高考数学一轮复习4.10三角函数的应用教案

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1、4.10三角函数的应用知识梳理1. 三角函数的性质和图象变换.2. 三角函数的恒等变形 .三角函数的化简、求值、证明多为综合题，突出对数学思想方法的考查.3. 三角函数与其他数学知识的联系.特别要注意三角与几何、三角与平面向量的联系.点击双基1. 已知 sin+cos= 1，0 ，则 tanx等于xx5xA. 4 或 3B. 4343C. 3D. 4 或 3434解析：原式两边平方得2sin xcosx= 2425 2sin xcos x=2412sin xcos x=49sin xcos x=7 ，25255可得 sin x= 4， cos x= 3 . tan x= 4 .553答案： B

2、2. （ 2001 年春季北京）若 A、 B 是锐角 ABC的两个内角，则点P（cos B sin A， sin Bcos A）在A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限解析：为锐角三角形，+ . ， A.ABCA B2AB B22 sin A cosB， sin B cosA. P在第二象限 .答案： B3. （ 2004 年北京西城区一模题）设 0 | | ，则下列不等式中一定成立的是4A.sin2 sin B.cos2 cosC.tan2 tan D.cot2 cot 解析：由0| | ，知 0 2| | 且 2| | | | ，42 cos2| | cos| |. cos

3、2 cos .答案： B4.（ 2003 年上海）若 x= 是方程 2cos（ x+ ）=1 的解，其中 （ 0，2 ），则 =_.3解析： x= 是方程 2cos（ x+） =1 的解， 2cos（ + ）=1，即 cos （ + ） = 1 .3332- 1 -又 （ 0，2 ）， + （ ， 7 ） . += 5. = 4 .3333334答案：5. （ 2004 年北京西城区二模题，理）函数y=sin x（sin x+ 3 cos x）（ x R）的最大值是_.解析：原式 =sin 2x+3 sin xcos x= 1 cos 2 x +3 sin2 x=3 sin2 x 1 cos2

4、x+ 1=sin （2x22222 ） + 1 ，其最大值为 1+ 1= 3 .6222答案： 32典例剖析【例 1】 化简 cos （ 3k1 + ） +cos（ 3k1 ）（ kZ） .33剖析：原式 =cos（k + +） +cos（ k ） =cosk +（ + ） +cos k333（ + ） .3解：原式=cos k +（ + ） +cos k （ + ） =2cos k cos （ + ） =3332（ 1） k （ cos cos sinsin ） =（ 1） k （ cos 3 sin ）， k Z.33【例 2】 已知 sin （ + ） = 2， sin （ ） = 1，

5、求 tan的值 .35tan解：由已知得sincoscossin2 ，3sincoscos1sin.5所以 sin cos = 13 ， cos sin = 7. 从而 tan= sincos= 13 .3030tancossin7思考讨论由不解 sin cos 、 cos sin ，能求 tan吗 ?tan提示：，弦化切即可，读者不妨一试.【例 3】 求函数 y= 2 sin x（1sin x） ，x（ 0， ）的值域 .3cos 2 x4 sin x2剖析：将原函数中三角函数都化成单角的正弦函数，再换元将其转化为一元函数求解解： y=2 sin x（1sin x）sin 2x sin x3

6、 （1 2 sin 2=.x） 4 sin xsin 2 x2 sin x 1设 t =sin x，则由 x（ 0， ）t （ 0， 1） .2.- 2 -t2t（t2（）232）对于 y=13 t1= 1+，2（22t2t1t）t1 （ t）11令1 =， （ 1， 1），则y= 22+3 1= 2（ 3）2+ 1 .tm m2mmm814当 m= 3 （ 1 ， 1）时， ymax= 1 ，428当 m= 1 或 m=1 时， y=0. 20 y 1 ，即 y（ 0， 1 .88评述：本题的解法较多，但此方法主要体现了换元转化的思想，在换元时要注意变量的范围 .闯关训练夯实基础1. （ 2

7、002 年春季北京）若角 满足条件 sin2 0， cos sin 0，则 在A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限解析： sin2 0， 2 在第三、四象限. 在第二、四象限. 又 cos sin 0， 在第二象限 .答案： B2. （ 2002 年春季上海）在 ABC中，若 2cos B sin A=sin C，则 ABC的形状一定是A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C.等腰三角形D. 等边三角形解析： 2cosB sin A=sin C=sin （ A+B）sin （ A B）=0，又 、 、为三角形的内角，= .A BCA B答案： C3. （ 2005年启东市高三年

8、级第二次调研考试题）在斜ABC中， sin= cos cosC且ABtan Btan C=1 3 ，则 A 的值为A. B. C. 2 D. 5 6336解 析 ： 由= （+）， sin = cos cosC得sin （ +） = cos cosC， 即AB CABB CBsin Bcos C+cos Bsin C= cos Bcos C. tan B+tan C= 1.又 tan （ B+C） = tan Btan C= tan B tan C =1 =3 ，1 tan B tan C333 tan A=3 ， tan A= 3 .又 0 A ， A= .336答案： A4. 函数 y=s

9、in x cos x 的图象可由 y=sin x+cos x 的图象向右平移 _个单位得到 .解析：由 y1=sin x+cos x= 2 sin （ x+ ），得 x1= （周期起点） .44- 3 -由 y2=sin x cos x= 2sin （x ），得 x2= （周期起点） .44答案： 25. 函数 y= 1 sin （ 2x）的单调递减区间及单调递增区间分别是_.243解析： y= 1sin （ 2x）= 1sin （ 2x ） .243234故由 2k 2x 2k + 23423k 3 x 3k+ 9 （ k Z），为单调减区间；88由 2 + 2x 2k + 3 3k9 3k

10、 +21（ Z），为单调增区间 .k342+xk288答案： 3k 3 ， 3k + 9 （ k Z）； 3k + 9 ， 3k + 21 （ k Z）88886. 已知 0 x ，则函数 y=4 2 sin xcos x+cos2x 的值域是 _.2解析：可化为y=3sin （ 2x+ ），其中 cos= 22 ，sin= 1 ，且有 2x+ + .33ymax=3sin =3， ymin=3sin （ +） = 3sin=1.2值域是 1， 3 .答案： 1， 3培养能力7. 设 a=（ sin x 1， cos x 1），b=（2，2） .22（1）若 a 为单位向量，求x 的值；（2）

11、设 f （x） =a b，则函数 y=f （ x）的图象是由y=sin x 的图象按 c 平移而得，求 c.解：（ 1） | a|=1 ，（ sin x 1） 2+（ cos x 1） 2=1，即 sin x+cosx=1， 2sin （ x+ ）4=1，sin （ x+ ） =2， x=2k或 x=2k+ ， kZ.422（2） ab=sin （ x+ ） 2 . f （x） =sin （ x+ ） 2 ，44由题意得 c=（ ，2 ） .48. 求半径为R的圆的内接矩形周长的最大值.- 4 -解：设 BAC= ，周长为 P，则 P=2AB+2BC=2（ 2Rcos +2Rsin ） =42

12、 Rsin （ + ） 42 R，4当且仅当 = 时，取等号 . 周长的最大值为42 R.4探究创新9.（2004 年北京东城区高三第一次模拟考试）在 ABC中，若 sin C（ cos A+cos B）=sin A+sin B.（ 1）求 C的度数；（ 2）在 ABC中，若角 C所对的边 c=1，试求内切圆半径 r 的取值范围 .解：（ 1） sin C（ cos A+cos B） =sin A+sin B，2sincos A Bcos AB =2sinA B cos AB .C2222在中， A B .ABC222 cos A B 0. 2sin 2 C cos C =cos C ，（ 1

13、 2sin 2 C ） cos C =0.222222（ 1 2sin2 C ） =0 或 cos C =0（舍） .22 0 C ， C= .2（2）设 Rt 中，角A和角B的对边分别是、 ，则有=sin，=cos .ABCabaA bA ABC的内切圆半径 r = 1（ a+b c） = 1 （ sin A+cos A 1）22=2 sin （ A+ ） 1 21 .2422 ABC内切圆半径 r 的取值范围是0r 21 .2思悟小结三角函数是中学教材中一种重要的函数，它的定义和性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能考查的重要内容之一，同时，由于三角函数和代数、几何知识联系密切

14、，它又是研究其他各类知识的重要工具，因此应重视对知识理解的准确性，加强对三角知识工具性的认识 .教师下载中心教学点睛1. 因本节是三角函数的应用，建议教学中让学生自己总结一下三角函数本身有哪些应用，使知识能条理化并形成一个网络 .2. 总结本章涉及的数学思想方法，以及与三角相关联的一些知识点.拓展题例【例 1】 已知 cos B=cos sin A， cos C=sin sin A.222分析：本题为条件恒等式的证明，要从条件与要证的结论之间的联系入手，将结论中的 sin 2B、 sin 2C都统一成角 A 的三角函数 .证法一： sin 2 A+sin 2B+sin 2C=sin 2A+ 1

15、（ cos sin A） 2+ 1（ sin sin A） 2=sin 2A+1 cos2 sin 2A+1 sin 2 sin 2A- 5 -=sin 2 （ 1 sin22 sin2 +1A ） +1cosA=sin 2Acos 2 sin2Acos 2+2=2.原式成立 .证法二：由已知式可得cos = cos B ， sin = cos C .sin Asin A平方相加得 cos2 +cos 2 =sin21cos 2 B+ 1 cos 2C =sin2BCA22Acos2 B+cos2C=2sin2A 2.12sin 2B+12sin 2C=2sin 2A 2， sin 2A+si

16、n 2B+sin 2C=2.【例 2】 函数 f （ x）=1 2a 2acos x2sin 2x 的最小值为g（a）， aR，（ 1）求 g（a）；（ 2）若 g（a） = 1 ，求 a 及此时 f （ x）的最大值 . 2解：（ 1） f （x） =1 2a 2acos x 2（ 1cos 2x） =2cos 2x 2acosx 12a2=2（ cos x a ） 2 a 2a1.2 2若 a 1，即 a 2，则当 cos x= 1 时，2f （x）有最小值 g（ a） =2（ 1 a ） 2 a 2 2a 1=1；22若 1 a 1，即 2a2，则当 cos= a 时，（）有最小值（）=

17、 a 2 2 1；2xfxg a2a2若 a 1，即 a 2，则当 cos x=1 时， f （ x）有最小值g（ a）=2（ 1 a ） 2 a 2 2a2221=1 4a.1（a），2g（ a） =a22 a 2），2a 1 （21 4a（a）2 .（2）若g（） = 1 ，由所求g（）的解析式知只能是a 2 2 1= 1或 1 4 = 1 .a2a2a2a22a2由a22a1a= 1 或 a= 3（舍） .212a2a= 1 （舍） .由4a1128此时 f （ x）=2（ cos x+121，得 f （ x） =5.）+22max若 g（ a）= 1，应 a= 1，此时 f （ x）的最大值是 5.2- 6 -