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1、第七章平面向量7.3向量的内积 拉着91岁母亲环游中国请观察 创设情境兴趣导入F s图721O如图721所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，那么，这个人做了多少功？ 做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积本节所研究的知识就是两个向量的数量积（内积） 1 .向量内积的概念及其几何意义2 .向量内积的计算公式及两个向量垂直的充要条件教学目标教学重点教学难点7.3平面向量的内积平面向量内积的概念及计算公式内积的概念及利用概念计算两个向量的夹角准确理解概念牢固掌握公式突破难点 创设情境兴趣导入F s图721O如图721所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，那么，这个人做了多少功
2、？ 做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为S，即 动脑思考探索新知这里，力F与位移S都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，S的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量S的内积,它是一个数量，又叫做数量积 BAO a ba与向量b的夹角，记作动脑思考探索新知向量的夹角理解：夹角是对非零向量而言； 求夹角时两向量放成共起点；夹角的书写是尖括号，中间逗号分隔 BAO a ba与向量b的夹角，记作两个向量a，b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作ab， 即 ab|a|b|
3、cos (7.10) 由内积的定义可知 a00, 0a0. 动脑思考探索新知 动脑思考探索新知由内积的定义可以得到下面几个重要结果： 动脑思考探索新知可以验证，向量的内积满足下面的运算律： abba. a b a b a b (ab)cacbc. a(bc)(ab ) c. 一般地，向量的内积不满足结合律，即 巩固知识典型例题例1 已知|a|3,|b|2, 60，求ab解 ab|a|b| cos 32cos 6032 2| | | 22 2 a ba b解 cos 运用知识强化练习1. 已知|a|7,|b|4，a和b的夹角为60，求ab2. 已知aa9,求|a|. 3. 已知|a|2,|b|3
4、, 30，求(2ab)b 动脑思考探索新知设平面向量a(x1,y1),b(x2,y2)，由于i j，故ij 0, 又| i |j|1,所以 ab(x1 iy1j) (x2 iy2j) x1 x2 i i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j j x1 x2 |j|2 y1 y2 |j|2 x1 x2 y1 y2. 这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即 ab x1 x2 y1 y2 (7.11) (7.12) 动脑思考探索新知1 2 1 22 2 2 21 1 2 2 | | | x x y ya ba b x y x y cos (7.13) 利用公式(7.1
5、3)可以方便地求出两个向量的夹角. x1 x2 y1 y20 因此 x1 x2 y1 y20 (7.14) 由平面向量内积的定义可以得到，当a，b是非零向量时， ab0，由公式(7.11)可知 巩固知识典型例题例3 求下列向量的内积： （1）a (2, 3), b(1,3)； （2）a (2, 1), b(1,2)； （3）a (4,2), b(2, 3) 解 (1) ab21(3)37； (2) ab21(1)20； (3) ab2(2)2(3)14 运用知识强化练习1.已知a(5,4)，b(2,3)，求ab 2.已知a(2, 3)，b(3, 4)，c( 1,3),求a(bc) 3.已知a(
6、2,1)，b(3,-2)，求2a3b 4.已知a(-3, 4)，b(5,3)，求ab，|a|, |b| 巩固知识典型例题例4已知a(1,2)，b(3,1)求ab, |a|,|b|, 解 ab(1)(3)215. |a|2 2( 1) 2 5 a a|b|2 2( 3) 1 10 b b 5 2| | | 210 5 a ba bcos 运用知识强化练习 巩固知识典型例题例5判断下列各组向量是否互相垂直： (1) a(2, 3),b(6, 4)； (2) a(0, 1),b(1, 2) 解 (1) 因为ab(2)6340，所以a b(2) 因为ab01(1)(2)2，所以a与b不垂直 运用知识强化练习1.判断下列各组向量是否垂直：a(-2,3)，b(3,-2)；a(2,0)，b(0,-2)；a(-2,1)，b(3,4)2.已知ABC三顶点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),判断此三角形的形状. 巩固知识典型例题 运用知识强化练习 积叫做向量a与向量b的内积，记作ab两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之 平面向量内积的概念？ 自我反思目标检测 平面向量内积的坐标运算？ ab x1 x2 y1 y2
73向量的内积
