ，BCABBC AB 04 4 0，11BC AB， BC AB.1111(2) 取 A C的中点 E， E(1,0,1)，1， ED (0,1,1)，又 BC (02，
8、2) ， ED 21111111111BC，且 ED和 BC不共线，则 ED BC. 又 ED? 平面 CAD， BC?平面CAD，故 BC平面CAD. 点评 第(2)问可求出 (1,1,0) ， 1 (2,0， 2) ， 1 (0 ， 2， 2) ，CDCABCBC1 2CD CA1，BC1与 CD、 CA1共面，1?平面1，1平面1 .BCCADBCCAD11111E11在棱长 AB AD2， AA 3的长方体 ABCD A B CD 中，点11F 是 CD的中点试确定点E 的位置，使是平面 BCCB 上的动点，点D1E平面 AB1F. 解析 建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)，
9、F(1,2,0)，1(2,0,3)，1(0,2,3)，设(2 ，) ?1 (2 ， 2， 3) ， BDEyzD EyzAF(1,2,0)， 1 (2,0,3)，ABD1E平面 AB1F，D E AF 0，11 1 0.D EAB- 4 -2 2( y 2) 0y 1，解得5即4 3( z 3) 0z 3.5E(2,1 ， 3) 即为所求12如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1 中，已知 AB 2， AA1 5，E、 F分别为 D1D、 B1B 上的点，且DE B1F 1.(1) 求证： BE平面 ACF；(2) 求点 E 到平面 ACF的距离 解析 (1) 证明：以D为原点，、 、1
10、所在直线分别为x、z轴建立如图所示空DA DC DDy间直角坐标系， 则 D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,5)，E(0,0,1)，F(2,2,4) 1AC ( 2,2,0)， AF (0,2,4)， BE ( 2， 2,1)， AE( 2，0,1)BE AC 0， BE AF0，BE AC，BE AF，且 AC AF A.BE平面 ACF.(2) 解：由 (1)知， BE为平面 ACF的一个法向量， 向量 AE在BE上的射影长，即为点 E 到平面 ACF的距离，设为 d.于是 d | AE|cos AE， BE |5AEBE3.|BE|故点E到平面的距离为5.ACF3- 5 -
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