惯性矩的计算

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1、 附 录 截 面 几 何 性 质 1 静 矩 和 形 心 2 惯 性 矩 、 惯 性 积 和 惯 性 半 径 3 平 行 移 轴 公 式附 录截面几何性质 4 主 惯 性 轴 、 形 心 主 惯 性 轴 1 静 矩 和 形 心 Sy和 Sz分 别 称 为 整 个 截面 积 对 于 y轴 和 z轴 的 静 矩 。1 、 静 矩 和 形 心 的 定 义 Ay dAzS Az dAyS形心坐标 ASAdAyy ZAC ASAdAzz YAC 应用式 CZ yAS CY zAS CZ yAS CY zAS 0SZ 0yC 0SY 0z C 结 论 ： 若 图 形 对 某 一 轴 的 静 距 等 于 零

2、 ， 则 该 轴 必 然 通 过 图 形 的 形 心 ；若 某 一 轴 通 过 图 形 的 形 心 ， 则 图 形 对 该 轴 的 静 距 必 然 等 于 零 ；形 心 轴 ： 通 过 图 形 的 形 心 的 坐 标 轴 。 yiAy SdAzS ziAz SdAyS 10 10 125 80 C1 C2 y z 1 、 组 合 截 面 的 静 矩 和 形 心截 面 对 某 一 轴 的 静 距 等 于 其 组 成 部 分 对 同 一 轴 的 静 距 之 和 。 其 中 ， y i与 zi分 别 为 第 i个简 单 图 形 的 形 心 坐 标 。 i iiiziAC AAyASAdAyy i i

3、iiyiAC AAzASAdAzz 例 题 1 、 截 面 图 形 如 图 所 示 ， 试 计 算 截 面 的 形 心 位 置 。解 ： 将 该 截 面 看 成 由 矩 形 和 矩 形 组 成 ， 每 个矩 形 的 面 积 和 形 心 坐 标 分 别 为 ：矩 形 ： A1=1250 mm2， y1=5mm，z1=62.5mm矩 形 ： A2=700 mm2， y2=45mm，z2=5mm mmAA AyAyy c 36.1921 2211 mmAA AzAzzc 9.4121 2211 10 10 125 80 C1 C2 y z 2 惯 性 矩 、 惯 性 积 和 惯 性 半 径 i IA

4、i IAy y z ziy 、 iz分 别 称 为 截 面 对 y轴 和 z轴 的 惯 性 半 径 。1 、 定 义Iy 、 Iz分 别 称 为 截 面 面 积对 y轴 和 z轴 的 惯 性 矩 ，Iyz 称 为 截 面 面 积 对 y轴 和 z轴 的 惯 性 积 。 A 2y dAzI A 2z dAyI Ayz yzdAI 常 见 截 面 的 惯 性 矩 和 惯 性 半 径 ： b h z y 12bhI 3z 12hbI 3y 32hiz 32biy 6bhW 2z 6hbW 2y 抗 弯 截 面 系 数zWmaxzz yIW 常 见 截 面 的 惯 性 矩 和 惯 性 半 径 ： d

5、z y 64dI 4z zy II 4diz zy ii 32dW 3 z zy WW 抗 弯 截 面 系 数zWmaxzz yIW )dD(D32W 44z 常 见 截 面 的 惯 性 矩 和 惯 性 半 径 ：抗 弯 截 面 系 数zWmaxzz yIW dD zy圆 环 )dD(64I 44z zy II 4 dDi 22z zy ii zy WW )dD(D32W 44z Ip=A2 dAIp 截 面 的 极 惯 性 矩 ：2 =z 2 +y 2 A 2y dAzI A 2z dAyI yzp III Wp= maxIp Wp 扭 转 截 面 系 数d zy圆 形 dD z y圆 环

6、zp I2I zp W2W zp I2I zp W2W d z y圆 形 dD z y圆 环 若 y轴 或 z轴 为 截 面 的 一 个 对 称 轴 ，则 惯 性 积 Iyz=0I yz 称 为 截 面 面 积 对 y轴 和 z轴 的 惯 性 积 。 惯 性 积 的 性 质 ： Ayz yzdAI 若 Iyz=0， 且 y与 z轴 同 时通 过 截 面 形 心 ， 则 称 其 为 截面 的 一 对 形 心 主 惯 性 轴 ， 对应 的 Iy与 Iz称 为 截 面 的 形 心 主惯 性 矩 。 若 Iyz=0， 则 坐 标 轴 y与 z轴称 为 截 面 的 一 对 主 惯 性 轴 ； Iy与 I

7、z称 为 主 惯 性 矩 。 组 合 截 面 的 惯 性 矩 和 惯 性 积 ： 当 截 面 由 个 简 单 图 形 组 合 而 成 时 ， 截面 对 于 某 根 轴 的 惯 性 矩 等 于 这 些 简 单 图 形 对于 该 轴 的 惯 性 矩 之 和 。 即 : n1i iyny1yy )(I)(I)(II n1i iznz1zz )(I)(I)(II n1i iyznyz1yzyz )(I)(I)(II 3 平 行 移 轴 公 式I aC 22证 明 ： y= yc+b A 2Cz dAyI C dAb)(ydAyI 2A cA 2z A A2cA 2c dAbdAy2bdAy 0dAyA

8、 C AbII 2zz C CzCyIII abAAbI AI yyzzy z C dAyc zc y yc zcz a b y z o c基 准 轴 :过 形 心 的 两 正 交 坐 标 轴 例 2、 (同 例 1) 试 计 算 截 面 对 水 平 形 心 轴 yc的 惯 性 矩 。 解 ： 例 1中 已 算 出 该 截 面 形 心 C的 坐 标 为 ：yc=19.36mm， zc=41.9mm 10 10 125 80 C1 C2 y z C yc 矩 形 对 yc轴 的 矩 为 ： 截 面 对 轴 yc的 惯 性 矩 应 等 于 矩形 对 轴 yc的 惯 性 矩 加 上 矩 形 对yc轴

9、 的 惯 性 矩 。 即 ： 2y1yy )I()I(I ccc 矩 形 对 yc轴 的 惯 性 矩 为 ： 12510)9.415.62(1212510)(I 231yc 44mm10216矩 形 对 yc轴 的 惯 性 矩 为 ：121070)(I 3 2yc 1070)9.415( 2 44mm109.95 44 2y1yy mm109.311 )I()I(I ccc 类 似 地 可 求 出 : 442z1zz mm104.101)I()I(I ccc 例 3、 (同 例 1) 试 计 算 截 面对 水 平 形 心 轴 yc和 铅 直 形 心 轴 zc的 惯 性 积 。 10 10 12

10、5 80 C1 C2 y z C yc zc 解 ： 例 1中 已 算 出 该 截面 形 心 C的 坐 标 为 ：yc=19.36mm， zc=41.9mm 矩 形 对 yc和 zc轴 的 惯 性 积 为 ： 44 2zy1zyzy mm10103.2 )(I)(II cccccc 矩 形 对 yc和 zc轴 的 惯 性 积 为 ： 222zy2zy AbaI)(I 2c2ccc 44mm102.66 1070)9.415)(36.1945(0 12510)9.415.62)(36.195(0 44mm1037 111zy1zy AbaI)(I 1c1ccc 4 主 惯 性 轴 、 形 心 主

11、 惯 性 轴 sincos sincos11 yzz zyy A 2z dAyI A 2y dAzI Ayz yzdAI 微 面 积 dA在 新 旧 两 个 坐 标 系 中 的 坐 标 (y1,z1)和 (y,z)之 间 的 关 系 为 ：dA y z y z o z1 y1 y1 z1 A 21y dAzI 1 2sinI2cos2 II2 II yzzyzy 2sinI2cos2II2IIdAyI yzzyzyA 21z1 2cosI2sin2 IIdAzyI yzzyA 11zy 11 同 样 可 得 ： 若 Iy1z1=0， 则 坐 标 轴 y1与 z1轴 称 为 截 面 的一 对 主

12、 惯 性 轴 ； Iy1与 Iz1称 为 主 惯 性 矩 。 主 惯 性 轴 位 置 的 确 定 ： zy yzp II 2I-tg2 转 轴 公 式 主 惯 性 矩 Iyp与 Izp的 确 定 ： 2yz2zyzyy I4)II(212III p 2 yz2zyzyz I4)II(212III p 形 心 主 惯 性 轴 和 形 心 主 惯 性 矩 的 计 算 步 骤 ：(1) 计 算 截 面 形 心 ；(2) 计 算 通 过 截 面 形 心 的 一 对 坐 标 轴 yc与 zc的惯 性 矩 Iyc 、 Izc和 惯 性 积 Iyczc ；(3) 通 过 转 轴 公 式 确 定 形 心 主

13、惯 性 轴 的 方 位角 ， 并 计 算 形 心 主 惯 性 矩 Iyp和 Izp 。p 若 Iy1z1=0， 且 y1与 z1轴 同 时 通 过 截 面 形 心 ，则 称 其 为 截 面 的 一 对 形 心 主 惯 性 轴 ， 对 应 的Iy1与 Iz1称 为 截 面 的 形 心 主 惯 性 矩 。注 意 ： 对 称 轴 必 为 形 心 主 惯 性 轴 。 例 4、 (同 例 1) 试 确 定 截 面 的 形 心 主 惯 性 轴 的 位 置 ， 并计 算 截 面 的 形 心 主 惯 性 矩 。 解 ： 例 1中 已 算 出 该 截 面 形 心 C的 坐 标 为 ：yc=19.36mm， zc

14、=41.9mm 例 3中 已 算 出 截 面 对 于 水 平 形 心 轴yc和 铅 直 形 心 轴 zc的 惯 性 矩 和 惯 性 积 ：44y mm109.311I c 44z mm104.101I c 44zy mm10103.2I cc 981.0II 2Itg2 cc cc zy zyp 0p 3.22 或 0p 3.112 10 10 125 80 C1 C2 y z C yc 442 zy2zyzyy mm10354I4)II(212III ccccccp 442 zy2zyzyz mm1060I4)II(212III ccccccp 1) 若 图 形 具 有 三 根 （ 或 三

15、根 以 上 ） 对 称 轴 ， 则 通 过 图 形形 心 的 所 有 轴 都 是 形 心 主 惯 性 轴 ， 且 图 形 对 任 一 形 心轴 的 惯 性 矩 （ 即 形 心 主 惯 性 矩 ） 都 相 同 。 2) 所 有 的 正 多 边 形 截 面 图 形 的 形 心 轴 均 为 形 心 主 惯 性 轴 。关 于 形 心 主 惯 性 轴 的 两 个 推 论 ： 小 结 基 本 要 求 ：掌 握 静 矩 、 形 心 、 惯 矩 、 惯 性 积 、 惯 性 半 径 、 简 单图 形 惯 矩 和 惯 积 的 计 算 、 平 行 移 轴 公 式 。掌 握 组 合 图 形 的 惯 矩 和 惯 积 的 计 算 。了 解 主 形 心 轴 和 主 形 心 惯 矩 。重 点 ：掌 握 组 合 图 形 的 形 心 和 惯 矩 的 计 算难 点 ： 掌 握 组 合 图 形 的 形 心 和 惯 矩 的 计 算 。