251平面几何的向量方法课件

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1、2.5平 面 向 量 应 用 举 例2.5.1平 面 几 何 的 向 量 方 法 复 习 引 入1. 两 个 向 量 的 数 量 积 ： 复 习 引 入1. 两 个 向 量 的 数 量 积 ：. cos| baba 复 习 引 入1. 两 个 向 量 的 数 量 积 ：. cos| baba 2. 平 面 两 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 : 复 习 引 入1. 两 个 向 量 的 数 量 积 ：. cos| baba 2. 平 面 两 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 :. 2121 yyxxba 复 习 引 入1. 两 个 向 量 的 数 量 积 ：. cos| baba

2、2. 平 面 两 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 :. 2121 yyxxba 3. 向 量 平 行 与 垂 直 的 判 定 : 复 习 引 入1. 两 个 向 量 的 数 量 积 ：. cos| baba 2. 平 面 两 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 :. 2121 yyxxba 3. 向 量 平 行 与 垂 直 的 判 定 : .0/ 1221 yxyxba 复 习 引 入1. 两 个 向 量 的 数 量 积 ：. cos| baba 2. 平 面 两 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 :. 2121 yyxxba 3. 向 量 平 行 与 垂 直 的 判 定 :

3、 .02121 yyxxba .0/ 1221 yxyxba 复 习 引 入4. 平 面 内 两 点 间 的 距 离 公 式 ： 复 习 引 入 221221 )()(| yyxxAB 4. 平 面 内 两 点 间 的 距 离 公 式 ： 复 习 引 入 221221 )()(| yyxxAB 4. 平 面 内 两 点 间 的 距 离 公 式 ：5. 求 模 ： 复 习 引 入 221221 )()(| yyxxAB 4. 平 面 内 两 点 间 的 距 离 公 式 ： aaa 5. 求 模 ： 复 习 引 入 221221 )()(| yyxxAB 4. 平 面 内 两 点 间 的 距 离

4、公 式 ： aaa 5. 求 模 ： 22 yxa 复 习 引 入 221221 )()(| yyxxAB 4. 平 面 内 两 点 间 的 距 离 公 式 ： aaa 5. 求 模 ： 22 yxa 221221 )()( yyxxa 平 面 几 何 中 的 向 量 方 法 向 量 概 念 和 运 算 ， 都 有 明 确 的 物 理 背景 和 几 何 背 景 。 当 向 量 与 平 面 坐 标 系 结 合以 后 ， 向 量 的 运 算 就 可 以 完 全 转 化 为 “ 代数 ” 的 计 算 ， 这 就 为 我 们 解 决 物 理 问 题 和几 何 研 究 带 来 极 大 的 方 便 。 由

5、 于 向 量 的 线 性 运 算 和 数 量 积 运 算 具有 鲜 明 的 几 何 背 景 ， 平 面 几 何 的 许 多 性 质 ，如 平 移 、 全 等 、 相 似 、 长 度 、 夹 角 都 可 以由 向 量 的 线 性 运 算 及 数 量 积 表 示 出 来 ， 因此 ， 利 用 向 量 方 法 可 以 解 决 平 面 几 何 中 的一 些 问 题 。 问 题 ： 平 行 四 边 形 是 表 示 向 量 加 法 与 减 法 的几 何 模 型 。 如 图 ， 你 能 发 现 平 行 四 边 形 对 角线 的 长 度 与 两 条 邻 边 长 度 之 间 的 关 系 吗 ？,AC AB AD

6、 ,DB AB AD A B CD猜 想 ：2.类 比 猜 想 ， 平 行 四 边 形 有 相 似 关 系 吗 ？ 例 1、 证 明 平 行 四 边 形 四 边 平 方 和 等 于 两 对 角 线 平 方 和A BD C已 知 ： 平 行 四 边 形 ABCD。求 证 ： 222222 BDACDACDBCAB bADaAB ,解 ： 设 ， 则 baDBbaACaDAbBC ;,分 析 ： 因 为 平 行 四 边 形 对 边 平 行 且 相等 ， 故 设 其 它 线 段 对 应 向量 用 它 们 表 示 。 bADaAB , )ba(2DACDBCAB 222222 2222 babaBDA

7、C 22222222 ba2ba2bba2abba2a 222222 BDACDACDBCAB 你 能 总 结 一 下 利 用 向 量 法 解 决 平 面 几 何 问 题的 基 本 思 路 吗 ？（ 1） 建 立 平 面 几 何 与 向 量 的 联 系 ， 用 向 量 表示 问 题 中 涉 及 的 几 何 元 素 ， 将 平 面 几 何 问 题转 化 为 向 量 问 题 ；（ 2） 通 过 向 量 运 算 ， 研 究 几 何 元 素 之 间 的 关系 ， 如 长 度 、 距 离 、 夹 角 等 问 题 ；（ 3） 把 运 算 结 果 “ 翻 译 ” 成 几 何 关 系 。用 向 量 方 法 解

8、 决 平 面 几 何 问 题 的 “ 三 步曲 ” ：简 述 ： 形 到 向 量 向 量 的 运 算 向 量 和 数 到 形 例 2 如 图 ， ABCD中 ， 点 E、 F分 别是 AD 、 DC边 的 中 点 ， BE 、 BF分 别与 AC交 于 R 、 T两 点 ， 你 能 发 现 AR 、 RT 、 TC之 间 的 关 系 吗 ？ CA BDE FR T猜 想 ：AR=RT=TC 解 ： 设 则, , ,AB a AD b AR r A C a b 由 于 与 共 线 ， 故 设AR AC ( ),r n a b n R 又 因 为 共 线 ，所 以 设 E R E B 与 12(

9、)ER mEB m a b 因 为 所 以 A R A E E R 1 12 2( )r b m a b 1 12 2( ) ( )n a b b m a b 因 此 CA BDE FR T 1 02( ) ( )mn m a n b 即 ,a b由 于 向 量 不 共 01 02n mmn 线 ， 1解 得 ： n= m = 31 1 13 3 3, ,AR AC TC AC RT AC 所 以 同 理 于 是故 AT=RT=TC CA BDE FR T 探 究 （ 二 ） ： 推 断 直 线 位 置 关 系例 3:三 角 形 的 三 条 高 线 交 于 一 点 .DAB CEF P( )

10、0,c a b 由 得 ( ) 0a b c 解 : AD BC ( ) 0BE ACb a c b a c AB CF所 以 , 探 究 （ 三 ） ： 计 算 夹 角 的 大 小 例 4:在 等 腰 ABC中 ， D、 E中 点 ，若 CD BE， A的 大 小 是 否 为 定 值 ？AB CD Ecb0EB DC 解 : 1 ,2EB b c 又 12DC c b 5 4b c c b 4cos 5b cA c b 练 习 、 证 明 直 径 所 对 的 圆 周 角是 直 角 A BCO如 图 所 示 ， 已 知 O， AB为 直 径 ， C为 O上 任 意 一 点 。 求 证 ACB=

11、90分 析 ： 要 证 ACB=90 ， 只 须 证 向量 ， 即 。CBAC 0CBAC解 ： 设 则 ，由 此 可 得 ： bOCaAO , baCBbaAC , babaCBAC 2222 baba 022 rr即 ， ACB=900CBAC a b （ 1） 建 立 平 面 几 何 与 向 量 的 联 系 ， 用 向 量 表示 问 题 中 涉 及 的 几 何 元 素 ， 将 平 面 几 何 问 题转 化 为 向 量 问 题 ；（ 2） 通 过 向 量 运 算 ， 研 究 几 何 元 素 之 间 的 关系 ， 如 长 度 、 距 离 、 夹 角 等 问 题 ；（ 3） 把 运 算 结 果 “ 翻 译 ” 成 几 何 关 系 。小 结 ：用 向 量 方 法 解 决 平 面 几 何 问 题 的 “ 三 步 曲 ” ：