221平面向量的加法运算

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1、 知 识 回 顾 1. 向 量 与 数 量 有 何 区 别 ? 2. 怎 样 来 表 示 向 量 ? 3. 什 么 叫 相 等 向 量 ?数 量 只 有 大 小 没 有 方 向 ,如 :长 度 ,质 量 ,面 积 等向 量 既 有 大 小 又 有 方 向 ,如 位 移 ,速 度 ,力 等1)用 有 向 线 段 来 表 示 ,线 段 的 长 度 表 示 线 段 的 大 小 ， 箭 头 所指 方 向 表 示 向 量 的 方 向 。 A B2） 用 字 母 来 表 示 ， 或 用 表 示 向 量 的 有 向 线 段 的 起 点 和 终 点字 母 表 示 . 如 a AB,长 度 相 等 ,方 向 相

2、 同 的 向 量 相 等 .(正 因 为 如 此 ,我 们 研 究 的 向 量 是 与 起 点 无 关 的 自 由 向 量 ,即 任 何 向 量 可 以 在 不 改 变 它 的 大 小 和 方 向 的 前 提 下 ,移 到 任 何 位 置 .) 上 海香 港 台 北OA B 向 量 的 加 法求 两 个 向 量 和 的 运 算 ,叫 做 向 量 的 加 法一 .向 量 加 法 的 三 角 形 法 则1.某 人 从 A走 到 B,在 从 B按 原 方 向 C,则 两 次 的 位 移 和 :2.上 题 改 为 A到 B,再 从 B按 反 方 向 C,则 两 次 的 位 移 和 : ACA B c

3、（ 两 向 量 共 线 同 向 时 ）A BC （ 两 向 量 共 线 反 向 时 ）3.某 人 从 A到 B， 再 从 B改 变 方 向 到 C， 则 两 次 的 位 移 和 ：AC A B c (两 向 量 不 共 线 时 ) 以 上 向 量 求 和 的 方 法 称 为 三 角 形 法 则 ,即 两 个 向 量 相 加 时 ,把 一 个向 量 的 终 点 作 为 另 一 个 向 量 的 起 点 ,这 时 前 一 个 向 量 的 起 点 到 后一 个 向 量 终 点 的 向 量 就 是 两 个 向 量 的 和 向 量 .(注 意 :”首 尾 相 接 ” )例 1： 如 图 ， 已 知 非 零

4、 向 量 ba, ,求 两 向 量 的 和 向 量ab作 法 : 在 平 面 内 任 取 一 点 A,作 aAB aA B b C则 baAC 两 个 向 量 的 和 仍 然 是 一 个 向 量 . bBC 探 究 : DECDBCAB AE推 广 : (可 以 推 广 到 n个 向 量 连 加 ) 我 们 可 将 向 量 加 法的 三 角 形 法 则 推 广 为 多 个 向 量 相 加 的 多 边 形 法 则 :由第 一 个 向 量 的 起 点 指 向 最 后 一 个 向 量 的 终 点 的 有 向线 段 就 表 示 这 些 向 量 的 和 .(注 意 :首 尾 相 接 ) 当 向 量 不

5、共 线 时 ， 和 向 量 的 长 度 与 向 量 的 长 度 和 之 间 的 大 小 关 系 如 何 ？a b 、 | |a b a b 、 | | | |a b a ba b 三 角 形 的 两 边 之 和 大 于 第 三 边| | | | | |a b a b a b 当 向 量 、 不 共 线 时 有综 合 以 上 探 究 我 们 可 得 结 论 ： | | | | | |a b a b 例 1:已 知 向 量 和 ,求 作 向 量 + .a b a ba b问 题 在 你 所 画 图 中 ,找 出 | |. a b| |,b| |,a它 们 之 间 有 怎 样 的 关 系 ?向 量

6、加 法 中 模 的 性 质 : | | a b | |b| |a当 和 同 向 时 , ba | |b| | a b | |a当 和 反 向 时 ,ba | |b| | a b | |a 尝 试 练 习 一 ： ACA B CDE _AB BC _BC CD _AB BC CD BD AD （ 1） 根 据 图 示 填 空 ： _AB BC CD DE AE 图 1表 示 橡 皮 条 在 两 个 力 F1和 F2的 作 用 下 ， 沿 MC方 向伸 长 了 EO； 图 2表 示 橡 皮 条 在 一 个 力 F的 作 用 下 ， 沿 相 同方 向 伸 长 了 相 同 长 度 EO。 从 力 学

7、的 观 点 分 析 ， 力 F与 F1、F2之 间 的 关 系 如 何 ？M CE O F1F 2图 1M E O F图 2 F=F1+F2F2F1 F 引 入 2： 二 .向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则ab aA B1. 平 移 :把 两 个 向 量 的 起 点 平 移 到 同 一 个 点 .b C2. 作 平 行 四 边 形 : 以 这 两 个 向 量 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 . D3. 连 线 :这 两 邻 边 所 夹 的 对 角 线 即 为 两 向 量 的 和 .特 殊 : aaa 00 起点相同 向 量 加 法 的 交 换 律 : abba ab a bb

8、a ab 向 量 加 法 的 结 合 律 : ）（）（ cbacba aA B bCba cba CDACcba ）（ ADBDABcba ）（ cD AD 注 意 :以 上 为 两 向 量 不 共 线 时 ,共 线 时 学 生 课 下 自 己 思 考 . 从 而 ,由 向 量 的 交 换 律 与 结 合 律 ， 多 个 向 量 加 法 的 运 算 可 以 按 照 任 意 的 次 序 ， 任 意 的 组 合 来 进 行 。如 dcba ）（）（ dcba ）（ dcba 求 BCCDDEAB DECDBCAB AE 例 2 长 江 两 岸 之 间 没 有 大 桥 的 地 方 ， 常 常 通 过

9、进 行 轮 渡 运 输 。 如 图 所 示 ， 一 艘 船 从 长 江 南 岸 A点 出 发 ， 以 5千 米 每 小 时 的 速 度 向 垂 直 于 对 岸 的方 向 行 驶 ， 同 时 江 水 的 速 度 为 向 东 2千 米 每 小 时 。（ 1） 试 用 向 量 表 示 江 水 速 度 、 船 速 以 及 船 实 际 航行 的 速 度 （ 保 留 两 个 有 效 数 字 ）（ 2） 求 船 实 际 航 行 的 速 度 的 大 小 与 方 向 （ 用 与 江水 速 度 间 的 夹 角 表 示 ， 精 确 到 度 ） 。A BD 解 ： 如 图 AD 表 示 船 速 ， AB 表 示 水

10、速C 以 AD， AB为 邻 边 作 平 行 四 边 形 ABCD， 则 AC 表 示 船 实 际 航 行 的 速 度 （ 2） 在 直 角 三 角 形 ABC中 ， ， 52 BCAB所 以 BCABAC 22 4.52952 22 因 为 25tan CAB由 计 算 器 得 68CAB答 ： 船 实 际 航 行 速 度 得 大 小 约 为 5.4千 米 每 小 时 ,方 向与 水 的 流 速 间 的 夹 角 约 为 68 . BDCAAB（ 1） 在 平 行 四 边 形 ABCD,（ 2） 根 据 图 示 填 空课 堂 练 习 :AC BC CD BA(A) (B) (C) (D)a b

11、cd a+b=C+d=a+b+d= ccff 练 习v 在 静 水 中 船 速 为 20m/min， 水 流 速 度 为10m/min,若 船 从 岸 边 出 发 ， 垂 直 于 水 流 航 线到 达 对 岸 的 ， 问 船 行 进 的 方 向 是 _.A BCD AB向 量 表 示 静 水 流 速 ， 表 示 船 行 进 方 向 ， 表 示船 实 际 行 走 路 线 ， 垂 直 于 水流 方 向 ， 所 以 DAC即 为 所求 ADAC 课 堂 小 结 1、 向 量 加 法 的 几 何 意 义 ；2、 交 换 律 和 结 合 律 ；3、 注 意 ： 当 且 仅 当 方 向 相 同 时 取 等 号 .| | a b | |b| |a