三角恒等变换和解三角形题型总结(有参考答案)

《三角恒等变换和解三角形题型总结(有参考答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角恒等变换和解三角形题型总结(有参考答案)（29页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、三角恒等变换和解三角形基本知识回顾 （2009年馅月19日）b两角和W差的正弦，余弦.正切公式及倍角公式：sin (a 0) = sin a cos 0 cos a sm 0 “心sm 2a = 2 sin a cos a cos(q 土 p) = cos a cos p q： sin a sin pcos 2a = cos2 a-sm2 a吨0)=沁501 + tan a tan 0=2cos2 tz-l = l-2sin2 a=1 十 cos2g= cos* a=2. l-cos2a siir a=小2 tan &tan 2a =；1-tan- a 如柄各式中，妙;的是2ll +cos 3

2、0D、V 2Ax 15 cos 15* 7t r 7tB coss厂一C12 12tan 22.5l-tan222.y(2)命题P： A、（答：c）；tan（ A + ） = 0,命题 Q： tanA + tanB = 09B、充分不必要条件Cs必要不充分条件D、既不充分也不必要矫（答：C）:37 已知血（a-p）cosa-cos（a-p）sina = -,那么cos20的值为 （答:）；52 3i/T时需昭（答：4）；2010级高三数学第1页軀聖，对甲、另瞬结果的田碉啲判騒 2a2.三角函数的化简、计瓠 证明的恒等删的基本思路是：F二g三结构。即首先双嚓角与 角之间的关系，注意角的一些常用变

3、式，角的輕是三角函数变换的核心！第二駆数名称之间的 换 通常“毗弦”；第的点。（1）腋角（已知角与楙角的换 已知角与目标角的皱 角与其倍角的邂、两角与其 和差角的变兔如a = （a + 0）_0 = （a-0） + 0, 2q = （q + 0） + （q_0）,a2兀牙的函姒系为（答:）一|口+3（|十1）（答：甲.乙都对）已知仙。一，求罰。的值（航咖甲柯结吧搖曲结等），2a = S + a)-W-a), ap = 2t 呼如(1)已知 t3D(z + 0) = , tan(0 ) = 9tan(tz + )的(答：):544422(2)已知 0 p a 7t 9 且 cos( a- ) =

4、 - t sin(-ft ) = 求 cos( a+p 丿的2234903值(答：729 ： 已知snm = A；cos/7=y , cos(a + fi) = -9 则y 与2010级高三数学第#页三角函数名互化（切化弦）,2010级高三数学第#页如(1) /3cos1 xy2 2 V2 22+ 冷XR丿的单调递增区间为(答：/灯一和；r+菩/(Z丿)JL 乙JL式子结构解化鮒角、函数名、式？结构化厨。如1) tana(cosa-siiia) a.1 + tan sin a + tana 卄、-x 亠、十 1 + sina7 ，小 八込+(答：sma) ；(2)求证：=；(3)化简：cos

5、+ cscl-2suf 1-tan2 cos4 x-2 cos2 x + 2(答：-cos2x)21 + tan a,（答：-2,2） ； （2）当函数2 23y = 2cosx-3sinx取得最大值时，血?x的值是（答：一亍）；（3如果/（x） = sin（x+0）+ 2cos（x+0）是奇函数，则tail求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某f 三角函数（要 二：一角函数在角的范围内具有单调性；二是礦条件易求出此三角函数值）。如 若%0丘（0皿），且tans tan0是彌F 5x+6 = 0的两枇 则求& + 0的 （答:T(2) ABC 中，3sin A + 4cos B = 6

6、,4siii + 3cos A = 1,贝fjZC =(答:2010级高三数学第3页2010级高三数学第#页y) ； (3)若 0 a J3 y 2/r S.sin a + sin p + sin/ = 0, cos a + cos /3+cos/ = 0 ,求0-&期1（答:y） 5、.三角形中的有关公式：（1）内角和艇：三角形三角和为兀，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记! 任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余锐角三角形。三内角都是正弦定理 点=為=金 = 2/?盘为三形外接圆的半径）.注蔵 正弦定理的一 5： （icl: b:c = sin A :

7、smB :shiC ； （z7）smA = ,sin = ,smCv 7） 2R2R=:（iii）a = 2RsuiA.b = 2RsmB.b = 2RsHiC；已对角，形2R 7时，若运ffl正弦定理，则务必注意可能有两解2bc余弦擁： 2bccos A cos 4 = 疼一/等,常选用余弦定理鉴定三角形的形状關公式：S = ah（l = absmC = r（B是咖A sin B成立的（答：充要）；在 AABC 中，（l + /c? A）（i + tanB ）=2 ,则/og? sin C =（答:-）；在 AABC2中，A、B、a+ b + c）（sin A + sin B - sin C

8、 ） = 3a sin B,则 2 12 2zc =（答：60。）；在AA5C 中， :f ,则ZC=_ （答： 30 ）；在AABC中，A = 60 , b = lf这个三形的面积为血，则AABC外接01的直径2-739i 9：_,夕+F的最大值为_ （答：|；|） ；（8）在厶(答：);(7)在AABC 中，a. b. c 是角 As B、C 的对边, 3a = 5/3,cos A =-，贝ijcos: + 32ABC中AB=1, BC=2,贝|）角C的取值范围是_ （答:0C/2siny80r 的值.解：原式 =2sm50 + sinl0xl+ sinl0cos 10V2smS02010

9、级高三数学第4页2010级高三数学第#页=(2sin50 + sinl0x cs10j JJsmlO。近sin80o cos 10V2cosl0丄 cosl0+l-sinl00=2sin50+2sinl0x =-cos 10=2Bn50 +2 sin 10 sin 40cos 10cos 10。2010级高三数学第#页2010级高三数学第#页弓曙心。的=2屁n60。:训却已知兀分）上_|,则扌時（2010级高三数学第#页2010级高三数学第#页11AB.7C- -D.-777 sinl63sin223o+sin253Osin313o 等于 ()A.-1B.1C-旦D逅222 2解：(1)A(2

10、)B例2. Bftlae( , ), pe(0, ),cos(a-)=i , sin( +p)=,求sin(a+(5)的值.44445413解：Va-+p=a+p+l442a(,)BE(0, 1 - sin .v 1)4 43.a_fw(0冷)卩+普W(普，兀)2010级高三数学第#页4 z 5、 4，13/. siii(a+p)=cos y +(a+p)妙训练2：设cosW牛七，sinQ卩）=|,且扌VQ5 0卩兮, 求 cos C a +p） 2010级高三数学第5页4 z 5、 4，130、_故由cos (a )=丄,得sin (a)=292由 sin ( p)=,得 cos ( p)

11、= , Acos a + =cos (a) ( B)23232222010级高三数学第#页4 z 5、 4，132010级高三数学第#页4 z 5、 4，13510/. COSA=- Vl-sin： A =-(5 丿10 丿 5102例3.若sinA洋露疇俎“均删/A+B踰.解 TA、B均为钝角且sinA=,又冷 VAV/r, y B0解得sin a =8士斤. 1 + 3卡nxsina = -2010级高三数学第8页解：原式=cos 2a2010级高三数学第#页解：原式=cos 2a变式训练3：己知sm(-a )=i ,求cos( +2a)的值.633解：cos(宁 4-2a)=2cos2(

12、y +a)1 =2sin2(y a) 1 =才例 4.己知 siif 2a+sin2acosacos2a=l, ae(0,弓)，求 sina、tana 的值. 解：由已知得siir2a+sin2acosa2cos2a=0即(sin2a+2cosa) (sin2acosa)=0cos2a(l +sma) (2siiia1)=0T=TaW(0, 召)cosa?0 sma1 /.2sina=l变式训练4：已知a、卩、r是公比为2的等比数列（处0,2刃），且sina、sin卩、suit也成等比数歹ij, 求a、卩、r的值.解：Ta、队r成公比为2的等比数列.p=2a, r=4aTsina、sinf、s

13、inr成等比数列 sin/? sin rsin 2a sin 4a = o := n cos a = 2cos2 -1sin a sin /3sin a sin 2 a即 2cos22-cos6z-1 = 0 ,解得 cosa=l 或 cos a =-丄 当cosa=l时，sina=0与等比数列首项不为零矛盾故cosa=l舍去2010级高三数学第#页当cosa = 一丄时，V2e027l .2 = WC2 = 2332n a 4托8/r卅4龙门8兀16 a = 、B = . =黒必 a = 、B = ，/=333333（2009年竹月22日）简单的三角恒鞍换 设向量 = (cosa,siiia

14、),b = (cosp,sinp),且0 a 0 v 兀,若ab = , tan/7 =-, 求tan a的值。例1：不最求值2 cos 10-sin 20cos20XY例2：已知 sni2cos = 022(1)求tanx的值;(2)求cos2xa/2 cos( + x) sinx4的值.YY解析：由s气一 2cos厂o,ntanx =2 tan 21 tan 一22x2b hcos2 x-sui2 X(2) 原式= =-/=a/2(cosx - sni x) sin x(cos X 一 SU1 x)(cos X + SU1 x)(cos x-sni x) sni xcosx + siiix

15、., 3、 .1=cotx+1 = （-） + 1 = smx44【名师指引】给式求值一般从分析角的关系入手.例3.（福的师大附中2008年高三上狮末考试）/. cos(cr /?)=乂 0 v cr v Q v tt .7T a /3 Q【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系 解析：2010级高三数学第10页2010级高三数学第#页34.sin (a-/?) =- ”53.tan (c-Q) =- 2010级高三数学第#页2010级高三数学第#页【名师指引】三角与向量是近几年高考的热门题型这类题往往是先进行向量运算，再进行三角变换2010级高三数学第#页2010级高三数学第#页cos a

16、7又T COS(Q-COS(Q-0)=3前(I)求tan2a的值.(U)求卩.【解题思路】由同角关系求出tana再求tan2a；又/3 = a(a0)结合角0的范閑定角。解析(I)由cos7 =丄.0a .72.tana = l = xZ = 4V3.于是tan2a= 22第=空7t7C(II)由 0 vav0v ,得 Oca-0 0, 6?0, 0eO,2;r)桃式;(H)求函数g(x)的值域本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的 化简变形和运算能力.(满分12分).n z T x ,、/I-Sill A*/1-COSX解：(I)g(X)= C

17、OSXJ+ S111X/V 1 + sinxvl + cosx/(1-sinx)2=cos Xy；V cosx(1 - cos x)2+ smxSill x1 - siii x1-cos x=cos x- + sm xsiii xcos x17kVXG 7T,12,/. |cos x = - cos x9 |sin x = - sin x9z 、1-sinx . l-cosx g(x) = COS %+ Sill .-cosx-sinxTl= 5/2sin x+ 1-2.= smx+cosx-22010级高三数学第#页2010级高三数学第#页(II )由 7tX ，得X+ .12443.sin

18、/ 在5兀3兀rT上为减函数,在岸普上为增函数,2010级高三数学第#页2010级高三数学第#页又sm芋5谆，sm齐sm(“s哙(当兀十, 即一 1 sin(x + ”/?一2 /511(/ + 彳)一2a,所以B =-或3 =空3龙 71T-1244iz 门 7t , | 7T 7t 7 c 3 龙 | 7t 爲盲时,C = I厂迈3 = 丁时,舌 【命题立意】：本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质, 并利用正弦定理解得三角形中的边角注意本题中的两种情况都符合.解三角形(2009年竹月23 0)例1 在厶ABC屮，己知a.b.c分别是角A .B.C所对的

19、边分别在下列条件下解三角形.(l)a = 10.”=20, A = 80 ；(2”=10,c = 5 何C=60；(3加=2点=6.4 = 30【解答】(1)盘=bsinB ” bsinA sino a20sin80To-2010级高三数学第14页2010级高三数学第#页2sin80h所以本题无解.C _ I)sinC sinB曲3=池=再,2010级高三数学第#页V6c.ABC = 60,AB = 45A = 180-(B-FC) = 75/?sinAsin/310sin75sin4510XV6+V2 = 5(73 + 1).V2T/.B = 45A = 75, = 5(y3 + l).聞式

20、题如图26-1,已知AD为/W3C：的内角A的平 分线 MB = 3MC=5,ZBAC=120求 AD 的长.图 26-12010级高三数学第15页2010级高三数学第#页V6c, AB2 2 2有:a/r+rC = 3:一c,化简并整理得：2(/-c2) = b2.又由已知lab2bca2-c2 = 2b :. 4b = b.解得b = 4或b = 0(舍).循去二:由余弦定理得:cr -c2 =b2 - 2bccosA.又，一 c，= 2b, b 工 0。所以 b = 2ccosA+2又 sm A cos C = 3 cos AsmC, sin 4 cos C+cos 4 sin C =

21、4 cos A sill Csiii( A + C) = 4 cos A sin C , BP sm B = 4 cos A sm C由正弦定理得sinF = 0sinC,故b = 4ccos4c由，得b = 4。评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对 问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能九另夕甘是醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就 行，不必例3已知方程j*2-(cosA)+cos/3 = 0的两根之和等于两根之积.冃ABC的两边为的对角，试判定这个三角形的形状.2010级高三数学第16页例4 L2008揭阳模拟如图25-2,某河段的

22、两岸可视 为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点八、，观察对岸的点C,测得ZCAB = 75%ZC/M = 45,且AB =图 25-2100 米.(1) 求 sin75 ；(2) 求该河段的宽度.例5 2008海门模拟在海岸A处，发现北偏西75的 方向9距离A 2海里的B处有一艘走私船9在A处北偏东45 方向，距离A(V3-1)海里的C处的缉私船奉命以10脸海里/时 的速度追截走私船.此吋9走私船正以10海里/吋的速度从出向 北偏西30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？2010级高三数学第17页三角恒戦换和解三角颐超一、选择题1.己知 XG (- ,0), cosx

23、 =4-,则 tan2x=(52.C.函数y = 3sinx+4cosx+5的最小正周期是（7tA. B.53.4.在ZkABC中，A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.设 a = sin 14。+cos 14。，/? = siiil6 + cosl6, c =,2cos A cos BsinAsmB 则 AABC%(）.无法判定则a.b.c k小关系A. a bcB.ba cC c baD.a c /3 D. 238.A.若A为AABC的内角，则卞列函数中一定取正值的是（） sin AB.cosAC.tan AD.1tan A2010级高三数学第18页9. 在ZABC中，角4,

24、厅均为锐角，且cos A siii,则AABC的形状是（）_A.直角三角形B.锐角三角形_C.钝角三角形 D.等腰三角形_10. 等腰三角形一腰上的高是的，这条高与底边的夹角为60,.则底边长为（）_A. 2 B.C. 3 D. 2 羽2 -11. 在ABC 中，若b = 2asinB，则 A 等于（）_A. 30或60B. 45或60 C. 120 或60D. 30 或 150 _12. 边长为5,7,8的三角形的最人角与最小角的和是（）_A. 90 B. 120 C. 135 D. 150 _二、填空题1. 求值：tail 20 + tan 40 + 前 tail 20 tan 40 =.

25、2. 若 1 + 82=200&则-+ tan2tz=1-tanzcos 2a3. 函数/（x） = cos2x - 2a/3 sinxcosx 的最小正周期 .4. 已知sin? + cos纟= 那么sm&的值为 ，cos20的值为2235. MBC的三个内角为4、B、C,当A为时，cos4 +2cos色取得最大值,2磁个最人值为.6. 在 Rt ZXABC 中，C = 90,贝iJsinAsinB 的最人值 .7. 在 AABC 中，若cr =b +bc + c2,A=.& 在ABC 中，若b = 2,B = 30,C = 135,则=.9. 在AABC 中，若sin4 : sin5 :

26、sinC = 7 ： 8 ： 13,则0 =.10. 在AABC中，AB =品迈、CW 则AC+BC的最大值 .三、解答题1.己知 sin a + sin 0 + sin 厂=0, cos a + cos 0+cos 7 = 0,求 cos(0 - /)的值.2010级高三数学第19页2.若sill (7 4-sill =亍，求COSG + COS0 的取值范闱.2010级高三数学第20页2010级高三数学第#页3.求値需“叭心切2010级高三数学第#页2010级高三数学第#页4. 己知函数y = sui + VicosR.2 2(1)求y取最人值时相应的x的集合：(2)该函数的图彖经过怎样的

27、平移和伸变换可以得到y = siiix(xg/?)的图象.cosA)5. ffiZkABC 中，若ccosA + bcos3 = ccosC,则AABC 的形状是什么？6在AABC中，求证：纟_ Jc(泌- b ci b2010级高三数学第#页USO0 + 9SO0 + PSO0 AUUTS + 9UTS + PUTS 宿一联Eusw 氓逻启卜00II區启抵沸榇川担縣(二ozrusII 寸 rHHe U5,hxubh Hxms, Hxsoo (0)ux Q T XUEe m E 寸 =C cos 4 cos 5 - sin A siii B = cos(4 + B) 0,-cos C 0. c

28、os C /2sin61, c = sin60C y = 72 siii 2x cos 2x = -sin 4x,为奇函数，T =242B sm4 0 + cos4 0 = (sin2 0+cos2。尸 一 2 sin2 0 cos2 8 = 1 土 sin2 20C = tail30,b = a tan30 = 2羽,c = 2b = 4扬,c-b = 2羽A 0A0C cos A = sin(- A) sin都是锐角,则-A B,A + B 2 2 2 2 2D作出图形D b = 2ci sin B、sin B = 2 sin A sin B、sin A = - ,A = 30 或 150

29、2/3 - VT tail 20 tan 40 = tan 20 + tan 4020087t1小1 shi2g l + sin2a+ tail 2a =+= cos2gcos 2a cos 2acos 2a(cos a + sin acos a + sin a 1 + tana；=zOUocos a 一 sin acos a-sm a 1-tan a/(%) = cos2x-5/3sm2x = 2cos(2x + ), T = = 7t3260 .41.7(sin + cos) = 1 + sm,sin6 = -.cos2 = 1 -2siii 0= 223393.4.5.6.7.8.9.1

30、0.11.12.二1.2.3.4.2010级高三数学第24页5.6.7.8.9.10.三、1.2.60l=cos A + 2sin = 1 -2sin + 2sm 2 2 2 22010级高三数学第25页2010级高三数学第#页当畤即Z时,得(cosA + 2cos sin A sin B = smA cos A = -sm2A/6 - 5/2)(sin 4 + sin B) = 4(/6 - /2) sincos=4 cos5 4, (4C += 4解答题解：sin /?+siii / = - sin ct、cos p+cos/ = - cos a,2010级高三数学第#页2010级高三数学

31、第#页2 + 2 cos(0-/) = !, cos(02010级高三数学第#页_cosl0-2sin(30-10) _ coslO0-2sui30cos 10 + 2cos30sin 10 2sml0_2 sin 10=cos 30 =23. 解：y = siii+/3 cos = 2 sin( + )X 7T7TTt（1）当尹必+ 丁即*磁+亍“Z时，y取得最人值xIx = 4k兀送,k gzI为所求X 冗右移个单位(2) y = 2sin(- + y)纵坐标缩小到廉來的2倍 y = sinx4.解：ci cos A + bcos B = ccos C.siii A cos A + sin

32、B cos B = sinC cos Csill 2A + sin 2B = sill 2C, 2 siii(A + B) cos(4 -8) = 2 sin C cos Ccos(A -B) = - cos(4 + B), 2 cos A cos B = 0COS4 0或COSB = 0,得心尹Bp所以ZiABC是直角三角形.5.解：a + c = 2/?, sin4 + sinC = 2sin3,即2 sin企乞cosS池亠。s =逼，而0色二g虫逅,22242224W2sinhs殳2x邑返=翅224482010级高三数学第26页425(7)正余弦“三兄妹一sinx土cosx、sinxco

33、sx”的内存联系知一求二，如 若sm x cos x = t,贝！J sin x cos x =_=(窖 &./ e -羽,a/2；若 a 6 (0, sin a + cosa = t 求 tail a (答：一一) ；(3)已知 sin2& + 2sinP = R (兰 &/Jcosx = c有实数解，则c的取值范围是2 siii A = sin(B + C) = sin B cos C + cos B sin C =【命题立意】：本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性质以及 三角形中的三角关系 例题& （2009山东卷文）体小酬分12分）设函数 f (x)=2suia cos2 号+ cosxsin0- sinx(0 (p 龙)在x =龙KS才值(1) 求0.的值；(2) 在AABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边已知。=l,b = V2, f(A) = ，求角C.2010级高三数学第27页