131函数的单调性与最大（小）值

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1、2021-7-31 1 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟第 1课 时 2021-7-31 2 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 自 学 检 测 xyo x 1 x2 ( )y f x1( )f x 2( )f x 问 题 1: 怎 样 定 义 “ 函 数 在 区 间 D上 是 增 函 数 ” ？( )f x问 题 2： 函 数 在 区 间 D上 是 增 函 数 ,其 图 像 有 何 特 征 ？( )f x 对 于 函 数 定 义 域 I内 某 个 区 间 D上 的 任 意 两 个自 变 量 的 值 ， 若 当 时 ， 都 有 则 称 函 数 在 区 间 D上 是 增 函 数 ， 这

2、 个 区 间 D就叫 做 函 数 的 单 调 递 增 区 间 . ( )f x1 2,x x 1x 2x 1( )f x 2( )f x( )f x( )f x 2021-7-31 3 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 自 学 检 测 问 题 3: 怎 样 定 义 “ 函 数 在 区 间 D上 是 减 函 数 ” ？( )f x问 题 4： 函 数 在 区 间 D上 是 减 函 数 ,其 图 像 有 何 特 征 ？( )f x 对 于 函 数 定 义 域 I内 某 个 区 间 D上 的 任 意 两 个自 变 量 的 值 ， 若 当 则 称 函 数 在 区 间 D上 是 减 函 数 ， 这

3、 个 区 间 D就叫 做 函 数 的 单 调 递 减 区 间 . ( )f x1 2,x x 1x 2x 1( )f x 2( )f x( )f x( )f x xyo x 1 x2 2( )f x( )y f x1( )f x 2021-7-31 4 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 自 学 检 测 问 题 6： 函 数 单 调 区 间 是 怎 样 的 ？2xy 问 题 7： 函 数 单 调 区 间 是 怎 样 的 ？xy 3问 题 5： 函 数 单 调 性 是 怎 样 的 ？12 xy )0( kbkxy )0(2 acbxaxy )0( k xky 2021-7-31 5 高 一

4、年 级 数 学 组 甘 林 蛟 释 疑 解 惑 2021-7-31 6 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 理 论 迁 移 例 1 作 出 函 数 的 图 象 ， 根 据 图 象 ， 说 出 函 数 单 调 区 间 ， 以 及 在 每 一 单 调 区 间 上 ， 函 数 是 增 函 数 还 是 减 函 数 . 2( ) 2f x x x ( )f x( )f x 2021-7-31 7 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 例 2 物 理 学 中 的 玻 意 耳 定 律 告 诉 我 们 ， 对 于 一 定 量 的 气 体 ， 当 其 体 积 V减 小 时 ， 压 强 p将 增 大 . 试

5、 用 函 数 的 单 调 性 证 明 .( )kP kV 为 正 常 数 理 论 迁 移 2021-7-31 8 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 理 论 迁 移 例 3 试 探 究 函 数 在 上 的 单 调 性 .xxy 4 ),0( 变 式 ： 试 探 究 函 数 在 上 的 单 调 性 .)0( kxkxy ),0( 2021-7-31 9 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 理 论 迁 移 例 4 试 探 究 函 数 在 上 的 单 调 性 .xxy 4 ),0( 变 式 1： 试 探 究 函 数 在 上 的 单 调 性 .xxy 4 )0,(变 式 2： 试 探 究 函

6、数 在 上 的 单 调 性 .)0( kxkxy ),0( 2021-7-31 10 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟第 2课 时 2021-7-31 11 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 自 学 检 测 问 题 1： 对 于 函 数 定 义 域 内 某 个 区 间 D上 的 任 意 两 个 自 变 量 的 值 ， 若 ， 则 函 数 在 区 间 D上 的 单 调 性 如 何 ？)(xf )(, 2121 xxxx 0)()( 21 21 xx xfxf)(xf 若 呢 ？ 0)()( 21 21 xx xfxf 2021-7-31 12 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟

7、自 学 检 测 问 题 2： 若 函 数 在 区 间 D上 为 增 函 数 ， 为 常 数 ， 则 函 数 、 的 单 调 性 如 何 ？)(xf axf )( )(xaf )0( aa 2021-7-31 13 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 自 学 检 测 问 题 3： 若 函 数 、 在 区 间 D上 都 是 增 函 数 ， 则 函 数 、 在 区 间 D上 的 单 调 性 能 否 确 定 ？ )(xf )(xg)()( xgxf )()( xgxf 2021-7-31 14 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 自 学 检 测 思 考 4： 若 函 数 在 区 间 D上 是

8、增 函 数 ， 则 函 数 在 区 间 D上 是 增 函 数 吗 ？ 函 数 在 区 间 D上 是 增 函 数 吗 ？)(xf )(xf)(1xf 2021-7-31 15 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟已 知 函 数 对 于 任 意 ， 总 有 ，且 当 时 ， .求 证 ： 是 上 的 减 函 数 . )()()( yxfyfxf 1x 0)( xf)(xf yx,)(xf ),0( 已 知 函 数 对 于 任 意 ， 总 有 ，且 当 时 ， .求 证 ： 是 R上 的 减 函 数 . )()()( yxfyfxf 0 x 0)( xf)(xf yx,)(xf 自 学 检 测 2

9、021-7-31 16 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 例 1 若 的 在 定 义 域 R 上 为 减 函 数 ， 试 比 较 与 的 大 小 关 系 . )(xf )43(f )1( 2 aaf 理 论 迁 移 2021-7-31 17 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 例 2 已 知 函 数 ， 对 于 任 意 ， 都 有 ， 试 比 较 的 大 小 . xcbxxxf 2)( )2()2( xfxf )4(),2(),1( fff 理 论 迁 移 2021-7-31 18 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 例 3 已 知 函 数 在 上 是 减 函 数 ， 求 的 取

10、 值 范 围 .2( ) 2(1 ) 2f x x m x ( ,4m 理 论 迁 移 2021-7-31 19 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 理 论 迁 移 例 4 已 知 函 数 在 区 间 0， 4上 是 增 函 数 ， 求 实 数 的 取 值 范 围 .a xaxxf 2)( 2 2021-7-31 20 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 理 论 迁 移 例 5 已 知 函 数 对 于 任 意 ， 总 有 且 当 时 ， . 求 证 ： 是 上 的 增 函 数 ； 若 ， 解 不 等 式 . ( )f x ,a b( ) ( ) 1f a f b ( ),f a b0

11、x ( ) 1f x ( )f x R(4) 5f 2(3 2) 3f m m 2021-7-31 21 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟第 3课 时 2021-7-31 22 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 自 学 检 测 观 察 下 列 两 个 函 数 的 图 象 ： o x0 xMy问 题 1:这 两 个 函 数 图 象 有 何 共 同 特 征 ？问 题 2:设 函 数 y=f(x)图 象 上 最 高 点 的 纵 坐 标 为 M， 则 对 函 数 定 义 域 内 任 意 自 变 量 x， f(x)与 M的 大 小 关 系 如 何 ？函 数 图 象 上 最 高 点 的 纵 坐

12、 标 叫 什 么 名 称 ？y xo x0M 2021-7-31 23 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 自 学 检 测 问 题 3:设 函 数 ， 则 成 立 吗 ？ 的 最 大 值 是 2吗 ？ 为 什 么 ？2( ) 1f x x ( ) 2f x ( )f x ( )f x问 题 4:怎 样 定 义 函 数 的 最 大 值 ？ 用 什 么 符 号 表 示 ？ 一 般 地 ， 设 函 数 y=f(x)的 定 义 域 为 I，如 果 存 在 实 数 M满 足 ： （ 1） 对 于 任 意 的 x I， 都 有 f(x)M; （ 2） 存 在 x0 I， 使 得 f(x0) = M那

13、么 ， 称 M是 函 数 y=f(x)的 最 大 值 Mxf max)( 2021-7-31 24 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 自 学 检 测 问 题 5:函 数 的 最 大 值 是 函 数 值 域 中 的 一 个 元 素 吗 ？ 如 果 函 数 的 值 域 是 (a,b)， 则 函 数 存 在 最 大 值 吗 ？ ( )f x( )f x问 题 6:函 数 有 最 大 值 吗 ？ 为 什 么 ？ 2 1, ( 1, )y x x 2021-7-31 25 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 自 学 检 测 问 题 7:仿 照 函 数 最 大 值 的 定 义 ， 怎 样 定 义

14、 函 数 的 最 小 值 ？ ( )f x一 般 地 ， 设 函 数 y=f(x)的 定 义 域 为 I， 如 果 存 在 实 数 M满 足 ： （ 1） 对 于 任 意 的 x I， 都 有 f(x)M; （ 2） 存 在 x0 I， 使 得 f(x0) = M那 么 ， 称 M是 函 数 y=f(x)的 最 小 值 Mxf min)( 2021-7-31 26 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 自 学 检 测 2. 函 数 最 大 （ 小 ） 值 应 该 是 所 有 函 数 值 中 最 大 （ 小 ） 的 ， 即 对 于 任 意 的 x I， 都 有 f(x)M（ f (x)M） 注

15、 意 ：1. 函 数 最 大 （ 小 ） 值 首 先 应 该 是 某 一 个 函 数 值 ， 即 存 在 x0 I， 使 得 f (x0) = M；3. 最 大 值 和 最 小 值 统 称 为 最 值 2021-7-31 27 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 思 考 1:如 果 在 函 数 定 义 域 内 存 在 x1和 x2， 使 对 定 义 域 内 任 意 x都 有 成 立 ， 由 此 你 能 得 到 什 么 结 论 ？1 2( ) ( ) ( )f x f x f x ( )f x思 考 2:对 一 个 函 数 就 最 大 值 和 最 小 值 的 存 在 性 而 言 ， 有 哪

16、几 种 可 能 情 况 ？( )f x思 考 3:如 果 函 数 存 在 最 大 值 ， 那 么 有 几 个 ？思 考 4:如 果 函 数 的 最 大 值 是 b， 最 小 值 是 a， 那 么 函 数 的 值 域 是 a， b吗 ？( )f x( )f x 自 学 检 测 2021-7-31 28 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 例 1 已 知 函 数 ， 求 函 数 的 最 大 值 和 最 小 值 . 2 , 2,61f x xx ( )f x 理 论 迁 移 2021-7-31 29 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 理 论 迁 移 例 2 求 下 列 函 数 的 最 小

17、值22 2 2 1(1) ( ) (0 )4(2) ( ) 2 2 1,1x xf x xxf x x ax x 2021-7-31 30 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 理 论 迁 移 单 调 法 求 函 数 最 值 ： 先 判 断 函 数 的 单 调 性 ， 再 利 用 其 单 调 性 求 最 值 ；常 用 到 以 下 一 些 结 论 ： 如 果 函 数 y=f(x)在 区 间 a,b上 单 调 递 增 ， 则 函 数 y=f(x)在 x=a处 有 最 小 值 f(a) ,在 x=b处 有 最 大 值 f(b) ； 如 果 函 数 y=f(x)在 区 间 a,b上 单 调 递 减

18、， 则 函 数 y=f(x)在 x=a处 有 最 大 值 f(a),在 x=b处 有 最 小 值 f(b). 如 果 函 数 y=f(x)在 区 间 （ a,b上 递 增 ， 在 区 间 b,c)上 递 减 ， 则 函 数 y=f(x)在 x=b处 有 最 大 值 f(b). 如 果 函 数 y=f(x)在 区 间 （ a,b上 递 减 ， 在 区 间 b,c)上 递 增 ， 则 函 数 y=f(x)在 x=b处 有 最 小 值 f(b). 2021-7-31 31 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 课 时 小 结 利 用 定 义 确 定 或 证 明 函 数 f(x)在 给 定 的 区

19、间 D上 的单 调 性 的 一 般 步 骤 ： 1.取 数 :任 取 x1， x2 D， 且 x1x2； 2.作 差 :f(x1) f(x2)； 3.变 形 :通 常 是 因 式 分 解 和 配 方 ; 4.定 号 :判 断 差 f(x1) f(x2)的 正 负 ; 5.定 论 :指 出 函 数 f(x)在 给 定 的 区 间 D上 的 单 调 性 . 2021-7-31 32 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 自 主 学 习 册 训 练 案 ： 类 题 和 类 题 自 主 作 业 2021-7-31 33 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 自 学 检 测 21 xx 0)()( 21 xfxf )()(: 21 xfxf 即证 明 ： （ 取 值 ）（ 作 差 ）（ 定 论 ） （ 定 号 ） .,),(, 2121 xxxx 且上 任 意 两 个 实 数是 区 间设 )12()12()()( 2121 xxxfxf 0 21 xx .),(12)( 上 是 增 函 数在 区 间故 函 数 xxf （ 变 形 ）)(2 21 xx （ 比 较 大 小 ） .),(12)( 上 是 增 函 数在 区 间证 明 函 数 xxf 2021-7-31 34 高 一 年 级 数 学 组 甘 林 蛟 )(xf 0)()( 21 21 xx xfxf