134最短路径问题

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1、13.4 课 题 学 习最 短 路 径 问 题 如 图 所 示 ， 从 A地 到 B地 有 三 条 路 可 供 选 择 ， 你 会 选走 哪 条 路 最 近 ？ 你 的 理 由 是 什 么 ？ 两 点 之 间 ,线 段 最 短 F EDC BA 温 故 知 新 引 例 ： 要 在 河 边 修 建 一 个 泵 站 向 张 村 引 水 ，在 何 处 修 建 才 能 使 所 用 引 水 管 道 最 短 ？ 为 什么 ？ 垂 线 段 最 短张 村 河 流泵 站 如 图 ， 在 小 河 l的 两 侧 有 A村 和 B村 ， 要 在 小河 l上 修 一 个 水 泵 站 M,请 你 确 定 水 泵 站 M的

2、 位置 ， 使 它 到 两 个 村 庄 的 距 离 和 最 小 .A B l作 法 ： 连 结 AB， 交 直 线 l于 点 M， 则点 M为 水 泵 站 的 位 置 。M 前 面 我 们 研 究 过 一 些 关 于“ 两 点 的 所 有 连 线 中 ， 线 段 最短 ” 、 “ 连 接 直 线 外 一 点 与 直 线上 各 点 的 所 有 线 段 中 ， 垂 线 段 最短 ” 等 的 问 题 ， 我 们 称 它 们 为 最短 路 径 问 题 现 实 生 活 中 经 常 涉及 到 选 择 最 短 路 径 的 问 题 。 问 题 1从 图 中 的 A 地 出 发 ， 到 一 条 笔 直 的河 边

3、 l 饮 马 ， 然 后 到 B 地 到 河 边 什 么 地 方 饮马 可 使 他 所 走 的 路 线 全 程 最 短 ？探 索 新 知 BA lC你 能 将 这 个 问 题 抽 象为 数 学 问 题 吗 ？ 探 索 新 知将 A， B 两 地 抽 象 为 两 个 点 ， 将 河 l 抽 象 为 一条 直 线 BA l 设 C 为 直 线 上 的 一 个 动 点 ， 上 面 的 问 题就 转 化 为 ： 当 点 C 在 l 的 什 么 位 置 时 ， AC 与 CB 的 和 最 小 探 索 新 知 BA l 如 图 ， 点 A， B 在 直 线 l 的 同 侧 ， 点 C 是 直 线 上 的一

4、 个 动 点 ， 当 点 C 在 l 的 什么 位 置 时 ， AC 与 CB的 和最 小 ？思 考 :1、 这 个 问 题 与 前 面 “ 确 定 水 泵 位 置 ”的 问 题 有 联 系 吗 ？2、 如 何 将 点 B“移 ” 到 l 的 另 一 侧 B处 ， 满 足直 线 l 上 的 任 意 一 点 C， 都 保 持 CB 与 CB的 长度 相 等 ？ 3、 你 能 找 到 符 合 条 件 的 点 B 吗 ？ 探 索 新 知作 法 ： （ 1） 作 点 B 关 于直 线 l 的 对 称 点 B ；（ 2） 连 接 AB ， 与 直线 l 相 交 于 点 C 则 点 C 即 为 所 求 B

5、 lA BC你 能 用 所 学 的 知 识 证 明 AC +BC最 短 吗 ？ 如 图 ， 点 A， B 在 直 线 l 的 同 侧 ， 点 C 是 直线 上 的 一 个 动 点 ， 当 点 C 在 l 的 什 么 位 置 时 ，AC 与 CB的 和 最 小 ？ 若 直 线 l 上 任 意 一 点 （ 与点 C 不 重 合 ） 与 A， B 两 点的 距 离 和 都 大 于 AC +BC，就 说 明 AC + BC 最 小 探 索 新 知 追 问 ： 证 明 AC +BC 最 短 时 ， 为 什 么 要 在直 线 l 上 任 取 一 点 C （ 与 点 C 不 重 合 ） ， 证明 AC +B

6、C AC +BC ？ 这 里 的 “ C ” 的作 用 是 什 么 ？ B lA BC C 运 用 新 知 1.如 图 ， 一 个 旅 游 船 从 大 桥 AB 的 P 处 前往 山 脚 下 的 Q 处 接 游 客 ， 然 后 将 游 客 送 往 河岸 BC 上 ， 再 返 回 P 处 ， 请 画 出 旅 游 船 的 最短 路 径 A BC PQ山 河 岸大 桥 2.已 知 ： 如 图 A是 锐 角 MON内 部 任 意 一点 ， 在 MON的 两 边 OM， ON上 各 取 一点 B， C， 组 成 三 角 形 ， 使 三 角 形 周 长 最小 .变 式 ： 在 角 内 有 两 点 A、 B

7、， 在 射 线 OM、ON上 分 别 求 一 点 C、 D， 使 线 段 AC、 CD、DB的 和 最 小 。 B 小 结三 种 类 型 复 习 1、 平 移 的 概 念 图 形 的 平 行 移 动 就 是 平 移 变 换 ， 简称 作 平 移 . 2、 平 移 的 性 质（ 1） 把 一 个 图 形 整 体 沿 某 一直 线 方 向 移 动 ， 会 得 到 一 个新 的 图 形 ， 新 图 形 与 原 图 形的 形 状 和 大 小 完 全 相 同 .（ 2） 新 图 形 中 的 每 一 点 ， 都 是 由 原 图 形 中 的某 一 点 移 动 后 得 到 的 ， 这 两 个 点 是 对 应

8、点 。连 接 各 组 对 应 点 的 线 段 平 行 （ 或 在 同 一 直 线上 ） 且 相 等 .对 应 线 段 相 等 ， 对 应 角 相 等 。 引 例 ： 如 图 ， 小 明 从 小 河 岸 边 的 A地 到 河 的对 面 的 B地 ,怎 样 走 距 离 最 近 ？ （ 只 能 从 桥 上过 河 ） 方 法 ： 小 明 过 桥 走 到 C， 连 接 CB， 小 明 走 的路 径 和 是 AC CB， 此 时 所 走 路 经 最 短 .理 由 ： AC确 定 不 变 ， C和 之 间 由 “ 两 点 之间 ， 线 段 最 短 ” 可 知 CB最 短 .B桥 小 河CA 问 题 2 如

9、图 ， A和 B两 地 在 一 条 河 的 两 岸 ， 现要 在 河 上 造 一 座 桥 MN。 桥 造 在 何 处 才 能 使从 A到 B的 路 径 AMNB最 短 ？ （ 假 定 河 的 两 岸是 平 行 的 直 线 ， 桥 要 与 河 垂 直 ） 。MN分 析 ： 由 于 河 岸 宽 度是 固 定 的 ， 造 的 桥 要与 河 垂 直 ， 因 此 路 径AMNB中 的 MN的 长度 是 固 定 的 。 要 使 路径 AMNB最 短 ， 只 需AM+BN最 短 。 A1 分 析 ： 我 们 可 以 将 点 A沿 与 河 垂 直 的 方 向 平 移MN的 距 离 到 A1， 那 么 为 了

10、使 AMNB最 短 ， 只需 A1B最 短 。 根 据 两 点 之 间 距 离 最 短 ， 连 接A1B， 交 河 岸 于 点 N， 在 此 处 造 桥 MN， 所 得路 径 AMNB就 是 最 短 路 径 。 NM A1 NM M1N1证 明 ： 另 任 作 桥 ， 连 接 ， 1 . 由 平 移 性 质 可 知 ， 1 ， ， . AM+MN+BN= ，而 = . 在 中 ， 由 线 段 公 理 知 A1N1+BN1A1B， 因 此 AM+MN+BN即 从 A到 B的 路 径 AMNB是 最 短 的 。 1、 直 线 L的 同 侧 有 两 点 A、 B，在 直 线 L上 求 两 点 C、

11、D， 使 得 AC、 CD、DB的 和 最 小 ， 且 CD的 长 为 定 值 a， 点 D在 点 C的 右 侧 。 A1作 法 ： 将 点 A向 右 平 移 a个单 位 到 A1； 作 点 B关 于 直 线L的 对 称 点 B1； 连 结 A1B1交直 线 L于 点 D； 过 点 A作AC A1D交 直 线 L于 点 C， 连结 BD。 则 线 段 AC、 CD、 DB的 和 最 小 。 点 C、 D即 为 所 求 。 B 1DC 运 用 新 知 2、 直 线 L的 同 侧 有 两 点 A、 B， 在 直 线 L上求 一 点 C， 使 CB与 CA的 差 最 大 。 C分 析 ： 在 我 们 所 学 过 的 知 识 中 ， 哪 个 知识 点 与 两 条 线 段 的 差 有 关 系 ？三 角 形 任 意 两 边 的 差 小 于 第 三 边 。C作 法 ： 连 BA， 并 延 长 交 直 线L于 点 C， 则 点 C即 为 所 求 。追 问 ： 在 如 图 所 示 的 位 置 ， AC与BC的 差 小 于 AB， 会 有 AC与 BC的 差 等 于 AB的 时 候 吗 ？ C